基于數學課程標準下初高中函數的銜接問題

趙越

【摘要】數學核心素養是當代每個人都應該具備的基本素養.在初高中的學習中，數學知識存在一定的關聯性.在初中階段，基于學生身心發展的特點，對于“函數”這樣具有抽象性的名詞，學生會感到陌生與不適，此時需要教師給予專業的指導與評價;在高中階段，會進一步加深對函數的學習，引申出其他的基本初等函數的概念、圖象以及性質.本文將從函數的知識關聯性領域，學生如何能更好地接受函數的領域和教師如何講授函數的領域進行剖析，希望能為初高中（函數部分）銜接過程中存在問題的學生提供一些幫助.

【關鍵詞】初中數學;高中數學;函數

1 數學課程標準對函數的要求

1.1 《義務教育數學課程標準（2011年版）》對函數的要求

函數是初中數學重要的組成部分，它具有一定的抽象性.《義務教育數學課程標準（2011年版）》對函數部分的要求是[1]：

（1）探索實際生活案例中的變化規律以及數量關系，了解常量（在某一變化過程中，取值固定不變的量）和變量（在某一變化過程中，可以取不同數值的量）的概念;

（2）了解函數的概念（函數、自變量、因變量）和三種表示方法（圖象法、列表法、解析式法），可以列舉出函數的具體實例;

（3）能結合實例判斷出函數自變量x變化的范圍;

（4）在不同的實際案例中，可以應用不同的表示函數的方法去表達.

1.2 《普通數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對函數的要求

函數是貫穿高中數學的主線.《普通數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對函數的要求是[2]：

（1）在初中學習函數概念的基礎之上，能利用集合的知識刻畫函數的定義，了解集合與函數之間的關系;

（2）理解函數的三要素（定義域、值域、對應關系），以及在實際案例中能求得相應的結果;

（3）了解分段函數的概念，并能做簡單的應用;

（4）掌握函數的基本性質（單調性、奇偶性、周期性）的概念及其幾何意義.

綜合初中和高中數學課程標準對函數的要求，說明函數的知識十分重要.學生掌握函數的相關概念對提升數學核心素養以及在實際生活方面有很大的益處.

2 初高中函數概念的銜接問題及解決辦法

2.1 初高中階段函數概念

（1）初中階段函數的概念：在某一變化過程中，存在兩個變量，例如x和y，對于任意的一個變量x，都有唯一確定的y值與之相對應，此時稱y是x的函數.其中，x叫做自變量，y叫做因變量.

（2）高中階段函數的概念：設集合A、集合B是兩個非空的數集，對于集合A中的任意一個變量x，通過一定的對應關系f作用后，在集合B中都有唯一確定的fx值與之相對應，此時稱f：A→B為從集合A到集合B的一種函數關系[3].

2.2 初高中函數概念的銜接問題

對于學生而言：（1）在初中學習函數時，對概念性的定義理解不深刻，記憶模糊甚至是遺忘;（2）在高中初學函數時，由于結合集合的相關概念來刻畫函數的概念，如果對于集合的知識掌握不好，會導致對函數概念的理解出現問題;（3）出現新的符號fx，與初中學習的y的概念混淆.

對于教師而言：（1）初中教師講授函數的概念時，沒有適當引入與高中相關的知識;（2）高中教師講授函數的概念時，沒有導入復習初中函數的概念;（3）高中教師對函數的概念理解不深刻，對于概念性的定義一帶而過，沒有注重知識的關聯性.

2.3 針對初高中函數概念的銜接問題提出相應的解決辦法

（1）學生應深刻理解函數的概念，注意初高中對函數概念的異同點;

（2）初中教師在講授函數的概念時，要適當拓展高中知識，告知學生們學習函數的重要性;

（3）高中教師在講授函數的概念時，要結合初中函數的概念和集合的相關知識，讓學生們獨立總結函數概念;

（4）教師可指導學生總結出函數概念中的精華：“x任意，y唯一”，即對于任意的一個x值，都有唯一的一個y值與之相對應.

3 初高中函數性質的銜接問題及解決辦法

3.1 初高中階段函數性質

（1）初中階段函數的性質：學生主要學習一次函數、反比例函數以及二次函數.在探究以上三類函數的性質時，會涉及在某個范圍內，圖象呈上升（下降）趨勢，y隨x的增大而增大（減小）;以正比例函數y=kx其中k是常數，k≠0為例，其圖象是一條過原點的直線，同時該直線關于原點對稱;以二次函數y=ax2其中a是常數，a≠0為例，其圖象是以（0，0）點為頂點的一條拋物線，同時該拋物線關于y軸對稱.

（2）高中階段函數的性質：學生主要學習的函數有冪函數、指數函數、對數函數、三角函數（正弦函數，余弦函數，正切函數）.在探究以上函數的性質時，一般從函數的定義域（x變化的范圍）、值域（y變化的范圍）、單調性、奇偶性、定點等方面著手.

3.2 初高中函數性質的銜接問題

對于學生而言：（1）在高中學習函數的圖象和性質后，沒有建立完整函數的體系;（2）函數性質相對來說比較多，學生記憶出現混亂;（3）雖然已經掌握函數的性質，但沒有應用的能力.

對于教師而言：（1）初中教師講授函數性質時，沒有指導學生歸納總結特定函數的特定性質;（2）初中教師講授函數性質時，沒有拓展延伸高中相關知識;（3）高中教師講授函數性質時，沒有注重與初中函數性質的對比.

