數(shù)學文化的教學意蘊及問題鏈的價值

【課堂研究·特設專欄：指向數(shù)學文化的問題鏈教學研究（一）】

編者按：隨著數(shù)學課程改革的深入，數(shù)學文化的教育價值已得到大家的充分認同，并被寫入了數(shù)學課程標準中。在數(shù)學教學中，如何自然而深入地體現(xiàn)數(shù)學文化，以實現(xiàn)文化育人？這已成為一個重要的實踐問題。本專欄立足數(shù)學文化觀，探索以問題鏈作為載體的數(shù)學文化教學，以期為數(shù)學文化融入數(shù)學教學提供借鑒。

【摘 要】數(shù)學課程標準對數(shù)學文化提出了明確的要求，而如何在數(shù)學教學中有機地融入數(shù)學文化是一個重要的現(xiàn)實問題。要全面地體現(xiàn)數(shù)學課程標準中所闡明的數(shù)學文化，需要借助數(shù)學實踐，而問題鏈是讓學生進入數(shù)學實踐并彰顯數(shù)學文化的重要抓手。

【關鍵詞】數(shù)學文化;數(shù)學課堂;問題鏈

數(shù)學的文化性已被越來越多的人認識到，數(shù)學文化也成為數(shù)學課程與教學的重要組成部分。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《義務課標2022年版》）、《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《高中課標2017年版2020年修訂》）在課程性質中都明確指出，數(shù)學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。如何在數(shù)學教學中有機地融入數(shù)學文化，實現(xiàn)文化育人的目的？這成為一個重要的實踐問題。在目前的教學中，還存在一定程度的將數(shù)學文化窄化為文化素材，將數(shù)學文化的教育窄化為文化素材的欣賞等問題。基于此，本文試圖基于課程標準中關于數(shù)學文化內涵的分析，討論問題鏈在落實數(shù)學文化中的價值。

一、課程標準中關于“數(shù)學文化”的理解

目前關于數(shù)學文化的定義雖然未得到統(tǒng)一，但也形成了一些基本的共識。《高中課標2017年版2020年修訂》提出，數(shù)學文化不僅是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動。在《義務課標2022年版》中雖然沒有明確界定數(shù)學文化，但在教材編寫建議中間接地闡述了應在教材中滲透的數(shù)學文化的基本方面，其中包括數(shù)學在自然與社會中的應用、數(shù)學發(fā)展史等背景知識。

立足于“數(shù)學是一種文化”這一觀點，可以從三個方面來理解課程標準中關于數(shù)學文化的認識。一是數(shù)學是一個相對完整、獨立的文化系統(tǒng)。數(shù)學有其自身的思想、精神、語言、方法與觀點，也正是在這些文化要素的支撐下，數(shù)學得以發(fā)生與不斷發(fā)展。這與數(shù)學家懷爾德在其著作《作為一種文化系統(tǒng)的數(shù)學》中曾做出的論斷是一致的：數(shù)學構成了一個相對獨立的文化系統(tǒng)。二是數(shù)學是人類文化的子文化，其發(fā)展受到了人類文明的影響。這正如《高中課標2017年版2020年修訂》在課程性質中所指出的：隨著現(xiàn)代科學技術特別是計算機科學、人工智能的迅猛發(fā)展，人們獲取數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的能力都得到很大的提升，伴隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，人們常常需要對網(wǎng)絡、文本、聲音、圖像等反映的信息進行數(shù)字化處理，這使數(shù)學的研究領域與應用領域得到較大拓展。《義務課標2022年版》也有類似的論述，即隨著大數(shù)據(jù)分析、人工智能的發(fā)展，數(shù)學研究與應用領域不斷拓展。三是數(shù)學是一股重要的文化力量，推動著人類文明的發(fā)展。兩份課程標準對數(shù)學的文化價值均做了類似的論述：“數(shù)學是自然科學的重要基礎”“在社會科學中發(fā)揮著越來越重要的作用”“數(shù)學的應用滲透到現(xiàn)代社會的各個方面”“直接為社會創(chuàng)造價值，推動社會生產(chǎn)力的發(fā)展”。

概括來說，數(shù)學文化既強調將數(shù)學作為相對獨立的文化系統(tǒng)來理解數(shù)學的本質及其發(fā)展，同時強調人類文化其他部分對數(shù)學這一子系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，還強調數(shù)學在人類文明發(fā)展中所做出的貢獻。事實上，關于數(shù)學文化的三方面理解，綜合起來就是站在文化的角度呈現(xiàn)數(shù)學的來龍去脈，呈現(xiàn)數(shù)學作為一個整體性的文化實質。李鐵安在對文化和數(shù)學的本質分析后指出，數(shù)學就是一種文化。數(shù)學文化是人類在數(shù)學活動中所積累的精神創(chuàng)造的靜態(tài)結果和所表現(xiàn)的動態(tài)過程。[1]

