在數(shù)學(xué)文化體驗(yàn)中達(dá)成教學(xué)目標(biāo)

曾磊磊

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)文化可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歷史的了解，感受數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)追求真理的科學(xué)精神，鼓舞學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的道路上不斷探索，激發(fā)學(xué)生堅(jiān)持長(zhǎng)期學(xué)習(xí)和終生學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)文化;核心素養(yǎng);教學(xué)目標(biāo)

數(shù)學(xué)文化是一個(gè)人數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，它包括了數(shù)學(xué)思想、方法以及數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展過程. 在中學(xué)階段的教學(xué)過程中，教師往往會(huì)忽視數(shù)學(xué)文化，而看重解題訓(xùn)練，實(shí)際上這是本末倒置的做法. 新課程改革以來強(qiáng)調(diào)以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為目標(biāo)，也就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化的影響，通過數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)，最終要使學(xué)生能形成數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)文化，才能真正愛上數(shù)學(xué). 數(shù)學(xué)的魅力遠(yuǎn)遠(yuǎn)不在于會(huì)解試卷上的一道題，而是在數(shù)學(xué)文化的體驗(yàn)中能體會(huì)到多角度地看待問題，在探索發(fā)現(xiàn)中找尋真理的愉悅，達(dá)到學(xué)習(xí)的效果. 本文以“三角形的內(nèi)角和”為例，談一談如何在體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化中實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).

從基本拼圖法，追溯定理起源

在學(xué)習(xí)了三角形的基本概念及其性質(zhì)之后需要探討三角形的內(nèi)角和是多少，探討這一問題的方法非常多，最基本的可以采用度量推理的方法，也可以采用剪拼驗(yàn)證的方法證明三角形的內(nèi)角和為180°. 學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐的過程中既培養(yǎng)了操作實(shí)踐的能力，也能發(fā)揮自己的創(chuàng)意，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性. 在引導(dǎo)學(xué)生探究的過程中，可以結(jié)合數(shù)學(xué)文化的發(fā)展過程，加深學(xué)生的印象.

案例1 ?拼圖.

師：請(qǐng)大家準(zhǔn)備六個(gè)全等三角形，試著拼一拼，能不能算出三角形的內(nèi)角和是多少？

生：我把六個(gè)三角形拼在一起，讓它們的頂角靠在一起.

師：是不是像圖1所示的樣子.

生：是的. 這樣六個(gè)頂角就拼成了一個(gè)周角，也就是360°，而每個(gè)三角形的頂角出現(xiàn)了2次，也就是2∠A+2∠B+2∠C=360°，那么∠A+∠B+∠C=180°，也就是三角形的內(nèi)角和.

師：同學(xué)們很厲害，這是一個(gè)發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理非常好的方法，而且同學(xué)們知道嗎？這個(gè)方法早在古代就有數(shù)學(xué)家使用過，他就是古希臘的數(shù)學(xué)家泰勒斯，他和大家一樣就是通過三角形拼圖發(fā)現(xiàn)了三角形的內(nèi)角和定理. 看來同學(xué)們都是數(shù)學(xué)家！

本例中教師引導(dǎo)學(xué)生通過自己動(dòng)手拼圖的方式發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和，知道三角形的內(nèi)角和并不難，教師在這里將學(xué)生們的方法與古代數(shù)學(xué)家的方法相比較，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)并不是不能想象的，鼓舞了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，并且發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的過程又充滿了趣味，激發(fā)了學(xué)生探究的樂趣.

優(yōu)化拼圖法，掌握定理

學(xué)生在感受到初步獲得數(shù)學(xué)成果的成就感之后，可以進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生向古代數(shù)學(xué)家發(fā)起挑戰(zhàn). 天生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)會(huì)讓學(xué)生馬上變得躍躍欲試，希望比數(shù)學(xué)家更厲害.

案例2 ?三個(gè)全等三角形拼圖證明三角形內(nèi)角和定理.

