學會反思，學會改錯

牟天樂

【摘要】錯題的有效利用是提高學生數學學習成績的重要方法之一，特別是高中數學，知識點繁多，很容易出錯.本文從錯題本的重要性、使用方法與要點以及使用示例等方面系統地闡述如何高效利用錯題本提高學習效率，同時通過對學生學習方法與策略進行指導，合理運用錯題本對做過的題目進行反思，培養學生的數學綜合素養，從而取得進步.

【關鍵詞】高中數學;錯題反思;學習策略

1 立足現狀，巧設反思

提起高中數學，很多學生就愁眉苦臉，難度大、知識點多，且很“拉分”.基礎較弱的學生花費大量的時間學習數學，結果卻不盡如人意.而即使思維活躍的同學，每次成績也會有很大的波動.究其原因，是學生沒有將反思性的學習方式貫穿始終.

筆者認為在學習過程中要學會總結，立足于平時的知識和經驗積累，逐步克服學習過程中遇到的困難，才能提高數學成績.以150分的試卷為例，60分左右是簡單題，只要熟悉定理，很快就能得出答案;還有60分左右是中檔題，這些題目就需要考生能夠合理、靈活運用知識進行解答，通常是要將多個知識點串聯起來進行解題;最后30分是難題，對考生的數學素養、邏輯思維、運算能力等均有很高的要求，得分率普遍較低.筆者對班級一些學優生與學困生的作業考試情況進行對比，發現在難題上，能做對的只是極少數同學，真正容易拉開差距的是簡單題和中檔題.高分的同學都是簡單題和中檔題的正確率很高，面對難題他們也會不斷嘗試鉆研，而考得不理想的同學往往是在簡單題和中檔題就錯誤百出，對難題更是望而卻步，分數自然就低.因此對于成績不理想的同學，提高簡單題和中檔題的準確率就顯得尤為重要.

由于數學學科，內容包含了很多原理定理以及它們的特例，而這些特例往往是考試時命題者設置的“陷阱”，馬虎粗心、對知識點不夠熟悉、思考不夠全面等等都有可能導致錯誤.這時，教育的首要任務就是讓這些學生學會反思，學會改錯，遇到做錯的題目要及時反思感悟，查漏補缺，錯有所思才能有所得.因此，有一本自己的錯題本，有一套整理錯題的方案，懂得對特殊的知識點加以防范，是免入“陷阱”的好方法，今后再遇到類似的問題時才能夠從容應對.

2 抓牢錯因，提煉方法

知錯改錯是引導學生辨析正誤、自我提升的重要手段.現代教育心理學觀點認為，學生的學習發展有兩種水平：一種是學生HYPERLINK"https：//baike.so.com/doc/3664705-3851758.html"＼t"https：//baike.so.com/doc/_blank"的現有水平，另一種是學生可能的發展水平.兩者之間的差異就是最近發展區.教學HYPERLINK"https：//baike.so.com/doc/2968805-3131790.html"＼t"https：//baike.so.com/doc/_blank"應著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，不斷地產生錯誤，糾正錯誤，從而提高認知水平.

一本好的錯題本，是融入自己的思考與探索的.學生制作錯題本的過程應該是進行自我對話的過程，它強調學生在制作過程中不斷調整自我認識，進行自我完善.當然，盲目地接受，將所有錯題一股腦全盤摘抄，不去思考，這樣效果肯定是微乎其微的.做好錯題本確實需要花費一些精力，尤其是剛開始做的時候.堅持一段時間熟練以后，必然能讓你的學習效率大大提高.用好錯題本，當你整理吸收的錯題達到一定量以后，你會發現你的失誤會逐漸減少最后不會再犯，并且很享受每次題目設置的“陷阱”被你識破的過程，成績也能穩步提升.

