圓錐的內切球問題教學案例分析

楊鐳

摘 要：文章以2020年全國3卷理科第15題為母題，開展“一題一課 多解變式”的教學實踐，引導學生從不同角度思考問題，探究圓錐的內切球問題的多種解法，挖掘數學思想；結合一題多變，引導學生建立完整的數學知識體系，促進數學核心素養的提升。

關鍵詞：高中數學；一題一課；立體幾何；解題教學

一、教學設計

（一）知識要點

與球有關的問題主要考查兩個方面：一是幾何體的外接球問題；二是幾何體的內切球問題。本節課主要研究幾何體的內切球問題，解決以圓錐為背景的內切球問題，體會立體幾何問題與平面幾何、函數與方程、三角函數、解析幾何等知識的聯系；在變式和解題過程中，體會轉化思想和方程思想。

（二）學習背景

1．教材分析

本節課選自人教A版（2019年版）高中數學選擇性必修第二冊[1]第八章第8.3.2節《圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積》。幾何體的內切球問題綜合性較強，靈活多變，能很好地考查學生對幾何體的內切球問題的本質及相關知識的熟練掌握程度，以及計算的靈活運用能力。

2．學情分析

本節課是在學生剛學完《球的表面積與體積》之后，進一步深入探究與幾何體的內切球有關的問題。學生雖已初步掌握球的表面積與體積公式，但僅僅停留在公式的運用階段，對于在復雜情境中求解幾何體的內切球半徑，還沒有形成相關的知識體系，遇到稍復雜的、不熟悉的問題，仍找不到突破口。

（三）學習目標

1．核心素養目標

（1）通過親身經歷用多種解法求圓錐的內切球問題的探究，體會等體積法的普適性以及平面幾何相關知識的靈活應用，促進直觀想象與數學運算核心素養的提升[2]。

（2）通過對母題進行變式的探究，體會方程思想和轉化思想，促進邏輯推理核心素養的提升。

2．關鍵能力目標

（1）通過對求圓錐的內切球半徑的各種解法的分析、評價，認識數學方法的特殊性與一般性。

（2）能通過“改變條件”“去掉條件”等操作對一道題進行變式，并通過變式練習認識各種解法之間的內在聯系和本質特點。

（3）能從自身已有知識儲備出發，從不同角度分析題干條件，選擇合適的方法解決問題。

（四）設計思路

本節課采用“一題一課多解變式”的教學模式實施以下教學環節[3]：母題呈現→知識回顧→一題多解→一題多變→一題多思。

母題呈現：本節課以2020年全國3卷理科第15題為母題引入，并把它作為本節課的重點研究課題，引導學生積極探索用多種方法解決母題，總結求圓錐的內切球半徑的方法，并對比分析每一種方法的優缺點及適用范圍。

知識回顧：引出課題后，引導學生回顧母題所涉及的知識點，并以思維導圖的形式進行歸納，豐富和完善自身的知識體系。

一題多解：師生一同研讀母題，分析解題思路，引導學生從多角度進行分析，嘗試多種解題方法。本環節以學生為主體，由學生完成，教師補充并與學生共同總結各種方法的優缺點。

一題多變：從母題出發，由淺入深地開展變式，可以適當放開，讓學生自主開展變式，并把變式作為練習讓學生獨立完成，教師點評。

一題多思：總結本節課的知識點、題型及思想方法，以及引導學生分享本節課的收獲與感悟。

二、教學過程

（一）母題呈現

已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為? ? ? ? ? 。

設計思路：這道題來源于2020年全國3卷理科第15題（文科第16題），本題以圓錐及其內切球為載體，考查圓錐的性質及其內切球、軸截面、球的體積公式，屬于探索創新情境，在課程標準中的內容要求是“知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題”，學業要求是“掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，解決簡單的實際問題”。

教學環節：先給學生兩分鐘的時間研讀該題，在波利亞解題思想的指導下，獨立分析該題的已知條件和所求的未知量，并挖掘該試題涉及的知識點，學生研讀后分享自己的分析結果。

（二）知識回顧

教學環節：讓學生回顧本題所涉及的知識點（本題涉及圓錐的性質及其內切球、軸截面和球的體積公式），并以思維導圖的形式進行總結，教師補充并強調該注意的地方。

（三）一題多解

教學環節：學生再研讀母題，分析解題思路，引導學生從多角度分析，用自己的方法解決。然后小組討論，小組派代表到黑板上展示解法，教師視情況補充解法。

問題1：你以前遇到過類似的問題嗎？以前是怎么解決的？

生：遇到過求三棱錐的內切球半徑問題，我的做法是先畫出一個圖，分析圖形。這道題雖然沒有提到“內切球”一詞，但是可以判斷出圓錐內半徑最大的球的體積應該是圓錐的內切球的體積。以往遇到內切球的問題可以采用等體積法解決。