二、數(shù)學實踐是體現(xiàn)數(shù)學文化的途徑

那么，究竟如何才能讓學生感受到較為完整的數(shù)學文化？正如黃秦安所指出的，數(shù)學文化觀采取了一種更為廣泛和寬闊的理論視角去看待有關數(shù)學的各種問題[2]4-7。這種觀念必然會對數(shù)學教與學產(chǎn)生新的認識和要求。張維忠指出，數(shù)學文化的學習表現(xiàn)為群體的活動性、系統(tǒng)的開放性、知識的默會性等特征[3]。筆者認為，活動性是數(shù)學文化學習的基礎性特征，唯有活動才能讓系統(tǒng)的開放性特征得以再現(xiàn)，默會性知識得以學習。更重要的是，數(shù)學文化觀使我們看到了作為個體或群體的人在數(shù)學及其發(fā)展過程中的主體作用，即認識到了作為人類的一項創(chuàng)造性活動的數(shù)學。因此，主體性的數(shù)學活動或者說數(shù)學實踐是數(shù)學文化觀的其中一個要義。換言之，在數(shù)學教與學中，應利用數(shù)學實踐體現(xiàn)數(shù)學文化。

數(shù)學實踐是一種特殊的學科實踐，在教育領域中體現(xiàn)了一般的學科實踐的基本內涵。崔允漷等認為，學科實踐是指具有學科意蘊的典型實踐，即學科專業(yè)共同體懷著共享的愿景與價值觀，運用該學科的概念、思想與工具，整合心理過程與操控技能，解決真實情境中的問題的一套典型做法[4]。因此，數(shù)學課程中的數(shù)學實踐，是一種具有數(shù)學學科意蘊、具有教育意義的典型實踐。數(shù)學實踐過程負載著數(shù)學特有的價值觀、精神與思維，同時也是由這些要素推動著數(shù)學實踐的發(fā)展與數(shù)學實踐結果的凝練。

那么，彰顯數(shù)學文化的數(shù)學實踐活動應是怎樣的？對教與學提出了什么樣的價值追求？

首先，彰顯數(shù)學精神與思維支撐下的數(shù)學發(fā)生發(fā)展過程。從數(shù)學文化觀來看，數(shù)學并非僅僅是靜態(tài)的、已完成的知識體系，而是呈現(xiàn)出由擁有共同信念的數(shù)學共同體在數(shù)學精神的支撐下，利用數(shù)學思維不斷推動數(shù)學發(fā)展的動態(tài)過程。因此，教學中的數(shù)學實踐就不能只是強調作為結果的數(shù)學知識的傳承，還應強調讓學生經(jīng)歷數(shù)學發(fā)生發(fā)展的過程，體驗其背后所蘊含的數(shù)學思維與精神。

其次，彰顯數(shù)學發(fā)展的文化動因。數(shù)學發(fā)展有其自身內部的動因，也有如前文所述技術發(fā)展等數(shù)學所處的人類文化的外部動因，并受相應文化所擁有的價值觀、行為模式等的影響。比如，正是對實用與理論的不同志趣，在很大程度上導致了中國古代數(shù)學重應用、古希臘數(shù)學重理論的特點。因此，教學中的數(shù)學實踐需要將數(shù)學的發(fā)展背景放大到人類文化的大視野中，使學生更好地理解數(shù)學及其發(fā)展。

最后，彰顯數(shù)學的文化力量。無論是歷史還是當下，數(shù)學在人類文明的進步過程中都做出了重要的貢獻，在許多領域數(shù)學已從后臺走向前臺。但在學生的數(shù)學學習中，仍然存在著將數(shù)學與學生的現(xiàn)實生活、所處的文化相剝離的現(xiàn)象。因此，教學中的數(shù)學實踐應進一步密切數(shù)學與人類文化其他部分之間的聯(lián)系，讓學生感受到數(shù)學的文化價值。

