以生為本，數形結合領悟深層算理

楊雪芬

[摘要] 在人教版小學數學三年級下冊“兩位數乘兩位數（不進位）”一課的教學中，教師可以通過課前的調查與分析，把握學生的學習起點，找到教學的重點難點，如消除學生對點子圖的陌生感及有效運用點子圖幫助學生理解算理。在教學的過程中，教師則需要以生為本，通過回顧舊知、用圖形探究數學規律、利用數形結合找到數學算理等策略，幫助學生轉新為舊、循理入法、以理取法，從而提高學生的數學思維能力。

[關鍵詞] 兩位數乘兩位數;數形結合;乘法運算;小學數學教學

一、課前思考

數與形是數學學科中兩個常見的研究對象，借助一定的手段，可以使數與形之間相互轉化。數形結合將直觀的圖形與抽象的數學語言相結合，把數學問題轉化為學生已有的知識經驗，以促進新舊知識間的關聯與轉化，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而實現知識建構與問題解決。“兩位數乘兩位數（不進位）”這節課是人教版教材三年級下冊課本中的內容，在這之前，學生已經學習了兩位數乘一位數的筆算及兩位數乘一位數、兩位數乘整十整百數的口算。對于三年級學生來說，學習兩位數乘兩位數的筆算是一次較大的飛躍，因為這一單元是小學階段四則運算的重要內容之一，不僅是本單元的重點，同時也是今后學生學習三位數乘兩位數及小數乘法的必備基礎知識。因此，如何運用數形結合理解兩位數乘兩位數的算理是這節課的重點，也是難點。但在之前的教學實踐中發現，學生難以把豎式和點子圖中的四部分很好地聯系起來，更不用說真正運用數形結合思想來理解豎式中的每一步算理。為了引導學生聯結先備知識，輔以圖形表征進行溝通，達到理解算理、突破難點的教學目標，我們課題組進行了課前的分析與調查。

其一，學生在此之前學習筆算的經歷大多是借助擺小棒來理解算理，且在這個單元的口算學習中也是通過擺小正方體或實物圖的方式來幫助理解。而在本節課中，教材安排了借助點子圖的方式幫助學生理解算理、探究算法，進而得到乘法算式的過程。點子圖相較于擺小棒和實物圖要更加抽象，對學生的思維能力要求更高。雖然對于點子圖而言，學生以前也接觸過，但并不熟悉，所以理解起來會有一定的困難。

其二，為了解學生是否會計算兩位數乘兩位數（不進位）的乘法，教師讓一個班級的學生（37人）在學習本節課前進行了課前小測，以檢測學生對兩位數乘兩位數（不進位）的算理、算法、豎式計算的掌握情況。

通過前測，教師了解到，學生中有19人能正確寫出測試題中23×13的筆算過程，占總人數的51.35%。其中，考查算理的一題只有4個學生會填，這說明在上課前有相當一部分學生已經通過各種方式掌握了筆算兩位數乘兩位數的方法，但大部分學生對兩位數乘兩位數的算理知其然而不知所以然。

通過對教材和學生知識起點的分析，教師發現，學生第一次接觸需要乘兩次的情況，部分學生對算法也有一定認識，但對算理并不理解。另外，學生對點子圖也不熟悉，對把點子圖分成四部分以理解筆算的過程難以接受，教學不容易達到通過數形結合使學生變模糊接受為清晰理解的效果。因此，本節課需要重點研究如何解決以下兩個問題：（1）如何消除學生對點子圖的陌生感;（2）如何有效運用點子圖幫助學生理解算理。

二、教學過程

基于上文的分析，教師做了以下處理與調整。首先，為了消除學生對點子圖的陌生感，更好地利用點子圖理解筆算兩位數乘兩位數的算理，教師在前面的“兩位數乘一位數”“兩位數乘整十數”口算教學中除了使用實物圖外，還有意識地逐步過渡到用點子圖幫助學生理解口算的算理。其次，教師對運用點子圖理解筆算過程的教學過程進行了分層處理，以降低理解的難度。

【教學片段一】回顧舊知，引出新知

師：你會口算2×12嗎？（課件出示：口算2×12）請進行口算，并與同桌說說你的口算結果和過程。

師：我們在學習這個知識的過程中借助了點子圖，把12個點分成10個點和2個點，先算2個2，再算2個10，再把他們合起來，也就是先分后合（板書如圖1），為什么要先分后合呢？