師：數(shù)學(xué)家泰勒斯發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理當(dāng)然非常了不起，但是在我們今天看來似乎他的方法有些煩瑣，用的三角形有點(diǎn)多，同學(xué)們能不能挑戰(zhàn)一下他的拼圖方法，讓這個(gè)過程更簡(jiǎn)便呢？

（學(xué)生躍躍欲試，積極行動(dòng)起來. ）

生1：我知道了，剛才拼的圖1，如果去掉上面一半，用三個(gè)三角形一樣能拼出三角形的內(nèi)角和為180°，看我拼成了這樣（如圖2所示）.

生2：我也可以用三個(gè)三角形拼，但是和生1的圖形不一樣（如圖3所示）.

學(xué)生相繼展示了如圖4、圖5所示的拼圖效果.

師：你們真是太厲害了. 用三個(gè)全等三角形頂角不重合拼在一起，每個(gè)三角形的頂角用一次，剛好能拼成一個(gè)平角180°. 那你們真是比數(shù)學(xué)家泰勒斯還要了不起，他用六個(gè)全等三角形才拼出來，你們只用了三個(gè)全等三角形，過程更簡(jiǎn)便.

那么我們?cè)倮^續(xù)觀察一下圖3、圖4和圖5，這三幅圖有什么是相等的呢？

生3：這三幅圖中有相等的內(nèi)錯(cuò)角.

師：很好，觀察很仔細(xì)，那么根據(jù)平行線的判定，我們就能找到圖形中的平行線了. DE與BC平行，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，∠B和∠C就可以轉(zhuǎn)移到上面A點(diǎn)的位置，由此就變成了一個(gè)平角，同樣可以得到三角形的內(nèi)角和定理.

教師總結(jié)：所以我們利用三個(gè)全等三角形同樣可以找到一種非常簡(jiǎn)潔的方法，發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和定理，這也告訴我們科學(xué)的追求是無止境的，只要我們用科學(xué)的方法，堅(jiān)持不懈，一定能發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.

本例中教師通過鼓勵(lì)學(xué)生挑戰(zhàn)的辦法，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)新的研究方法，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 并且逐漸滲透了通過作輔助線的辦法也可以論證三角形的內(nèi)角和定理，為之后的幾何證明題打下基礎(chǔ). 在教學(xué)中教師的引導(dǎo)和突破幫助學(xué)生拓寬了視野，更新了學(xué)習(xí)方法，潛移默化地陶冶了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，可謂一舉多得.

拓展思維，難度升級(jí)

學(xué)生在進(jìn)行了一輪挑戰(zhàn)之后信心滿滿，此時(shí)教師可以趁熱打鐵，進(jìn)行難度升級(jí)，進(jìn)一步去發(fā)散學(xué)生的思維，感受數(shù)學(xué)追求的樂趣.

案例3 ?一個(gè)三角形證明三角形內(nèi)角和定理.

師：剛才我們已經(jīng)嘗試了用六個(gè)全等三角形和三個(gè)全等三角形證明三角形的內(nèi)角和定理，老師覺得可以難度升級(jí)，用一個(gè)三角形來證明三角形的內(nèi)角和為180°. 你們?cè)敢鈬L試一下嗎？

（有的學(xué)生有點(diǎn)猶豫，覺得不可能實(shí)現(xiàn)，有的學(xué)生被激發(fā)起挑戰(zhàn)的欲望，教師可以進(jìn)一步鼓勵(lì). ）

師：我覺得同學(xué)們有巨大的潛力，可以完成這個(gè)艱巨的任務(wù).

（學(xué)生紛紛開始思考，有的幾位同學(xué)竊竊私語的討論，有的同學(xué)開始拿出紙進(jìn)行折疊. 學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)三角形是無法拼圖的，那就進(jìn)行折疊. ）

生1：我發(fā)現(xiàn)了一種折疊方法. 我一邊畫一邊說，先把上面的三角形往下折疊，與下面的邊相交，再把兩邊的三角形向內(nèi)折疊，這樣三個(gè)三角形拼在了一起，組成了一個(gè)平角（如圖6所示），可以證明三角形的內(nèi)角和為180°.