解法一：等體積法

思路分析：利用等體積法“圓錐的體積等于圓錐的表面積與圓錐內切球半徑乘積的三分之一”[4]，構造方程求解。

歸納總結：有內切球的幾何體可以用等體積法構造方程解決，本質是方程思想，也體現了整體與部分的轉化思想。

問題2：在掌握了等體積法的基礎上，采用類比的手法，我們還能想到使用什么方法解決該問題？

生：我想到了等面積法。可以做出圓錐的軸截面，將問題轉化為等腰三角形中內切圓的半徑問題。

解法二：等面積法

思路分析：將空間問題轉化為平面問題，已知圓錐的軸截面為三角形，利用三角形面積相等，從整體與部分兩個角度表示面積，構造方程求解。

歸納總結：首先從整體的角度直接求出圓錐的軸截面面積，再從分割的角度用內切圓半徑表示圓錐的軸截面面積，然后利用面積相等構造方程，從而解出內切圓半徑，其本質是方程思想，也體現了整體與部分的轉化思想。

問題3：從宏觀角度來看，等面積法體現了整體思想，如果從微觀角度來看，我們還能以哪些方面作為突破口求三角形內切圓的半徑？

生：可以利用圓錐的軸截面中，三角形內切圓所蘊含的垂直關系，由勾股定理建立等量關系，解出內切圓的半徑。

解法三：方程法

思路分析：將空間問題轉化為平面問題，已知圓錐的軸截面為三角形，利用勾股定理，尋找邊的關系，構造方程求解。

歸納總結：利用平面幾何關系，找到三角形中“邊”的關系，最后利用勾股定理構造方程，從而解出內切圓半徑，本質思想是方程思想。

問題4：利用三角形中“邊”的關系，借助勾股定理構造等量關系，從微觀角度體現了方程思想。除了利用初中所學的“勾股定理”獲得“邊”的等量關系，還能從什么角度獲得“邊”的等量關系？

生：相似三角形中對應邊成比例。

解法四：相似法

思路分析：將空間問題轉化為平面問題，已知圓錐的軸截面為三角形，利用相似三角形，尋找邊的關系，構造方程求解。

歸納總結：利用平面幾何關系，從相似三角形中得到對應邊的關系，從而求出內切圓半徑，本質是方程思想。

問題5：解法3和解法4都是初中所學知識，能否從高中的解三角形角度思考求解呢？

生：跟相似三角形的解題原理類似，可以利用同角的正弦相等，在兩個直角三角形中利用不同的邊去表示同一個角的正弦值。

解法五：三角函數法

思路分析：將空間問題轉化為平面問題，已知圓錐的軸截面為三角形，利用同角三角函數，得出內切圓半徑與圓錐高度的數量關系，進而求解。

歸納總結：利用三角函數關系，得到內切圓半徑與圓錐高的數量關系，從而求出內切圓半徑，本質是函數與方程思想。

問題6：從三角形“邊”的角度出發，利用三角函數知識可以得到內切圓半徑與圓錐高度的數量關系，如果從三角形“角”的角度出發，能否建立相關等式呢？

生：三角形的內切圓圓心是角平分線的交點，因此角度有倍數關系，可以結合二倍角公式解決。

解法六：三角變換法

思路分析：將空間問題轉化為平面問題，已知圓錐的軸截面為三角形，從等腰三角形特征與內切圓的特征中發現二倍角關系，利用三角恒等變換求解。

歸納總結：將內切圓與角平分線聯系起來，將相切和直角聯系起來，得到二倍角的關系，從而轉化成三角變換的求值問題，其本質是函數思想。

問題7：對比以上幾種解法，你認為哪種解法最簡便？

生：等體積法和等面積法。思路明確，計算簡單。

問題8：通過以上探究，我們能否總結出求圓錐的內切球半徑的幾種方法？各自有什么適用范圍？

生：等體積法。只要有內切球的幾何體都可以利用等體積法求解內切球半徑，這是通解，適用范圍廣。

生：等面積法。先將立體圖形問題轉化為平面圖形問題，再結合平面幾何知識建立面積的等式求解。這種方法要求我們必須熟練掌握將空間問題轉為平面化的思維。

生：方程法和相似法。利用平面幾何知識，從“邊”或“角”的角度建立等量關系，構造方程求解。這兩種方法是使用頻率較高的方法，體現了方程思想，適用范圍廣。

生：三角函數法與三角變換法。在三角形背景下探索邊角關系，利用三角函數與三角恒等變換等知識解決。這兩種方法僅適用于截面圖形有三角形的問題，且對三角函數知識的掌握要求較高，有時計算量稍顯復雜。