生：因為要把新學的知識嘗試用舊知識來解決。

在教學本單元的乘法口算時，教師有意識地讓學生利用點子圖來理解口算過程，消除了學生對點子圖的陌生感。所以，在復習鋪墊環節，教師再次安排用點子圖回顧“2×12”的口算過程，此復習環節很流暢，節省了重新學習點子圖的時間，同時也為學生學習本節課中利用點子圖理解筆算過程的新知打下了基礎。

【教學片段二】用點子圖探究14×12的口算

師：我們通過先分后合的方法把新知識轉化成舊知識，那么我們在學習今天這些新知識時能不能也利用這些方法呢？（事先用課件把書本轉化成電子圖）

師：請同學們拿出學習單，找到點子圖（如圖2），思考：可以把12套書分成幾套和幾套？提示一下，為的是能轉化成我們已學過的知識哦。

師：哪個同學能拿著你的學習單上來展示一下想法？

生1：先把12套分成6套和6套，再用14×6=84（本），2個84，84+84=168（本）。

生2：我是先把12套分成10套和2套，10×14=

140（本），2×14=28（本），再把兩份合起來。

師：還有其他想法嗎？老師收集了一些同學的方法，我們一起來看看。第一種方法把12套分成了10套和2套，第二種方法把12套分成6×2套，第三種方法把12套分成3×4套，第四種方法把12套分成4套和8套。這些方法五花八門，但他們的方法都用到了先分后合，那這樣分的目的是什么？

生：要達到口算的目的。

師：這也是把新知識轉化成舊知識。這些都是口算的方法，那兩位數乘兩位數能不能筆算呢？（板書課題）

教學過程中教師提供給學生直觀的點子圖作為研究素材，讓學生嘗試利用已有的知識解決新問題，并要求學生用點子圖把自己的方法表示出來，這是讓學生經歷用圖示表征并解釋算法的過程。在復習環節中強調運用“先分后合”把新知轉化成舊知的數學思想，這為接下來學生嘗試解決本節課新知計算“14×12”提供了思考方向。所以，當學生遇到“14×12”這種兩位數乘兩位數的新問題時，就能自然而然地聯想到運用這種方法來解決。解決數學問題的方法雖然有很多種，且這些方法還都不完全相同，但歸根結底，它們實際上都是運用了“先分后合”“新舊知識轉化”的數學思想。

【教學片段三】數圖結合，理解計算方法背后的算理

師：兩位數乘兩位數該怎樣筆算呢？可以繼續借助點子圖幫我們想一想怎樣筆算。筆算列豎式和一位數那會兒是一樣的，相同數位對齊。例如，在筆算14×12時，你認為應該先算什么，再算什么？和同桌討論一下。

生1：我認為應該先算個位即14×2，再算14×10。

生2：我認為應該先算2×14，再算10×14。

師：大家都是把12分成了10和2，先算14×2。現在請同學們拿出點子圖，像老師這樣分一分，把 12 套分成10套和2套，再用算式表示出來。（課件演示把12套分為10套和2套，如圖3）

通過課件和讓學生再分一分、圈一圈，直觀而完整地呈現出把圖中12套分成10套和2套的過程，并對應是哪個算式。基于此，學生對點子圖與算式的聯系就能建立起來，而不是分開而獨立地理解。

師：這是我們的口算過程，那現在同學們嘗試著用豎式把口算過程記錄下來。注意，豎式的記錄要體現第一步算2套的，第二步算10套的，第三步再合并起來（過程略）。

師：我們來分析一下這位同學寫的豎式是否體現了我們剛剛的口算過程。比如，28是怎么來的？

生：14×2，也就是2套書的。

師：那140又是怎么得來的，是圖中的哪一部分？

師：第一步先算2套書的本數，第二步算10套書的本數，第三步把兩部分合并起來。也就是說這兩道豎式都對了。

師：下面我們再來仔細看下每一步算的是什么。第一步算2套的，14×2，大家還記得14×2 是怎么算的？

生：以前學過，是把14分成10和4，先算4×2=8，

再算10×2=20，最后算8+20=28。

師：先算4×2=8，是圖里的哪一部分？再算 10×2=20，又指的是圖里的哪一部分？

師：再算10套書的，也就是14×10，14×10我們又是把什么分成的？

生：把14分成10和4。

師：先算10套，每套4本書的總本數，也就4×10，誰來指一下？4個10是40，4寫在十位，個位這個“0”是否可以不寫？為什么？

生：可以不寫，應該4寫在十位上表示40。

師：再算10套10本的，10個10本是多少？所以百位寫“1”，再把兩部分合起來，8+0=8，2+4=6，把“1”拉下來，所以14×12=168（本）。現在同學們明白筆算怎么算了嗎？請大家一起來說一說筆算過程。

