突出數學本質的教學策略

崔靜靜，柴文斌，趙思林

摘要：基于數學學科核心素養的教學活動應把握數學的本質。數學教學應有意識地突出并引導學生把握數學本質，應關注內容的整體性，強化數學整體的結構性本質;精心構建情境問題，凸顯數學產生的根源性本質;全面分析概念的內涵，揭示數學概念的屬性本質;深化認識命題的關系，構建數學命題的邏輯本質;發掘思考的美學指向，提煉數學內核的思想本質。

關鍵詞：數學本質;知識結構;情境問題;數學思想

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）在“基本理念”中強調“把握數學本質”：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向……引導學生把握數學內容的本質?！痹凇敖虒W建議”中指出：“基于數學學科核心素養的教學活動應把握數學的本質，創設合適的教學情境、提出合適的數學問題，引發學生思考與交流?！痹凇懊}建議”中指出：“需要突出內容主線和反映數學本質的核心概念、主要結論、通性通法、數學應用和實際應用。”同時，在正文部分，“本質”一詞共出現了28次，除了“數學（內容、知識）（的）本質”，還涉及“事物的本質”“問題的本質”等。

數學本質一般是指數學學科區別于其他學科的特征和屬性，常常深藏在數學現象（情境、問題、知識等）內部，隱藏在“建構數學知識體系、感悟數學思想、應用數學方法解決問題、再發現或再創造數學”的過程中。數學本質包括數學整體的結構性本質、數學產生的根源性本質、數學概念的屬性本質、數學命題的邏輯本質以及數學內核的思想本質等。數學教學應在數學知識的產生、發展、應用（數學問題解決）的探索、發現過程中，有意識地突出并引導學生把握數學本質。

一、關注內容的整體性，強化數學整體的結構性本質

單元教學的核心思想是系統思維，它要求教學要跳出課時的限制，從整體上把握數學的結構。顯然，這對提升學生的數學核心素養，更上位地認識學科本質十分必要。通常教材中的章節就是天然的單元，但依據知識蘊含的思想方法適當地對教材章節進行改造也很有必要。

例如，人教版高中數學新教材（基于新課標編寫）相比于舊教材，《圓錐曲線的方程》一章刪去了《曲線與方程》一節，但這部分內容是解析幾何的基礎，對學生理解坐標法，學習曲線的性質，構建嚴密的邏輯思維體系十分關鍵，因此，這一單元的教學應該對這一內容進行補充。同時，橢圓、雙曲線、拋物線三部分知識結構極其相似，均從定義、標準方程、幾何性質、應用四個方面展開研究，有內在的統一性，故建議這一單元的教學采用“總—分—總”的基本路徑進行整體構建：

如圖1所示，首先，利用教材章引言，通過丹德林雙球模型，整體構建圓錐曲線的概念，以此揭示三種曲線的特性及其統一的內在聯系，引出大單元（整章）的學習目標，激發學生的學習動機，搭建大單元的學習脈絡，讓學生樹立全局意識;然后，分別進行小單元任務學習，將學習內容分解、細化;最后，引導學生對整個單元蘊含的思想方法進行總結，實現深度融合的升華。

二、精心構建情境問題，凸顯數學產生的根源性本質

在新課標正文部分，“情境”一詞共出現了79次，“問題”一詞共出現了335次，且“情境與問題”位于體現數學學科核心素養的四個方面之首，在數學教學與學業質量評價方面起著舉足輕重的作用。數學教學要精心設計情境問題，讓學生經歷“現實情境（含非數學的其他科學情境）→數學問題→數學模型”的數學抽象、建模過程，體會“數學源于現實”“數學知識源于問題”等理念，把握數學知識產生的根源性本質。

例如，教學“計數原理和排列組合”時，可設計如下從現實情境到數學問題，再到數學模型的學習路徑：

現實情境（1）將5個學生安排到4個社區參加義務勞動，每個社區至少安排一個學生，問：共有多少種不同的安排方法？

（2）將5個獎品分配給4個學生，每個學生至少得到一個獎品，問：共有多少種不同的分配方法？

（3）5個人去住4個房間，每個房間至少住一人，問：共有多少種不同的住法？

數學問題（1）設集合A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8，9}，f是以A為定義域且以B為值域的函數，則這樣的函數f有多少個？

