波利亞解題模式在數學解題課程教學中的應用

戚昌厚

【摘要】高中數學教學的主要目的是提升學生的解題能力，實現學生數學核心素養的提升.學生解題能力的強弱直接決定高中數學教學質量高低，所以在實際的高中數學教學中，教師應該將提升學生解題能力作為教學的目標.這是一項長期而復雜的任務，需要教師積極優化教學模式，細化教學流程，將波利亞解題模式利用在具體的解題課程教學中.該模式的具體操作步驟為讀題分析、提取組合、解題反思，將波利亞解題模式利用其中，能夠提升學生的解題能力，充分利用數學教育特征解題，讓學生熟練地參與解題實踐，實現對學生創造能力的培養.

【關鍵詞】波利亞解題模式;高中數學;解題教學

在高中數學解題課程教學中，解題訓練得到了教師的重視，教師十分重視對解題步驟的研究.從本質上講，解題就是一條擺脫疑難、繞過障礙的途徑，通過最簡單有效的方式實現學生解題的目的[1-2]，解題也是一種操作性技能，可以充分體現解決問題的過程.在解題教學中，加強對波利亞解題模式的利用，能夠優化解題步驟，讓學生在讀題分析—有效提取—探索—解題反思中實現解題能力提升.

1 波利亞解題模式

波利亞解題模式所涉及的解題內容十分豐富，一般來說，可以將數學題目的解答分為不同的步驟.具體體現為：

（1）了解問題.這就要求高中學生在對數學問題解決之前，詳細分析數學題目，將數學題目轉化為數學語言，使學生可以充分理解題目的已知條件和未知條件所體現的含義，理解需要解答的問題，然后根據現有的條件尋求問題解決方案，實現數學題目求解和證明的目標，同時讓學生根據解決的問題，聯想和總結已經學習過的知識點，通過總結所學知識，確定問題解決方法[3-4].

（2）制定和實施計劃.學生在全面對已知問題分析后，不要急于對問題進行解答，需要理清解題思路，分析題目解決過程中可能存在的各種問題，避免解題過程中因為急切尋求解題結果而導致解題失敗.這就需要學生在題目解決前，提前制定一個完善的解題計劃，詳細確定已知條件之間的內在聯系，為題目的解決提供有效保證，然后通過尋找相似的解題模型，優化解題方式，將未知的解題思路轉化為曾經解答過的題目，便于理解，降低題目難度.計劃實施的時候，學生在確定解題思路和解題方法以后，就要根據上述制定的解題計劃，促進問題的解決，這個過程中需要綜合利用已經學習過的知識，實現問題的解決.

（3）檢查.因為部分學生在題目完成后，急于解決其他問題，所以會粗心，影響解題結果的準確性，導致學生在題目解決的過程中出現失誤，解題結果與標準答案出現偏差，為了改變這種情況，就需要學生在解題完成后，及時檢查.

2 波利亞解題模式在數學解題課程教學中的應用

2.1 通過已知問題表征促進學生分析

在波利亞解題模式利用中，了解問題對于問題的解決發揮著十分關鍵的作用.了解問題就是弄清問題，了解題意的過程，分析題目提出的問題，以便找到合理的解題角度.

一般來說，解題教學的關鍵就是讓學生全面的了解題目的總體特征，通過分析問題特點，找到題目的解決方法，主要可以體現在以下幾個方面：

（1）需要將已知的數學題目轉化為便于學生理解的數學題目，通過數學語言將題目表達提出.

（2）尤其是應用題解決過程中，教師要引導學生對已知的條件進行分析，將題目中的大量文字語言提煉成數學語言進行描述，然后根據題目中所列出的各種條件和要求，將其轉化為相應的數據、關系式和等量關系和函數模型等，這就需要在指定的題目分析中，了解問題，為應用題的解決提供保證[5].

（3）科學的將題目的條件范圍縮小，保證在明確各種條件后，能夠通過利用已知結構和以前所學知識，判斷題目解決中需要利用的方法和知識點.

