談談高中數學教學對學生直觀素養的培育

陸麗華

[摘? 要] 直觀素養有助于催生學生形成和發展數學猜想. 在高中數學教學中，教師要引導學生通過感知、觀察、建構和建模等，豐富學生的原型直觀、表象直觀、想象直觀和模型直觀等. 作為教師，必須有意識地培育學生直覺思維能力、想象能力. 通過“本質直觀”能力的培育，讓學生形成一種有創新性、創造性的能力.

[關鍵詞] 高中數學;直觀想象;數學素養

直觀素養是數學素養的重要組成部分，是溝通“數”與“形”兩者之間的認知橋梁、紐帶. 在高中數學教學中，教師應當有意識地借助實物、模型（包括圖片、圖形）等培育學生的直觀素養. 高中生的認知特點是以抽象邏輯思維為主，但同時也必須輔之以直觀思維[1]. 可以這樣說，直觀素養有助于催生學生形成和發展數學猜想，而抽象邏輯演繹思維則有助于學生對相關數學定理等進行證明. 有時，直觀素養還能直接洞察數學知識本質，這就是一種“本質直觀”（胡塞爾語）.

[?] 引導學生感知，豐富學生的“原型直觀”

學生的直觀想象與直觀能力是密不可分的. 學生的直觀素養可以分為原型直觀、表象直觀、想象直觀和模型直觀. 所謂原型直觀，是指“教師在教學中向學生呈現原型以便讓學生通過視覺建立初步認識的過程”. 相較于初中階段、小學階段，高中階段的數學知識的原型可能更隱蔽、更難找尋一些.

尤其是學生學習“立體幾何初步”等相關知識時，就需要借助現實世界中的幾何原型來認識特征. 原型直觀不同于日常生活中的一些物體，原型直觀是數學模型的標準外化，或者說是一種“物化模型”. 借助這種“物化模型”，不僅能引導學生進行觀察、操作，而且能引發學生進行思考、想象、探究. 原型直觀（物化模型）是從現實世界、現實生活中抽象出來的，蘊含著數學關系. 在高中數學教學中，盡管學習主體是高中生，但他們在感知復雜的立體圖形時，其視知覺還是很不穩定的，前面的視覺感知往往容易被后續的視覺感知所覆蓋. 在培養學生原型直觀（物化模型）的過程中，教師要引導學生進行合理性表征和操作等. 因此，教師引導學生進行原型感知時，要提供前后一致的物體. 當學生初步建立了知覺形象后，教師就可以對相關的形體進行變式，比如從位置、方向等方面進行改變，從而凸顯形體的本質特征. 尤其是，要引導學生從形體的面、棱、頂點等方面獲得感知，從而讓學生能區分形體，比如棱柱與棱臺，棱柱與棱錐，直棱柱與斜棱柱或正棱柱，棱錐與圓錐，等等. 在培養學生視知覺的過程中，教師不僅要讓學生看，更要將事物的原型保存在學生的頭腦之中，這就是通過感知對形體的初級加工. 在此基礎上，還要引導學生進行形體辨別，引導學生通過視覺調控，把握一種形體與另一種形體的共同點和不同點. 通過豐富學生的原型直觀，能讓學生從生活原型中形成對幾何圖形的大致認識.

引導學生感知，要打開學生的感知覺的門戶，讓學生充分地看、聽、觸摸等. 從具身認知的視角來看，感知不僅要用眼睛來看，還要用身體來感受、體驗. 當然，在這個過程中，視知覺具有得天獨厚的優勢，應當予以彰顯. 在學習的過程中，要引導學生將其他的知覺方式方法與視知覺聯系起來、聯通起來，從而促進學生獲得感知. 如在上述幾何形體的教學中，對特征感知是基礎，在此基礎上，還要對形體進行比較、操作、辨別，這就是一種高級感知.

[?] 引導學生觀察，培育學生的“表象直觀”

從某種意義上來說，學生數學學習效能的高低，在很大程度上取決于學生的數感. 所謂數感，就是指“對數學學科中的數與形的感覺”[2]. 數學學科中的數感與語文學科中的語感、音樂學科中的樂感一樣，都是一種直觀、直覺的產物. 當然，這種直觀、直覺依賴經驗的累積、知識的豐富等. 為了讓學生形成良好的數感，培育學生的數學直感，教師必須引導學生進行數學觀察.