三、問題鏈是激活數(shù)學實踐、彰顯數(shù)學文化的抓手

由上述分析可知，數(shù)學實踐是體現(xiàn)數(shù)學文化的重要途徑。然而在教學實踐中，如何才能讓學生進入并持續(xù)性地維持在有價值的數(shù)學實踐中呢？筆者認為，數(shù)學問題鏈是一個重要的抓手。數(shù)學問題鏈教學是指教師借助由有序的、主干數(shù)學問題組成的問題鏈展開教學的一種教學模式[5]。這里的問題是指在數(shù)學發(fā)展或在數(shù)學學習中具有核心地位的，處于關鍵位置的大問題、主干問題，問題與問題之間的關系反映了重要的數(shù)學思維及數(shù)學發(fā)展的基本脈絡。問題鏈在激活學生的數(shù)學實踐并彰顯數(shù)學文化上有以下價值。

（一）問題吸引學生參與數(shù)學實踐，體會數(shù)學發(fā)展的文化動因

將學生吸引到數(shù)學實踐中來，這是數(shù)學實踐發(fā)揮育人價值的前提。如果學生游離在數(shù)學實踐的學習活動之外，那么數(shù)學實踐活動設計得再好，也無法真正起到育人的作用。在數(shù)學教學中，也不乏因為學生不理解學習的必要性、缺乏足夠的學習動機而對其學習造成消極影響的現(xiàn)象。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的一個重要原因在于，教學中將數(shù)學從其豐富的意義脈絡中剝離出來，變成了純粹知識的教學與符號技能的訓練。數(shù)學文化觀告訴我們，數(shù)學是在受到內外部問題的驅動下得到不斷發(fā)展的。在教學中，通過問題可以還原數(shù)學在其發(fā)展過程中遇到的困境，揭示數(shù)學發(fā)展的文化動因，從而讓學生投入到為了解決問題而開展的數(shù)學實踐中來。

首先，數(shù)學史中的問題吸引學生理解歷史上的數(shù)學實踐。比如，在高中數(shù)學虛數(shù)的學習中，如果只是將虛數(shù)作為一種新的數(shù)，只是著重于運算法則之下的符號操作的話，也許能達成技能的熟練，但對虛數(shù)的意義以及為什么要學習虛數(shù)等問題是缺乏理解的。在筆者參與的一個課例研究中，為了吸引學生賞析歷史中的數(shù)學實踐過程，筆者設置了以下問題。首先，設置一個引入性問題：對于三次方程x3=15x+4，你能求出它的根嗎？是怎么求的？經(jīng)過討論，學生發(fā)現(xiàn)這個方程可通過因式分解變成（x-4）（x2+4x+1）=0，從而找到方程的一個根4。接著，這個問題又引發(fā)學生思考另一個問題：如果遇到不容易因式分解的三次方程，又該如何求解呢？從而將學生吸引到數(shù)學家卡丹對解三次方程的研究中。[6]

其次，現(xiàn)實中面臨的問題能激活學生的求知欲，激發(fā)學生的實踐興趣。比如，在小學折線統(tǒng)計圖的教學中，教師可以通過“如何直觀地反映某地新冠疫情的變化趨勢”這一問題，讓學生產(chǎn)生“條形統(tǒng)計圖雖然也能反映變化趨勢，但還不夠直觀”的不滿足感，以及激發(fā)學生開展以改進數(shù)據(jù)呈現(xiàn)模型為目標的數(shù)學實踐的興趣[7]。

（二）問題為學生提供應用性的數(shù)學實踐機會，感受數(shù)學的文化價值

如何在教學中凸顯數(shù)學的文化價值，這其實并沒有想象中那么容易。黃秦安指出，許多自然科學的新突破和新進展，例如克隆、大爆炸、基因圖譜與基因工程、超導、納米等，能夠較快地被普通公民所接受并迅速成為大眾文化的一部分，然而，數(shù)學的情況卻要糟糕得多。隨著數(shù)學專業(yè)化程度的日益提高，數(shù)學的最新成果難于被社會公眾所理解，甚至通俗的解釋都是十分困難的。[2]2-7因此，教師需要通過合適的問題設計，為學生提供應用性的數(shù)學實踐機會，讓學生感受數(shù)學所發(fā)揮的文化價值。

比如，幾何變換是圖形與幾何中的重要內容并在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應用。然而如何才能讓學生認識這一點？教師可以通過以下兩個問題引發(fā)學生數(shù)學實踐：一是在我們生活的現(xiàn)實世界中，哪些體現(xiàn)了幾何變換？具體是怎樣的幾何變換？二是你能用幾何變換設計一個漂亮的美術作品嗎？[8]其中第一個問題的目的是讓學生帶著關于“幾何變換”的認識，去觀察現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)如建筑、服飾、美術作品中存在的幾何變換，這既是對幾何變換相關知識的鞏固與應用，也為學生感受數(shù)學的美學價值提供機會。第二個問題的目的是讓學生利用數(shù)學知識進行創(chuàng)作，在自己的作品創(chuàng)作過程中體會數(shù)學的應用價值。