（2）設集合A={甲，乙，丙，丁，戊}，B={a，b，c，d}，f是從A到B的映射且B中的每一個元素都有原象，則這樣的映射f共有多少個？

數學模型現實情境（1）（2）（3）和數學問題（1）（2），都可用排列組合模型C25A44解決。

這樣的學習過程即“情境—問題化，問題—模型化”的“水平數學化”過程，學生能夠統一地解決諸如現實情境（1）（2）（3）和數學問題（1）（2）等的大量具體問題。反過來，也可讓學生對排列組合模型C25A44賦予各種實際意義，讓學生經歷“數學模型→現實情境”的應用遷移過程。

此案例中，現實情境（1）（2）（3）和數學問題（1）（2）的數學本質是相同的，它們都能抽象成計數模型C25A44。這樣的教學，就架起了數學模型與現實世界之間雙向溝通的橋梁，既能增強學生對數學本質的理解，又為學生在今后面對新穎情境時能夠創造性地運用數學思想方法解決問題打牢根基。

三、全面分析概念的內涵，揭示數學概念的屬性本質

數學概念是構建數學知識框架和思維方式的基石。全面分析概念的內涵，應圍繞“是什么”“為什么”“如何用”等基本問題進行思考與探究，以揭示數學概念的屬性本質。

例如，教學“偶函數的概念”時，便可引導學生圍繞三個基本問題進行思考與探究：

問題1如圖2，這是函數f（x）=x2的圖像，它有什么對稱性？（關于y軸對稱。）

追問這種軸對稱性有什么價值？或者說，為什么要研究這樣的對稱性？（對稱是一種數學美;利用對稱性可以簡便畫出圖像，高效研究性質;其他軸對稱性可以通過平移或旋轉轉化成這樣的軸對稱性，等等。）

問題2函數f（x）=x2的圖像關于y軸對稱，如何用數的形式刻畫？[x2=（-x）2。]

追問為什么要用數的形式刻畫？（一是畫出圖像一般會有誤差，觀察圖像也會產生誤差，因此僅憑感官獲得的結論不一定可靠;二是當函數的圖像難以甚至不能畫出時，就難以甚至不能觀察了。）

問題3若函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱，則f（x）應該滿足怎樣的代數關系？[（1）在函數y=f（x）的圖像上任取一點P（x，f（x）），則函數圖像上的點P′（-x，f（-x））與其關于y軸對稱，故f（x）=f（-x）;（2）在函數y=f（x）的圖像上任取一點Q（x，f（x）），則其關于y軸對稱的點Q′（-x，f（x））在函數圖像上，故f（x）=f（-x）。]

這里，問題1從特例入手，指向“是什么”，凸顯形的定義;問題2、3從特殊到一般，指向“怎么用”，凸顯數的定義;兩個追問均指向“為什么”，凸顯偶函數概念的價值，激發學生的學習動機。由此，深刻地揭示了偶函數的概念本質（同時，為建構奇函數的概念搭建了可以類比的研究思路和方法）。

四、深化認識命題的關系，構建數學命題的邏輯本質

命題是表達（判斷）某些概念之間關系的語句。數學知識以（真）命題為主，數學中的公式、定理、性質、法則、推論等都是（真）命題。數學命題揭示了其“條件”與“結論”之間的關系本質，即“條件”是“結論”的充分條件。數學命題的獲得，最好通過實驗、觀察、推算等方式，引導學生先作出猜想，再進行嚴密的論證。數學命題的證明，特別是幾何命題的證明，通常先采用分析法思考，再利用綜合法表述。命題不是孤立的，而是處在普遍的聯系，即大量的相互關系中。把握命題的關系本質就是要構建若干命題之間的邏輯關系（先后次序）。

例如，對數的定義是構建對數命題網絡的基礎。根據該定義，可以推出一個等價關系：ax=Nx=logaN。基于這個等價關系，又可進一步得到兩個對數恒等式：alogaN=N，logaax=x。二者分別揭示了指數的算法和對數的算法。根據這兩個對數恒等式，便可構建對數運算性質的命題網絡。即遵從邏輯順序：定義→等價關系→對數恒等式→積的對數運算性質→商的對數運算性質→冪的對數運算性質→換底公式→其他推論形式。

其中需要明確的是，商的對數運算性質本質上等價于積的對數運算性質，冪的對數運算性質實際上是積的對數運算性質的一種推廣形式，而其他推論又要基于積、商、冪的對數運算性質。具體教學時，可設計以下問題串引導學生探究：

問題如果a>0且a≠1，M>0，N>0，證明：loga（MN）=logaM+logaN。（*）

追問1猜想logaMN等于什么，并仿照以上思路證明之。

追問2當M=N時，（*）變成了什么？由此猜想并證明logaMn等于什么，logambn等于什么。

追問3如何綜合利用以上運算性質證明換底公式：logab=logcblogca（a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0）？