例如 在高中數學人教版2019B版《向量的數量積與三角恒等變換》相關問題解決時，已知邊長為1的正方形ABCD的頂點A，D分別在x和y軸的正半軸走滑動，分析OB·OC的最大值為多少.解決這個問題的時候，不少學生被題目卡住了，無法理解題目的含義，也不明白向量數量積的關系，此時不少學生就想到可以利用平面向量的基本定理做題，但是需要將既定的條件進行分析.這個過程中，學生可能受到數學語言的影響，無法正確理解數學符號和模型之間所表述的量關系，此時教師就要引導學生分析題目，熟悉分析，畢竟學生的解題能力與學生對于題目的熟悉程度相關，也與學生的知識基礎和相關的解題經驗有關，只有學生在這個過程中利用學過的知識解決問題，方可理解題目含義，實現題目解決的目的.

2.2 提取有效信息制定和實施解題方案

在高中數學解題課程教學中，加強對波利亞解題模式的利用，就要通過提取有效的題目信息，制定和實施完善的解題方案，這既是題目解決的關鍵環節，也是題目解決中困難最多的環節，學生在這個過程中所消耗的時間比較多，但是發生的錯誤也是最多的.所以教師需要從解決問題的實際情況出發，積極帶領學生發現題目解決中存在的錯誤，然后重新擬定新的解題方案，全面探索題目解決的過程，再次回到審題階段，找到問題失敗的原因，對問題重新提取組合，擬定方案.畢竟對于有效信息的提取、解題方案的實施和問題的解決是密不可分的，在審題的過程中，需要積極地制定解決方案.在制定解決方案后，還需要進一步審題，再次分析題目已知信息，分析其對于問題解決的價值.

由此可見，學生可以嘗試以下解題步驟：（1）在閱讀題目的同時需要將有價值的已知條件圈出來，將其轉化為有效的數學語言，然后對已知的問題進行羅列;（2）讀題以后，需要學生全面聯想自己學習過的與題目相關的知識，從已知、題設能想到什么，從結論中考慮需要什么信息，思考比較常見的題目解決途徑[6-7].

比較常見的解題途徑一：“問題直接可以用定義、公式、定理求解”，這就需要學生在全面分析題目信息后，對問題的特點進行分析，直接分析問題涉及的公式、定理等，將已知的數學信息轉化為符號、圖形、數量等信息，從而找到有效的問題解決方法.途徑二：需要學生在腦海中對學習過的類似題目進行思考，分析舊問題解決過程中利用了哪種方法，然后進入審題環節后，找到相關的問題解決類型，通過利用舊問題解決方法分析新問題，這就可以看出，熟練地掌握各種類型解題方法是十分必要的，只有學生掌握的題目類型足夠多，其在遇到新的問題時，方可快速找到問題的解決辦法.

例如 在高中數學人教版2019B版《三角函數》相關問題解決時，已知△ABC中，D為邊BC上的一點，BD=12DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面積是3-3，求∠BAC.對于該題目的解決，就需要在弄清問題的基礎上，精確分析已知信息，教師需要引導學生回答關鍵性的問題“已知是什么”“條件是否充分”“是否需要畫圖引入符號”等，在明確這些基礎條件后，教師可以引導學生尋求解題思路，制定解題計劃.此時教師可以提問：“我們求三角形中的一個角需要利用哪些方法”“如果利用正弦定理求∠BAC的大小需要具備哪些已知條件”“在△ABC中，如果我們用余弦定理來求∠BAC又需要什么條件”等.在類似計劃制定后，教師可以引導學生復習題目相關問題，聯想相關定理和公式，教師通過引導學生思考，激發學生的數學問題解決興趣.要想更好地實施計劃，就要通過波利亞解題法，教師引導學生回答幾個問題“檢查了每一個步驟”“是否說明每一個步驟具有合理性”等，引導學生養成良好的解題習慣，促進解題方案的有效實施.