（四）一題多變

變式角度一：改變題目載體

變式1.已知正三棱錐的底面邊長為1，側棱長為3，求該正三棱錐內半徑最大的球的體積。

變式角度二：改變題目問題

變式2.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，求該圓錐的外接球的體積和表面積。

變式3.已知三棱錐的一條棱長為3，其余各棱長均為2，求該三棱錐的外接球的體積和表面積。

變式角度三：變為復雜情境

變式4.已知某圓錐的內切球的半徑為2，求該圓錐的表面積的最小值。

（五）一題多思

設計思路：在課堂尾聲，教師總結本節課所涉及的知識點以及思想方法，同時引導學生進行自主變式，并在課后探究解題思路。

活動環節：總結本節課你所學到的知識、方法或數學思想。結合母題及以上變式方法，你還能提出什么變式問題？

三、教學反思

（一）一題多解建體系

此題為2020年全國3卷理科第15題，在新高考改革的背景下，此題雖難度不大，但仍對高三數學復習備考具有很大的參考價值。此題思路頗多，解決的方法涉及立體幾何、平面幾何、三角函數、解析幾何等知識。在教學中，教師應引導學生從不同的角度、不同的知識板塊探索此題解法，鼓勵不同層次的學生不要輕易放棄，學會靈活運用自身所學知識解決問題，讓其意識到數學知識從來都不是獨立存在的，其中都有很多內在聯系，在今后遇到陌生問題時能多思考幾個方法，對比各種方法的優缺點和適用范圍，綜合分析得出最優解決方案。

此題考查范圍較廣，涉及的數學思想方法有轉化與劃歸思想、數形結合思想、函數與方程思想，教師在教學中應有意識地滲透數學思想方法，幫助學生形成數學思維，這些思維有助于學生更好地理解數學。

（二）一題多變悟通法

此題僅以圓錐為背景，在立體幾何的學習中，學生還會遇到以棱錐、圓柱、棱柱、圓臺、棱臺等更具一般性的幾何體為背景的問題。數學家波利亞曾說過：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個。”在解題教學活動過程中，要學會采“蘑菇”，善于引導學生對一個好問題進行變式改造，如改變題目的條件、結論、圖形、敘述方式等，進而對問題進行更深層次的探索。因此，在教學中可以設置一些變式問題，啟發學生思考解決圓錐內切球問題的方法是否具有一般性，能否用解決圓錐問題的方法去解決其他問題，若教師提出這兩個問題，學生一定會提起興趣，并陷入深思，在此基礎上，學生會進一步思考每一種解法的可行性與實用性，這將對其思維發展起到積極影響。

（三）一題多思成習慣

筆者接觸過很多數學學困生，對于數學學習，他們最大的困惑是“明明自己做了很多題，數學成績卻依舊沒有提升或提升效果不明顯，這是為什么？”每當學生提出這樣的疑問，我都會回答：“是十分鐘做完十道題有意義，還是十分鐘做好一道題并反思總結更有意義？”很多學困生并不是比別人笨，而是用錯了學習方法。筆者認為，學生數學的進步等于練習加反思，倘若一味采取“題海戰術”，缺少對問題的反思和總結，這樣的學習方法只會事倍功半，并且大大打擊學生數學學習的自信心。因此在解決一道問題之后，教師應引導學生進行適當的反思和總結，當教師將一題多解和一題多變的思考方式印刻在學生腦海中時，這將會讓學生養成科學地分析問題、解決問題、反思問題的好習慣，學生的思維將不再受限，或許在未來的某一天，教師也能收到學生帶來的意想不到的思維火花。

結束語

本文以“一題一課多解變式”教學模式為理論基礎，以一道高考圓錐的內切球問題的求解為母題開展“一題一課多解變式”的教學實踐。教學中，筆者從一道簡單題入手，引導學生從不同角度開展多種解法探究，再從母題出發進行不同方式、不同難度的變式，幫助學生領悟數學的本質，引導學生從會解一道題到會解一類題。但由于筆者自身能力有限，在實際教學中仍存在些許問題，這些都有待進一步研究。

參考文獻

[1]章建躍，李增滬，張勁松，等.普通高中教科書·數學選擇性必修第二冊A版[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[3]楊孝斌，呂傳漢，吳萬輝，等.高中數學“一題一課多解變式”教學模式的理論構建與實踐探索[J].中小學課堂教學研究，2021，64（11）：14-19.

[4]江斌.有內切球的幾何體的體積[J].中學數學，2002（7）：13-14.