師：非常巧妙的方法，很厲害.

生2：我有另外一種方法. 我通過把三角形的三個(gè)角作角平分線的方式，讓它們相交于一點(diǎn)，三角形的三個(gè)角對(duì)準(zhǔn)交點(diǎn)進(jìn)行折疊，三個(gè)角和它們的對(duì)頂角在一起組成了一個(gè)周角，同樣可以證明三角形的內(nèi)角和是180°（如圖7所示）.

師：同學(xué)們的方法非常厲害，那事實(shí)上大家的方法早在歷史上被一個(gè)12歲的小男孩發(fā)現(xiàn)過. 這個(gè)小男孩就是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡，他在12歲時(shí)獨(dú)立地利用對(duì)稱證明了三角形的內(nèi)角和定理. （學(xué)生發(fā)出贊嘆. ）他的父親和同學(xué)們一樣非常驚喜，此后允許他閱讀任何數(shù)學(xué)書籍，當(dāng)然他用成就說明了他在數(shù)學(xué)上的天賦和造詣. 那么，你們還有沒有其他的方法呢？

生3：我是用了一個(gè)添補(bǔ)的方法，在AB和AC邊的中點(diǎn)對(duì)BC邊作垂線，然后沿垂線把兩個(gè)三角形剪下來，補(bǔ)到上面成為一個(gè)長(zhǎng)方形，同樣三角形的三個(gè)內(nèi)角組成一個(gè)平角，證明了三角形的內(nèi)角和為180°（如圖9所示）.

在教師的引導(dǎo)下學(xué)生的思維不斷進(jìn)階，從三個(gè)三角形到一個(gè)三角形，從折疊到剪拼，學(xué)生的思維得到了發(fā)展，視野不斷拓寬，不僅提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，而且提升了學(xué)生的核心素養(yǎng).

創(chuàng)新思維，不拼也不折

學(xué)生通過從六個(gè)全等三角形到三個(gè)全等三角形直到一個(gè)三角形，難度不斷升級(jí)，但是學(xué)生都找到了突破的方法. 那么上面采用的都是拼和折的方法，能不能在證明方法上有所突破呢？

師：剛才同學(xué)們的方法都很好，那么現(xiàn)在我們想用一個(gè)更加簡(jiǎn)便的方法，不拼也不折，用一支筆的旋轉(zhuǎn)能不能有所突破呢？

（學(xué)生表示出很困惑. 教師進(jìn)行指導(dǎo)，師生共同交流得到答案. ）

師：同學(xué)們看這幅圖（如圖10所示），一支筆如BC繞點(diǎn)B進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，到達(dá)BA，再繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與AC重合，再沿點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與CB重合，這樣筆尖回到原位經(jīng)歷了180°，也證明了三角形的內(nèi)角和定理.

這是德國(guó)數(shù)學(xué)家提波特1809年發(fā)現(xiàn)的證明方法，通過直線旋轉(zhuǎn)的方式，旋轉(zhuǎn)180°，由此證明了三角形的內(nèi)角和為180°. 通過引導(dǎo)學(xué)生不斷地深入思考，發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和的證明方法，體會(huì)數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)學(xué)魅力. 學(xué)生如同數(shù)學(xué)家一樣不斷地有創(chuàng)新的發(fā)現(xiàn)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.

學(xué)生通過自己的操作實(shí)踐，采用拼、剪、折等方式去論證自己的推理，在過程中感受知識(shí)的獲得，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的思維深刻性，也使學(xué)生能將情感態(tài)度、價(jià)值觀與知識(shí)學(xué)習(xí)融為一體，不斷提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).