2.3 適時解題回顧檢查

波利亞說：“想要從解題中得到最大的收獲，應當深入理解如何解題，思考是否還有更簡單的解題方法？如何克服障礙等.”在現階段的高中數學問題解決中，不少學生因為學習壓力較大，整天在題海戰術中度過，雖然做了許多練習題，但是對于解題過程的認知還處于一個比較盲目而感性的階段，解題追求數量的積累，只能依賴于做題提升解題能力.但是這種做題量的提升并沒有明顯地實現解題能力的提升，所以這就引發關于解題的反思.多數學生在解題過程中，并沒有及時反思解題過程中存在的問題，所以無法在原有問題的基礎上實現解題能力提升.通過對大量的學生調查發現，不少學生做完題目后，只是將題目放在一旁，很少去回顧過程，還有部分學生不知道如何進行反思，更不知道在解題的過程中用到哪些方法，所以無法實現解決問題能力的提升[8-9].只有反復地回顧題目的解題方法，分析解題過程中所出現的問題，才能更好回顧解題經驗，吸取失敗的經驗，找到發生問題的根本原因，在后續的解題中，積極優化解題思路，少走彎路，只要有同伴或者老師稍加指點便想到了解題思路.

波利亞解題模式不難，通過正確的解題流程利用，可以使學生將解決問題的思維體現在一個點上，實現重大的突破，即使是難度很高的問題，學生也可以有效解決，克服自己的解題障礙，讓學生在長久的解題經驗中提升解決問題的能力，實現數學核心素養的提升.波利亞解題思想利用的主要目的就是檢驗學生對于高中數學知識的掌握程度，促進學生對于高中數學知識的理解運用，以便教師因材施教，實現問題的解決.在題目的解決方案實施后，教師需要引導學生回顧解決問題的過程，恰當地設置課堂上“練”的環節和課后“練”的習題，做好對問題解決的回顧檢查，便于促進學生對于知識的理解和掌握，以便更好地激發學生的求知欲望，達到數學知識鞏固的目的.

3 結語

波利亞的解題理論更加重視對學生數學思維的塑造，將其利用在高中數學的解題教學中，可以作為一種常規的解題手段，通過指導學生了解題目，制定和實施解題方案，回顧分析解決過程，啟發學生的數學思維，培養學生分析和解決問題的能力，構建學生的解題元認知結構.從本質上講，波利亞的解題理論可以促進學生的數學解題元認知能力的提高，這主要是因為該方法善于利用提示語，讓學生在教師的提示語指導下，引發不同階段對于題目的思考，提升學生的數學問題解決能力，提升學生數學核心素養.

參考文獻：

[1] 江忠東.數學解題的三種實用范式[J].中學數學教學參考，2022（1）：44-47.

[2] 高志華.基于波利亞思想的高中數學教學新模式淺析[J].中國校外教育（中旬刊），2018（9）：121，133.

[3] 楊孝斌，呂傳漢，吳萬輝，等.高中數學“一題一課多解變式”教學模式的理論構建與實踐探索[J].中小學課堂教學研究，2021（11）：14-19.

[4] 葛雯琳.波利亞“解題表"指導下的命題教學[J].數學之友，2019（16）：14-17.

[5] 林偉民.漫談數學文化滲透的課堂教學策略[J].數學之友，2019（24）：36-37.

[6] 劉明遠，蘇曉輝.精選例題，提高課堂教學效益-中考復習課《四邊形（1）》的例題修改過程及感悟[J].數學之友，2019（24）：97-99.

[7] 巫延忠.一道經典三角不等式題延伸的教學嘗試[J].數學之友，2019（16）：63-65.

[8] 陳桂芬.高中數學教學中的推理猜想引導——評《數學與猜想（第二卷）：合情推理模式》[J].中國教育學刊，2019（8）：124.

[9] 錢雨森.基于波利亞解題模型在高中數學解題教學中的應用分析[J].文理導航，2018（3）：11.