（三）問題鏈為學生脈絡化的數(shù)學實踐提供線索，體會數(shù)學的文化系統(tǒng)

數(shù)學實踐是一個整體，有實踐的目的與緣起，也有實踐的過程，還有實踐的結果。課堂中的數(shù)學實踐不會像數(shù)學學術研究中那么完整，往往是經(jīng)過理性重建后的簡約的實踐。盡管如此，仍然需要為學生提供數(shù)學實踐的關鍵脈絡，否則會造成學生理解的片面與碎片化。而且數(shù)學實踐背后的脈絡凸顯了數(shù)學內在的思維方式及更隱性的數(shù)學精神。問題鏈中問題與問題之間的關系，其實體現(xiàn)了數(shù)學的思維及精神。正是數(shù)學思維，才使一個問題發(fā)展到另一個問題，而數(shù)學精神則為這種發(fā)展提供了動力。

比如，擴張化精神驅動人們將問題做一般化處理，反過來基于一般化思維的數(shù)學問題鏈也能讓學生體會到數(shù)學的擴張化精神。舉例而言，以下關于“圓錐曲線一類定點問題的探索”中設置的幾個問題[9]，體現(xiàn)了數(shù)學的擴張化精神和一般化思維。

問題1：已知拋物線y2=4x，過x軸上一點K的直線與拋物線交于點P，Q兩點。證明：存在唯一的點K，使得[1PK2+1KQ2]為常數(shù)，并確定點K的坐標。

問題2：其他的拋物線也存在這樣唯一的點，使[1PK2+1KQ2]為常數(shù)嗎？

問題3：如果把上述問題的背景推廣到橢圓、雙曲線上，也存在類似的結論嗎？

又比如，數(shù)學中的統(tǒng)一建設精神驅動人們尋找系列問題的共通視角、一般性質及基本方法等，同時也驅動人們利用統(tǒng)一性提出問題、分析問題、解決問題。以下關于“立方根”教學中設置的幾個問題即體現(xiàn)了視角關聯(lián)背后的統(tǒng)一建設精神[10]。

問題1：我們在學習數(shù)的平方后，還學習了立方以及乘方。類似地，在學完平方根后，你認為還可以研究什么？

問題2：根據(jù)平方根的學習經(jīng)驗，你認為可以怎樣研究立方根？

綜上所述，數(shù)學文化既表現(xiàn)為數(shù)學是一種相對獨立的文化體系，又表現(xiàn)為人類文化的一個子文化。其一方面受人類文化其他部分的影響，另一方面又在人類文明進程中發(fā)揮了重要的文化價值。數(shù)學實踐是數(shù)學教學中體現(xiàn)數(shù)學文化的重要途徑，而問題鏈則能為激活數(shù)學實踐并彰顯數(shù)學文化提供抓手。

參考文獻：

[1]李鐵安.文化意義下的數(shù)學及其教育意蘊[J].數(shù)學教育學報，2008（6）：16-20.

[2]黃秦安.關于數(shù)學文化的若干重要相關研究領域：兼論如何進一步開展數(shù)學教育的文化研究[J].數(shù)學教育學報，2007（2）：4-7.

[3]張維忠.數(shù)學教育中的數(shù)學文化[M].上海：上海教育出版社，2011.

[4]崔允漷，張紫紅，郭洪瑞.溯源與解讀：學科實踐即學習方式變革的新方向[J].2021（12）：55-63.

[5]唐恒鈞，張維忠.數(shù)學問題鏈教學的理論與實踐[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

[6]吳英，徐元根，唐恒鈞.基于數(shù)學本質的“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”教學探索[J].中學教研（數(shù)學），2019（3）：1-4.

[7]唐恒鈞，李婉玥.指向核心素養(yǎng)的小學數(shù)學文化主題活動及設計要點[J].浙江師范大學學報（自然科學版），2021（4）：476-480.

[8]唐恒鈞，張維忠.民俗數(shù)學及其教育學轉化：基于非洲民俗數(shù)學的討論[J].民族教育研究，2014（2）：115-120.

[9]徐麗峰，唐恒鈞.通過數(shù)學思維框架助推學生有效探究：基于“圓錐曲線中一類定點問題”的教學探索[J].中學數(shù)學雜志，2017（3）：19-22.

[10]胡艷，唐恒鈞.“立方根”概念的問題鏈教學探索[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學），2019（6）：8-10.

（責任編輯：陸順演）