高中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的應(yīng)用

呂飛

【摘要】高中數(shù)學(xué)知識(shí)復(fù)雜且抽象，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)性與系統(tǒng)性特征，在新一輪教育改革背景下，要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握一些常用的數(shù)學(xué)思想方法，輔助試題的順利解答.本文以分類討論思想為例，探討如何借助分類討論思想，助推高中生順利解答數(shù)學(xué)試題，同時(shí)分享一些個(gè)人建議，以期達(dá)到拋磚引玉之效，便于廣大同行參考.

【關(guān)鍵詞】分類討論思想;高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)試題

分類討論思想就是將所有研究的問(wèn)題結(jié)合題目特點(diǎn)和要求，合理分成若干個(gè)類別，轉(zhuǎn)化成多個(gè)小問(wèn)題，這是一種先按不同情況分類、再逐一研究解題的數(shù)學(xué)思想方法.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，由于知識(shí)難度的提升，試題難度也有所增加，教師應(yīng)指引學(xué)生結(jié)合具體題目?jī)?nèi)容進(jìn)行分類討論，使其形成清晰的解題思路，確保他們得出的結(jié)果完整且準(zhǔn)確.

1 借助分類討論思想，順利解答函數(shù)試題

一直以來(lái)，函數(shù)都是高考數(shù)學(xué)中的重要考點(diǎn)之一，無(wú)論前面的選擇題、填空題，還是后面的大題，均會(huì)考查函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，由于函數(shù)知識(shí)自身較為繁雜，邏輯性與抽象性也較強(qiáng)，不少學(xué)生遇到這類題目時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的畏懼心理，導(dǎo)致他們無(wú)法準(zhǔn)確理清題意，影響解題的正確性.為此，高中數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助分類討論思想解答函數(shù)類試題，使其對(duì)題目?jī)?nèi)容進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤诸愑懻?，?jiǎn)化解題步驟，輔助他們順利解答題目，求得準(zhǔn)確答案.

例1 假如a是一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+x-a+1，x∈R，那么函數(shù)f（x）的最小值是什么？

解析 學(xué)生采用分類討論思想可以這樣解題，按照以下步驟進(jìn)行：當(dāng)x12，則能求出函數(shù)f（x）min=f（12）=a+34，如果a≤12，則函數(shù)f（x）min=a2+1;當(dāng)x≥a時(shí)，則能夠分析得出函數(shù)f（x）=x2-x+a+1=（x-12）2-a+34，假如a>-12，能夠得到函數(shù)f（x）min=f（a）=a2+1，當(dāng)a≤-12時(shí)，則可以得出函數(shù)f（x）min=f（-12）=-a+34.

綜合可知，當(dāng)a≤-12，函數(shù)的最小值是-a+34，當(dāng)-1212時(shí)，函數(shù)的最小值是a+34.

2 運(yùn)用分類討論思想，高效處理概率試題

概率知識(shí)屬于高中數(shù)學(xué)課程體系中的重點(diǎn)內(nèi)容，是學(xué)生在日常生活中經(jīng)常接觸到的一類知識(shí)，主要指隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，通過(guò)學(xué)習(xí)能夠讓學(xué)生基于客觀視角認(rèn)識(shí)世界，使其形成客觀思維，且在解題中形成理性的解題思路.在高中數(shù)學(xué)概率解題教學(xué)中，教師可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想來(lái)分析，先以概率問(wèn)題的本質(zhì)為切入點(diǎn)，再分析題目中的概率類型，當(dāng)明確已知條件之后，對(duì)題目中出現(xiàn)的概率個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，讓他們順利得出概率的具體數(shù)值.

例2 已知在區(qū)間[-3，3]中隨機(jī)選取數(shù)值x，同時(shí)要確保不等式x+1-x-2≥1恒成立，求概率.

解析 大多數(shù)學(xué)生遇到這類題目時(shí)，在缺乏解題技巧的情況下，將會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間理清題目中的各類數(shù)值，這時(shí)教師提示他們運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行思考，使其按照以下思路解答.具體方法如下：假如x<-1，則能夠得到不等式-x-1+x-2≥1，該不等式?jīng)]有解;假如-1≤x≤2，則能夠得到不等式x+1+x-2≥1，解之得1≤x≤2;假如x>2，能夠得到不等式x+1-x+2≥1，此時(shí)不等式恒成立.綜上可得該不等式的解集是[1，+∞），在[-3，3]上使不等式有解的區(qū)間為[1，3]，則概率P=3—13—（—3）=26=13.