追問4請根據換底公式推導logab與1logba之間的關系。

追問5試猜想loga1a2loga2a3loga3a4…·logan-1an等于什么，并證明之。

追問6試猜想loga1a2loga2a3…logan-1an·logana1等于什么，并證明之。

此外值得一提的是，教材在證明積的對數運算性質時，一開始就設M=am，N=an。實際上，這種證明方法不夠自然、清晰，很多學生都反映自己“課上聽得懂，課下不會證”。下面對此作出改進：

首先，出示以下兩組式子，讓學生計算，并對計算結果進行歸納猜想，得到積的對數運算性質（歸納后，也可讓學生再舉例子）：

（1）log28= ，log232= ，log2（8×32）= ;

（2）log39= ，log327= ，log3（9×27）= 。

其次，引導學生證明積的對數運算性質：

先用分析法思考。要證loga（MN）=logaM+logaN，只需證alogaM+logaN=MN ，只需證alogaM·alogaN=MN。因為alogaM=M，alogaN=N，所以alogaM·alogaN=MN是成立的。

再用綜合法表述。具體從略。

以上先分析后綜合的證明方法，比一開始就設M=am，N=an自然多了。學生掌握了這種證明方法，對其余幾個運算性質的證明也就可以獨立完成了。

五、發掘思考的美學指向，提煉數學內核的思想本質

數學思想內蘊于數學知識的產生、發展、應用（數學問題的解決）之中，是數學教育需要幫助學生感悟（提煉）的重要的數學本質。數學兼有科學和藝術的雙重特點，數學思想常常表現為對美的追求，比如喜愛“對稱”“和諧”、希望“簡潔”“統一”、崇尚“創新”“奇異”等。著名數學史家M.克萊因認為：“進行數學創造的最主要驅動力是對美的追求?！币恍┙艹龅目茖W家從理論的和諧與簡潔的要求出發，有時憑一種審美直覺就能提出一個設想和猜測，而常常后來被證明是真的。數學教學中，教師要引導學生感受數學思考的美學指向，從而把握數學內核的思想本質。

例如，教學“橢圓標準方程的推導”時，引導學生根據（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，通過教材中“平方再平方”的方法得到橢圓的標準方程后，繼續引導學生優化這一運算量比較大的方法，感受審美直覺指導下的數學思想：

師左邊是兩個根式的和，還有其他更好的處理根號的方法嗎？從對稱美的角度可以想到什么？

生想到兩個根式的差。

師有和有差，可以怎樣？

生相乘，通過平方差公式，使左邊有理化。

師寫起來根號太多，不妨令（x+c）2+y2=r1，（x-c）2+y2=r2，則r1+r2=2a（r1+r2）（r1-r2）=2a（r1-r2），然后呢？

生因為（r1+r2）（r1-r2）=r21-r22=4xc，所以r1-r2=2xca，所以r1=a+xca，r2=a-xca 。后面代入，就可以得到橢圓方程的標準形式了。

師掌聲獻給她！利用對稱性，由兩式加想到兩式減，進而利用平方差公式得到比較簡單的結果，以利于后續運算。其實，這里得到的r1、r2的表示也具有加減的對稱性。為什么會具有這樣的對稱性？由此，你還能想到什么解法？

生因為r1+r2=2a，所以r1、a、r2是等差數列，即r1、r2關于a對稱，所以可設r1=a+t，r2=a-t。

師很好！這種處理方式被稱為“和差術”，在很多等式、不等式的轉化、證明中都會用到。不過，這里引入了一個參數，該如何處理呢？

生還是平方差，因為這樣算出來結果比較簡單，即4xc=4at，得t=xca。接下來，把t再代回去，就又得到r1=a+xca，r2=a-xca了。

師他說得太棒啦！其實，這得到的就是橢圓的焦半徑公式，這樣就很容易推導出橢圓的標準方程?？梢姡恢灰敕朾（令a2-c2=b2，得x2a2+y2b2=1，并且發現b的幾何意義）體現了數學表達的簡潔美、統一美，就連改進橢圓標準方程的推導過程也要在對稱美、和諧美的引導下完成。追求美是一種重要的數學思想。

總之，突出數學本質需要教師具有深厚的數學功底，能夠透過各種數學現象看到數學本質。當然，數學本質具有相對性和層次性等特點，如可以認為數學情境（問題）的本質是數學知識（模型），數學知識的本質是數學思想或關聯（結構）。