在過往的教學實踐中教師發現，如果一口氣把點子圖劃分成四部分來理解算理，學生學起來相當吃力，且多數學生吸收不了。所以，這節課我們進行了分層處理，利用點子圖與數形結合思想來幫助學生理解算

理。即：

第一，引導學生計算12套書總本數。教師先把12套書分成10套和2套，再引導學生通過點子圖分一分，為的是理解在計算兩位數乘兩位數時，可以通過先分后合的方法轉化成兩位數乘一位數和兩位數乘整十數，也就是把 14×12分成14×2和14×10，最后把兩次的乘積加起來。由于有前面“2×12”口算過程的鋪墊，學生理解這一層不難。接著，教師可以引導學生利用豎式來記錄口算過程，提示豎式要體現口算的三步。這樣，學生就可以初步把豎式計算過程同口算過程、點子圖緊密聯系起來，再通過圖形表征、算式表征與計算方法之間的聯系來理解14×12的結果。

第二，利用前面點子圖與口算過程的關系，可以實現把點子圖和14×2 的筆算過程聯系起來以理解算理。具體為，把2套點子圖再分成兩份，就是把14本分成10本和4本，也就是用2分別與4和10相乘。在教學這部分時，圖中的10套虛化處理，為的是突出2套，豎式中12的1也遮擋住，這樣也就是與口算的算理及計算過程一致，學生就很容易理解。同時，在教學“14×10”時也一樣，兩層的處理都需要教師緊密聯系口算、點子圖與計算過程之間的關系，化新為舊，讓學生在操作中從“形”的方面進行具體思考，并漸漸過渡到對“數”的理解，再上升為理解算理的層次。最后，教師需要在點子圖中尋找豎式計算的足跡，幫助學生還原最簡單、最直觀的道理和方法，使算法和算理有機地融為一體。

三、思考與啟示

數形結合是小學數學教與學中的一種重要的思想與方法，通過數與形的相互轉化及配合來解決數學問題，往往能達到把復雜問題簡單化、抽象問題形象化的效果。在數學教學中，教師應當根據學生實際，以學生為本，充分利用這種思想進行課程教學的改進與優化。

第一，關注學生已有的知識經驗、促進新舊知識間的關聯、把握好學生的學習起點是設計適合學生自主學習的教學過程的基本立足點。教師通過了解學生已有的知識經驗，充分利用已有知識為學習新的知識而服務，化新為舊，有效培養學生的數學思維能力。

第二，教師應以生為本，適時調整教學策略。計算教學不僅是要教給學生計算方法，更重要的是要引導學生掌握算理并提升學生的數學思維能力。在小學數學教學的過程中，小學生的思維能力處于從直觀到抽象發展的階段。三年級學生在數學學習的過程中，需要借助較多的動手操作實踐和直觀表象展示作為支撐。利用數形結合的方法，教師可以有效地將“冰冷”的算法和“神秘”的算理進行深層次融合，啟發學生“循理入法，以理取法”，通過道理的引領讓法則的建立有根基，通過算理的支持讓枯燥的算法豐潤起來。例如，教師可以通過借助直觀手段（如點子圖）與算式相對應，產生數形結合，引導學生親歷建構兩位數乘兩位數數學模型這一過程。而這個過程必須以生為本，教師除了要全盤考慮知識體系外，還要站在學生的思維角度去思考問題，從學生的實際水平出發，正確把握好教學內容的難易程度，并根據學生的知識水平進行教學策略調整，引領學生厘清數形之間的一一對應關系，以此把握數學問題中的諸多內隱道理與方法，從而達到化難為易和化繁為簡的目的。

總之，在計算教學中，教師應該以學生為中心，以最大限度地提高學生的數學思維能力為重，在此基礎上打造數形結合的高效數學課堂。

[參考文獻]

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