3.3 針對初高中函數性質的銜接問題提出相應的解決辦法

（1）學生們在學習每一個函數的性質后，都應記憶清楚，以免出現倒攝抑制;

（2）初中教師在講授反比例函數增減區間時，要注意“在每個象限內”的引導;

（3）高中教師在講授冪函數的性質時，應帶領學生們復習初中所學正比例函數、反比例函數、二次函數的圖象與性質;

（4）高中教師在講授函數性質時，可適當編口訣，以便學生理解和記憶.例如，在講解函數單調性時：在區間a，b，當x1fx2，則稱函數在a，b為單調遞減函數;此時可總結為“同增異減”[4].

4 初高中函數與其他知識點的關聯問題

4.1 初高中函數與方程、不等式的關聯問題

4.1.1 初高中函數與方程的關系

以一次函數與二元一次方程（組）為例：一次函數經過變換可變為二元一次方程.一次函數的圖象是由無數個點組成的直線，對于二元一次方程而言，會出現無數組解.由此可知一次函數圖象上的點與二元一次方程的解是一一對應的[5];同理可得出結論，二元一次方程組的解是兩個一次函數交點的橫縱坐標值.類比歸納，對于兩個不同的函數求交點坐標時，只需將兩函數聯立解方程組即可.

4.1.2 初高中函數與不等式的關系

以一次函數y=kx+b其中k，b是常數，k≠0與反比例函數y=kx其中k是常數，k≠0為例：求出kx+b>kx的解集？實則可以轉化為一次函數圖象在上、反比例函數圖象在下的問題.類比歸納，對于兩個不同函數求不等式問題時，只需畫出函數圖象，數值大的圖象在上、數值小的圖象在下，求得結果時應注意看x的變化范圍.

以二次函數為例：求二次函數與x軸的交點個數問題，可轉化為一元二次方程根的判別式問題.對于一元二次方程而言，根的判別式

Δ=b2-4ac>0，=0，<0，有兩個不相等的實數根有兩個相等的實數根 沒有實數根，

轉化為二次函數與x軸的交點個數也可用公式b2-4ac>0，=0，<0，與x軸兩個交點與x軸一個交點與x軸沒有交點.

由此引申至高中所學函數零點問題：函數的零點函數與x軸交點的橫坐標值一元二次方程的實數根.

4.2 初中銳角三角函數與高中三角函數的關聯問題

在初中解直角三角形一章包含了銳角三角函數的內容，根據學生心理發展規律以及認知特點，初中在進行教學時，講解了銳角（30°，45°，60°）的正弦值、余弦值、正切值.在高中講解三角函數時，加大了涉及的廣度、難度以及深度.在高中的教材中，將三角函數獨立成章，足見其重要性.

4.3 在學習函數與其他知識點關聯問題時，應注意的幾個方面

（1）學生在學習函數知識后，可以多關注身邊的實例，將其轉化為數學中函數的知識，利用已有的數學知識進行分析求解;

（2）函數知識的學習，是鍛煉學生的數學抽象思維.因此，初中教師在進行銳角三角函數的學習時，應當適當告知學生，銳角三角函數的學習是為高中三角函數的學習做鋪墊;

（3）初中教師在講完初中課程后，可及時歸納函數、方程以及不等式之間的關系;

（4）高中教師在講解三角函數時，注意與初中知識的關聯性，由淺入深、循序漸進;

（5）教師在講解函數知識時，關注學生的身心素質和思維，要適應新課程標準和教材，把握函數的銜接性，以及函數的應用性[6];

（6）教師應引導學生從多方面認識函數[7]，通過函數的教學滲透相關的數學史以及數學思想.

5 結語

函數是一種“工具”，函數是一種“操作程序”，函數更是培養數學抽象思維的一種“方法”.對于函數的學習，從初中過渡到高中，應將數學核心素養貫穿教學活動當中，教師應當重視函數部分的內容和方法的銜接，幫助學生構建數學知識體系，掌握函數的學習方法[8].

本文首先從課程標準對函數學習的要求入手，強調函數學習的重要性;其次，分析初高中對函數概念的異同點，為初高中函數概念的銜接提供了解決辦法;再次，辨析初高中的函數性質，為初高中函數性質的銜接提供了解決辦法;最后，梳理函數與其他知識點的關聯問題，并給出建議.初高中數學函數的銜接問題一定不止于此，以期其他學者、一線教師或其他科研人員補充總結.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011年版.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2017版2020修訂.

[3]管朕鳳.淺談初高中函數教學“脫節”及教學建議[J].科教文匯（上旬刊），2018（03）;117-118.

[4]鄧勤.新課程背景下初高中數學教學的有效銜接-從函數概念的教學談起[J].數學通報.2011，50（02）33-35.

[5]孫楓，許成文.做好初高中函數教學的過渡[J].北京教育學院學報（自然科學版），2012，7（04）：50-53.

[6]王紅瑋，何延治.初高中函數模塊教學銜接問題[J].林區教學，2015（01）：70-72.

[7]李媛媛，徐海娟.基于新課標下的初高中數學銜接教學分析[C]//.2021年課堂教學教育改革專題研討會論文集.[出版者不詳]，2021：895-896.

[8]張晶晶.核心素養下初高中數學過渡難問題的解決策略[J].科技風，2020（07）：89.