函數與方程思想破解高中數學教學難點探析

王宏科

【摘要】函數與方程思想是破解高中數學難題的重要思想與方法，其不僅能使學生的解題效率與準確率得到切實提高，而且還能實現學生數學能力的提高.教師在對數學難點進行講解時，需注重函數與方程思想的融入，以此為學生的后期學習奠定堅實的基礎.

【關鍵詞】函數;方程思想;高中數學

1 引言

函數和方程思想包括兩個部分，即函數思想和方程思想，就函數思想來說，其主要是通過函數相關知識來分析求解相關的數學問題，而方程思想是把問題的數量關系轉化為方程或方程組等數學模型，然后利用方程的理論或方法求解數學問題.求解數學難題時，函數和方程的巧妙運用不僅可以使學生具有清晰的解題思路，實現高效解題，而且還能使學生形成相應的數學思想，實現數學思維能力的發展.

2 函數與方程思想破解高中數學教學策略

2.1 函數與方程的思想破解方程問題

例1 已知函數f（x）=2cos2x+cosx-1，g（x）=cos2x+a（cosx+1）-cosx-3，若兩函數的圖象在（0，π）內存有一個公共點，求取a最小值.

解析 兩函數的圖象在給定區間內存在一個公共點，也就是兩個函數值相等的方程，在這個區間內有解，此時，可以將數學問題轉變成方程問題.

依據已知的條件可得：f（x）=g（x）在0，π上是有解的，即2cos2x+cosx-1=cos2x+a（cosx+1）-cosx-3：化簡得：a（1+cosx）=（cosx+1）2+1，由于x∈（0，π），也就是0<1+cosx<2，那么，a=1+cosx+11+cosx≥2，當1+cosx=11+cosx時等號成立，這個時候，cosx=0，即a值的最小值是2.

2.2 函數與方程的思想破解不等式問題

例2 求證：對一切大于1的正整數n都有1+131+15…1+12n-1>1+2n2.

解析 本題中的題干相對簡單，證明技巧性也比較強，缺乏正確解題思路，無法有效解題，可通過移項進行新函數構造，利用新函數單調性進行求解公式的最值即可證明.

設f（n）=1+131+15…1+12n-11+2n，

那么f（n+1）=

1+131+15…1+12n-11+12n+1-11+2（n+1），

經過作商，對函數的f（n）單調性進行判斷，由此可得：f（n+1）f（n）=（1+12n+1）·2n+12n+3=2（n+1）4（n+1）2-1>1，

即f（n）是增函數，由于n是大于1的正整數，此時，f（2）=1+135=1645>1664=12，因此，n=2，3…的時候，都有f（n）>12，由此可證原題.

2.3 函數與方程的思想破解三角函數問題

例3 設f（x）是定義域R上的奇函數，且函數在定義域R單調遞減，若α∈0，π2時，不等式f（cos2α+2ksinα）+f（-2k-2）>0恒成立，求k取值的范圍.

解析 本題考查了抽象不等式問題，在抽象不等式向三角不等式轉化的過程當中函數單調性起到了重要的作用，另外利用換元法將三角問題轉化為二次函數問題，同時本題充分挖掘了二次函數圖象的特點，為求解參數的范圍提供了方便.

f（cos2α+2ksinα）+f（-2k-2）>0可轉化成（cos2α+2ksinα）<（2k+2），設t=sinα，則t∈0，1，等價于：t2-2kt+2k+1>0，在t∈0，1恒成立.立足于函數與方程的思想，令g（t）=t2-2kt+2k+1，則該函數g（t）在t∈0，1的最小值大于0即可，分三種情況求g（t）的最小值，最終能夠求解得k>-12.

2.4 函數與方程的思想破解數列問題

例4 已知Sn是等差數列{an}前n項和，現有a4+a5=24，S6=48，那么的公差是（? ）.

（A）1.? ?（B）2.? ?（C）4.? （D）8.

本題主要是對等差數列的基礎性知識進行考查，假設求取的公差是d，依據等差數列的計算公式，提供的條件可列出相應的方程組為：2a1+7d=246a1+15d=48，此時，通過計算就能實現問題的有效解決.

2.5 函數與方程的思想破解參數范圍問題

例5 已知a、b是正數，若ab=a+b+3，求ab的取值范圍.

解析 依據題干當中所涉及到的兩個參數積和兩個參數和，可聯想至一元二次的方程根的關系，并加以解答.

設ab= t，按照ab=a+b+3可得到a+b=t-3，立足以此，構造方程為x2-（t-3）x+t=0，且a、b為兩個正根，就能得到相應的關系：Δ=t-32-4t≥0，t-3>0，t >0，對其求解可知：t≥9，因此，ab取值范圍是[9，+∞）.

2.6 函數與方程的思想破解代數問題

例6 不等式a（x2-1）<2x-1對滿足條件|a|≥2的實數a是恒成立的，求取x值的具體范圍.

解析 學生可通過函數與方程的思想進行相關代數問題的解答，也就是將a當做成變量，把數學題目當中的不等式a（x2-1）<2x-1轉化成（x2-1）a-（2x-1）<0，由此可知，在變形之后，關于a的不等式在區間[-2，2]中為恒成立.通過構造函數f（a）=（x2-1）a-（2x-1），讓函數f（a）=（x2-1）a-（2x-1）在在區間[-2，2]上的最大值小于0即可.本題通過函數的思想，交換變量x和a，使復雜的代數問題轉化為函數最值的簡單問題.

2.7 函數思想解決數學方程式

通過轉化方程式，使其成為兩個函數，并借助函數與方程的思想，對抽象的方程問題進行簡化，以實現問題的高效解決.

例7 已知函數f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值為m.

（1）求m的值以及此時的x的取值范圍;

（2）若實數p，q，r滿足p2+2q2+r2=m，證明：q（p+r）≤2.

解析

（1）依據題意，得f（x）=|x+3|+|x-1|≥|x+3-x+1|=4，故m的值是4.

若（x+3）（x-1）≤0，即-3≤x≤1時等號成立，即x的取值范圍為[-3，1].

（2）證明：由于p2+2q2+r2=m，

故（p2+q2）+（q2+r2）=4.

由于p2+q2≥2pq，僅有p=q時，等號成立，q2+r2≥2qr，僅有q=r時，等號成立，

因此，（p2+q2）+（q2+r2）=4≥2pq+2qr，故q（p+r）≤2，僅有p=q=r時等號成立.

3 結語

綜上所述，高中數學的教學難點破解中，較為常用的解題方法就是函數與方程思想，面對數學難題求解時，其不僅有助于解題步驟的簡化，而且還能實現解題思路明晰，從而使數學難題實現有效破解.

參考文獻：

[1]陳瑞飛.關于函數與方程思想在高中數學解題中的實踐[J].數理化解題研究， 2020（12）：2.

[2]段蕾.函數與方程思想在高中數學解題中的應用[J].中學生數理化：高考理化， 2020（4）：1.

[3] 郭國山.函數與方程思想在高中數學解題中的應用[J].中學生數理化：高考理化， 2020（1）：1.