數學觀察是一種“有目的地看”. 數學觀察不是將學生投入“數的海洋”或“形的海洋”，而是引導學生有序、有向、有法地看. 通過數學觀察，幫助學生建立數學知識的表象. 可以這樣說，表象是學生數學直感的根基，也是學生數學直感的開端，表象對于學生的知覺加工有著重要的影響. 荷蘭著名數學教育家赫爾經過研究認為，學生直觀素養可以分為五個層次，即視覺層次的直觀、描述分析層次的直觀、抽象直觀、推理直觀、公理化直觀等. 顯然，積累學生表象是提升學生直觀水平、直觀能力等的基石. 在引導學生進行表象直觀的過程中，教師要對學生的直觀活動進行設計，從而避免學生數學直觀的隨意性、虛假性等，讓學生能夠借助直觀素養在操作、理解之間穿行. 比如人教版“基本立體圖形”中的“棱臺”這部分內容的教學，筆者就提供了多個圖形讓學生觀察，從而幫助學生建立棱臺的正確表象，引導學生在觀察中感悟圖形的本質特征，舍棄圖形的非本質特征. 通過這樣的觀察，培育學生的數學直感. 學生由于受到了多個棱臺圖形的刺激，能夠在大腦皮層中建立表象，并將這種表象儲存到記憶的深處. 在此基礎上，筆者引導學生進行對比、研判，讓學生認識到“棱臺不是長方體”“長方體是底面為長方形的直四棱柱”等. 在判斷的過程中，讓學生說出這兩種形體的異同. 從某種意義上來說，學生的數學直感依賴學生記憶中儲存的表象.

表象是原型直觀的結果，為了豐富學生的表象，教師有必要向學生提供數學知識的原型，從而豐富學生的感知，豐盈學生的表象，深化學生的記憶，促進學生對相關數學知識的理解. 在高中數學教學中，表象不僅是學生感知的結果，表象更具有過程的意義，表象能促進、發展、提升學生的感知. 對于高中生來說，數學直感依賴學生頭腦中積累的數學表象，表象越豐富、越完善，學生的直感就越精準、直感思維能力就越強.

[?] 引導學生建構，培育學生的“想象直觀”

在高中數學教學中，原型直觀是幫助學生建立空間觀念的過程，表象直觀是幫助學生建構幾何表象的過程，而想象直觀則是引導學生對表象進行深度加工、操作并建立新表象的過程. 作為教師，要引導學生建構、培育想象直觀. 一般來說，培育學生想象直觀的過程就是幫助學生建立表象、構建直觀模型的一個邏輯詳細的過程. 想象直觀能發展學生的直覺能力、想象能力.

直觀與想象是不可分割的. 可以這樣說，“直觀無想象則空，想象無直觀則盲”. 想象與直觀是相輔相成、相互促進、相得益彰的. 在直觀想象的過程中，學生對頭腦中的已有表象進行加工并改造，從而構建新的形象. 直觀想象是一種特殊的思維樣式，它往往能突破原有的認知局限、時空束縛等，能有效地預想未來，形成一種靈感思維. 作為教師，要精心架構、打造培養學生直觀素養的平臺，引導學生把握直觀、表象與推理之間的關聯，進而有效地提升學生的直觀能力，發掘學生的直觀潛質潛能，發展學生的直觀素養. 比如學習“棱錐的體積”這一部分內容時，有學生根據棱錐和棱柱的表象，聯想到圓錐的體積是圓柱的體積的三分之一. 有了這樣的直觀想象，學生就會調動已有知識經驗進行證明. 在引導學生直觀想象的過程中，教師要幫助學生擺脫原型直觀，同時融入一定的邏輯推理等. 這種邏輯推理有可能不是很嚴密的，而只是一種合情性、合理性的推理，因而屬于一種直觀想象. 在數學教學中，教師要引導學生進行解釋、認知，促進學生的主觀與客觀不斷相互作用，從而讓學生的意向性不斷豐富. 想象性的直觀，就是引導學生找尋已知和未知的邏輯關聯的過程. 借助直觀想象，學生能打開自己的數學學習視野，從而豐富自己的直觀認知.