筆者根據不同學生的錯題摘錄情況提出以下幾點建議：

2.1分類摘錄

摘錄錯題是做好錯題本的第一步，主要有兩個原則：一、不是所有錯題都要往錯題本上搬;二、不是只有錯題才能記到錯題本上.先解釋第一條原則，在日常學習中，會遇到大大小小各種類型的錯題，這時就需要你根據自己的實際情況先對錯題進行分析，是何種原因導致錯誤.重視基礎性、概念性的錯誤，適當放棄一些你根本就沒有思路的問題或者明顯是超過你能力范圍的問題.摘錄錯題更多的是為了鞏固基礎，基礎牢固后才能攻克難題.另外，在整理錯題本時也不能僅僅局限于錯的題目，一些好的題目，涉及好的解題方法，好的解題思路等也可往錯題本上記.同時要把錯題本分成幾個模塊，對記上去的題目進行分類，哪些是基礎性錯誤，哪些是發展性錯題，哪些是好的解題方法等等.

例1 在△ABC中，AC=5，AB=6，cosA=34，點O滿足4OA+5OB+6OC=0→，若OP=xOB+yOC，其中0≤x≤1，0≤y≤1，動點P的軌跡所覆蓋的面積為.

思路解法 綜合運用等和線、奔馳定理等知識點，將條件4OA+5OB+6OC=0→運用奔馳定理進行轉化，OP=xOB+yOC，0≤x≤1，0≤y≤1，動點P軌跡覆蓋的區域即兩個三角形OBC.

在遇到例1這個問題時，第一類同學可能束手無策，無法對條件進行轉化;第二類同學可能想到用等和線或者奔馳定理相關結論，但當多種情形結合起來時卻又算不下去;第三類可能會想到用別的方法（比如坐標法）解決，但過程繁瑣.因此，對不同學生而言，這道題的價值就不一樣.分類摘錄錯題，也就是學生根據自己實際情況，綜合評判一道題對你的幫助在哪里.

在摘錄錯題的時候還要注意，錯題本在進行整理時，要用不同顏色的筆進行區分，例如黑筆用于抄錄原題和解答，紅筆用于寫下該題錯誤原因以及自己的總結反思，藍筆用于寫題目的類別等等.

2.2 分析問題

題目摘錄好以后，一定要對題目進行及時分析.對于錯題，要從以下兩個方面入手分析，一是是否為馬虎性錯誤，如審題不清、條件看漏、看錯、計算錯誤、書寫格式等等;二是概念定理不清、題目條件應用不到位、隱藏條件沒有充分挖掘等等.對于好題，主要是要分析思想方法好在哪里，是對某個條件的巧妙轉化，還是對某個定理的靈活運用.簡而言之，分析題目就是借助各種錯題資源，針對錯因形成自己的理解.

對于例1而言，更多的可能是概念定理不清、題目條件應用不到位，即對奔馳定理、等和線的概念不清楚等，起到查漏的作用.

2.3 指導實踐

分析問題過后，更重要的是實踐，即通過分析所得來指導以后再遇到類似的題目怎么辦，并及時記錄自己的所思所想.

對于例1，類似條件4OA+5OB+6OC=0→即要想到奔馳定理，看到條件OP=xOB+yOC就需要聯想到等和線.

例如高一數學第一章集合內容中有這樣一道題目：

例2 已知集合A=x|-2

若A∪B=A，求實數m的取值范圍.

對于這一類問題，學生在解答的時候最容易忽略的情況就是集合B是空集的情況，這是馬虎嗎？其實不是，是對集合的運算以及子集的概念不清晰導致的.所以對這道題目進行反思，要提醒自己，做到類似求子集的問題時要先考慮到空集，空集是任何集合的子集.

再比如三角函數板塊，三角函數大題是每年高考的必考題，難度適中，不容有失.這就需要考生能快速、準確的作出判斷并解答.下面這道三角函數題就是一個很值得研究的題目：

例3 在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，2bcosB=acosC+ccosA.求角B的大小.

這一類題目仔細去研究，其實解題流程都類似，可以總結出來三個解題經驗：

（1）邊與角在同一式子中出現時，要用正弦定理把邊角統一，通常是化為角;

（2）三角形內角A，B，C在同一式子出現，一定會用到內角和為180度;

（3）三角形中同角的正弦可約而余弦不可，因為余弦可能為0而正弦不會.

例如 本題條件2bcosB=acosC+ccosA，符合經驗1，把邊化為角以后再利用三角恒等變換可得2sinBcosB=sinA+C，這時，符合經驗2，因此可以得出

A+C=π-B，所以sinA+C=sinπ-B=sinB=2sinBcosB.