3 采用分類討論思想，準(zhǔn)確解決數(shù)列試題

數(shù)列知識(shí)作為高中數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)基本內(nèi)容，處于知識(shí)點(diǎn)交匯的位置，同不少內(nèi)容都有著一定的聯(lián)系，不僅有助于學(xué)生深入復(fù)習(xí)方程相關(guān)知識(shí)，還能夠回顧不少數(shù)學(xué)問(wèn)題，像等比的性質(zhì)、一次函數(shù)與二次函數(shù)等.在高中數(shù)學(xué)數(shù)列解題教學(xué)中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生采用分類討論思想，尤其是在核算數(shù)列的等比數(shù)列求和題與周期性題時(shí)，運(yùn)用分類討論思想能能夠?qū)?shù)列中存在的各種可能進(jìn)行單獨(dú)分析，由此簡(jiǎn)化題目的分解過(guò)程，助推他們求得準(zhǔn)確結(jié)果.

例3 已知在等比數(shù)列an中公比是q，該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn>0（n=1，2，3 ......），那么請(qǐng)問(wèn)公比q的實(shí)際取值范圍應(yīng)該是什么？

解析 處理這類數(shù)列試題時(shí)，學(xué)生要做的第一件事并非馬上分析和計(jì)算，而是要進(jìn)一步剖析題目中給出的條件，他們分析后發(fā)現(xiàn)題目中提供的公比q沒(méi)有一個(gè)明確的范圍，這表明q可以是任意值.在這種情況下，學(xué)生首先需考慮到等比數(shù)列的求和公式，即Sn=a1（1—q2）1—q，他們根據(jù)上述公式，以及分?jǐn)?shù)相關(guān)知識(shí)能夠發(fā)現(xiàn)公比q的取值是否是1將會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生重大影響.所以，學(xué)生可以運(yùn)用分類討論思想把公比q的值進(jìn)行分類討論，即q=1與q≠1這兩種不同情況，分類討論后得出相應(yīng)的取值范圍.

4 應(yīng)用分類討論思想，輕松解答幾何試題

數(shù)學(xué)課程主要由幾何與代數(shù)兩大部分構(gòu)成，分類討論思想不僅可以用來(lái)處理部分代數(shù)類問(wèn)題，同樣能夠用來(lái)解答一些幾何類試題.高中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)以解析幾何與立體幾何為主，題目顯得更加抽象和難懂，解決起來(lái)難度較大，對(duì)學(xué)生的空間觀念、思維能力與認(rèn)知水平等有著更高的要求，他們極易陷入解題困境之中.所以，高中數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用分類討論思想解析幾何類題目，對(duì)圖形中的元素進(jìn)行分類討論，輕松解答幾何試題.

例4 空間一點(diǎn)P到二面角α-l-β的兩個(gè)面的距離分別為1與2，到棱的距離為2，求該二面角的大小.

解析 題目中說(shuō)P是空間的一點(diǎn)，所以需考慮P點(diǎn)在二面角內(nèi)部與外部?jī)煞N情況進(jìn)行分類討論.具體解答過(guò)程如下：設(shè)PA⊥α于A，PB⊥β于B，則PA的值是1，PB的值是2，PA⊥l，PB⊥l，由此得出l⊥平面PAB，設(shè)平面PAB與l相交于點(diǎn)C，則∠ACB是二面角α-l-β的平面角，且PC⊥l，PC的值是2，所以，在直角三角形PBC中，∠PBC是45°，在直角三角形PAC中，∠PAC是30°，此時(shí)展開分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在∠ACB內(nèi)部時(shí)，∠ACB=45°+30°=75°;當(dāng)點(diǎn)P在∠ACB外部時(shí)，∠ACB=45°-30°=15°，即二面角α-l-β的大小是75°或15°.

5 結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)意識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)用性和價(jià)值，指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)題目?jī)?nèi)容進(jìn)行分類討論，把原本繁瑣復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生優(yōu)化解題思路與流程，使其輕松、準(zhǔn)確、高效、順利地解答試題，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

參考文獻(xiàn)：

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