想象直觀是學生數學直觀想象的重要組成部分. 在學生的直觀想象素養中，實物直觀是基礎，表象直觀是根基也是核心，而想象直觀則是關鍵. 在想象直觀中，學生能擺脫實物直觀，直接對表象直觀進行加工. 由于想象直觀是一種對表象直觀的加工，因此這個過程需要教師有效引導、指導. 只有這樣，才能讓學生的想象直觀不會偏離方向. 正如《普通高中數學課程標準（2017年版）》所指出的那樣，“借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，是學生的基本數學素養之一”.

[?] 引導學生建模，培育學生的“模型直觀”

著名數學教育理論家范希爾曾經將學生的幾何思維水平分為“直觀水平”“描述水平”和“理論水平”等. 過去，很多人簡單地認為，直觀素養就是直觀水平，其實這是有失偏頗的. 筆者認為，實物直觀、模型直觀主要依賴學生的直觀水平，而想象直觀、模型直觀則需要將想象、聯想、思維等融入其中.

美國著名教育心理學家卡羅爾·德韋克深刻地指出，“人與人之間的差距，就在于思維模式的不同”[3]. 模型直觀不僅引導學生思維，更將相關的數學思想方法等融入其中. 從這個意義來說，模型直觀也是一種方法直觀、思想直觀. 在高中數學教學中，教師應當助推學生的模型直觀，充分展現學生的直觀過程. 在模型直觀中，教師要引導學生進行文字表征、圖形表征以及命題表征等. 通過諸種表征方式，引導學生建立完整的表象. 比如教學“直線與平面的關系”時，筆者就借助“長方體”這一模型引導學生思維，幫助學生建立表象. 若向學生抽象地講解線與面的關系，學生往往難以理解;然若借助模型直觀，則能讓學生直接看到“棱”與“長方體各個面”的垂直、平行關系. 在模型直觀下，學生能將數學直觀表象整合成“關系表象”. 借助“關系表象”，學生能將相關的線、面等聯結成邏輯體系，如“直線與平面無交點→直線平行于平面內的一條直線→直線所在平面與另一平面平行”等. 通過模型直觀，幫助學生認識“直線與直線的位置關系”“直線與平面的位置關系”“平面與平面的位置關系”等. 在培養學生直觀素養的過程中，教師要注重學生的直觀思維與邏輯思維協同發展，要在發展學生直觀思維、直觀想象的同時發展學生的邏輯思維能力. 可以這樣說，在發展學生直觀素養的過程中，筆者認為，學生的觀察能力、直覺能力、想象能力都會對學生的直觀素養產生影響;而將學生的觀察能力、想象能力、抽象能力等融入培育學生的直觀素養的過程中，應當是高中數學教師的努力方向. 通過對學生的直觀素養的培育，一定會讓學生生成富有創意的靈感思維.

“模型想象”是在學生“實物直觀”“表象直觀”“想象直觀”基礎上發展起來的，是學生從感性認知向理性認知的一種過渡. 作為教師，要選擇、應用相關的策略，引導學生進行直觀表征，賦予數學知識形象化的支撐;要培養高中生“用圖說話”“用圖思考”“用圖探究”等能力，通過建構圖形，引導學生直觀想象、操作，并讓學生把握數與形之間的關聯. 在高中數學學科中，數與形是相互關聯的，把握數與形之間的關聯，也是培育學生直觀素養的重要使命與責任. “模型想象”就是要賦予數學“形”的意義，因而有助于促進學生對相關數學知識的意義建構. 在“模型直觀”過程中，學生能有效地建構數學知識，有效地連接已有知識，從而完善知識網絡、認知結構等.

學生的直觀素養是對幾何形體的形態變化、位置關系、運動規律等的把握，也包括從形的視角來看待、處理數的問題的能力. 學生的直觀素養具有“直觀性”“思辨性”和“創造性”. 借助直觀素養，能開闊學生的思路，豐富學生的學習方式. 作為教師，必須有意識地培育學生的直觀想象素養. 在高中數學教學中，直覺思維與邏輯思維同等重要. 作為教師，必須有意識地培育學生的直覺思維能力、直覺想象能力，讓學生形成“本質直觀”能力;通過培育“本質直觀”能力，讓學生形成一種有創新性、創造性的能力.

參考文獻：

[1]? 徐利治. 談談我的一些數學治學經驗[J]. 數學通報，2000（05）：0-3.

[2]? 郭子超. 高中學科教學目標設計的問題及對策[J]. 教學與管理，2019（04）：28-31.

[3]? 楊勇. 數學文化融入高中數學教學的實踐[J]. 教學與管理，2020（25）：47-49.