再根據經驗3，可得sinB≠0，所以cosB=12，B=π3.

即可求出結果，所以對于一類題型，做對只是一方面，更重要的是你能從這些題目中感悟出的經驗方法，來指導后續的實踐.

2.4 溫故知新

我國古代偉大的教育家孔子曾說：溫故而知新，可以為師矣.錯題本不是把錯題改完了記到本子上就結束了.對于已經思考過的錯題，還需要經常性地翻閱，再次建構學習.可以根據記憶遺忘曲線，剛開始的時候多回顧，印象深刻之后頻率可以逐漸降低.每次回顧時，注重自己對錯題的理解，不斷進行延伸拓展.

通過試驗，筆者發現此方法在考前效果最佳.很多學生在考試前仍然不斷地刷題，以為做的題越多效果就會越好.這種做法其實是不可取的，考前學生不需拼命做新的題目，只需把錯題拿出來，有針對性地溫習一遍，就能起到事半功倍的效果.在今后遇到同類問題時，會立刻回想起曾經犯的錯誤，從而避免再犯.做到同一道題不能錯兩次，同一類題目不能錯兩次，從而減少習題量.

2.5 把書讀“薄”

把書讀“薄”，即錯題的再整理.當錯題本上的題目逐漸變多了以后，復習的時間會變久，對于靠前部分的題目可能看過很多次早已滾瓜爛熟，收效甚微.這個時候就需要把錯題本讀“薄”，即錯題本的再整理.高中階段，建議新課期間用好一本錯題本，到總復習開始之前重新準備一個本子，將原有的題目重新整理，篩除一些已經很熟悉的題目，留下一些還未完全吸收的題目，這樣我們后續再翻的時候能有的放矢，加深學習，提高效率.

2.6 扉頁應用

扉頁，即一本本子的第一頁，我們把它稱為整個本子的風水寶地，它的位置好，每次翻開的時候基本上都能看到.這里可以用來記“精煉且重要的易錯點”，最好能濃縮為一句話.

“二次項系數0的討論”“求子集注意空集”“方程的解、函數定義域值域要用集合表示”“對數函數注意定義域”“向量AB與BC的夾角是補角”等等.可能你會問為什么要記“精煉且重要的易錯點”？因為盡管我們常常能翻到扉頁，但是停留的時間不會很長.精煉的語句能夠讓我們迅速提煉出有用的信息，一目了然.

2.7 相互學習

一個學生能整理的錯題是有限的，而且因為不同學生的數學能力與思維方式存在一定的差異，收集的錯題也是千差萬別，但不可否認的是每一位學生收集的錯題都有自己的“精華”部分，對一些題目也有自己獨特的理解與反思.因此每隔一段時間，學生之間可以組織相互傳閱錯題本，相互借鑒，取長補短.在這過程中，不僅僅是數學知識的交流，也是做錯題本心得的分享，學生的不同思維會產生激烈的碰撞，激發學生的數學學習興趣，共同進步.

3 運用策略，提升自我

學會一個好的學習方法很簡單，但是將好的學習方法堅持下去，成為一種習慣就很難.剛開始整理錯題的時候，由于不熟練速度會比較慢，要花很多的時間，這些都是正常的，速度慢，恰恰說明你的認真，你的用心.不要著急，耐心去做，提高效率與熟練度.

現代教育家提出的有意義的學習論，指要在新舊知識之間找到某種聯系，從而讓學習者在認知框架中吸收新知識.錯題的反思感悟本來就是知識再次建構的過程，不斷地將錯題回爐重造，填補自己的知識漏洞，才能獲得新的體會.同時從錯題找出知識點漏洞、找出答題時自己思維習慣的弱點，加以修正完善，這才是錯題本學習法的精髓.

所以，堅持下去，讓回顧錯題與好題成為你的習慣，特別是能力范圍之內的知識點與題目，要保證100%拿下，稍微超出能力范圍的，那就是努力的方向，解決掉這些，你就會取得進步，這也就是著名教育學家維果斯基的“最近發展區理論”.最后，希望各位讀者能著眼于最近發展區，不斷攻克它來擴大自己的已有知識面，從而取得更好的成績！

【受汕頭市教育科學“十四五”規劃項目（2021GHB034）資助】

參考文獻：

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