新中考背景下如何培養初中生的數學建模思想

駱意

【摘要】新中考實施后，中考數學試題呈現出基礎性、新穎性、創新性并重的局面，相當一部分學生對此類題目常常感到束手無策。在此背景下，應當有效地培養學生的數學建模思想，提高學生在具體情境中綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

【關鍵詞】初中數學;新中考;建模思想;課例

2020年起，廣東省初中學業水平考試實行全省統一命題、統一試卷、統一考試時間。按照《教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》（教基〔2019〕15號）要求，各學科命題均以《義務教育課程標準（2011年版）》為依據，體現課程改革的理念與要求，減少單純記憶、機械訓練性質的內容，突出對學科主干知識和學科素養的考查，增強與學生生活、社會實踐的聯系，注重考查學生在具體情境中綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力，引導發展素質教育。

中考數學試題呈現出基礎性、新穎性、創新性并重的局面，而我們的一部分學生對此類題目常常感到束手無策。

新中考背景下，如何有效地提高學生在具體情境中綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力呢？筆者認為，應有效地培養學生的數學建模思想。數學課程標準指出：數學學習的最重要成果就是學會建立數學模型，用以解決實際問題。培養學生的建模思想，讓學生經歷建模和解模過程，有助于提高學生數學建模、抽象思維等核心素養，培養學生良好的思維品質。

什么是數學建模思想？就是把現實生活中的問題抽象，抓住問題的本質特征，用數學符號表示出來，它反映的是同類問題的共同特征，求出模型的解后，需要回歸到具體的問題中，驗證解的合理性，它包含數學建模和模型思想兩個方面：一是數學建模：數學符號、數學公式及數量關系對現實問題原型簡化的本質描述。

二是模型思想：是學生遇到問題，通過分析，理清其中的各種關系，提出關鍵信息之間的內在聯系，進而建立這些信息之間的聯系，運用數學的語言、符號進而抽象，概括出問題的本質過程，這個本質具有同類問題的共同特征，就是數學模型，對這個模型求解，獲得問題的解，最后回歸到問題，驗證解的合理性，體現了一個完整的思維過程。

一、課例分析

題目：（2020·廣東）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，∠ABC=90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN=4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2。在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為______。

這是新中考背景下2020年廣東省中考第17題填空壓軸題，題目創設了一個“貓捉老鼠”的新穎情境，抽象出數學問題，即求線段的最小值問題。考查的核心知識點是圓的定義和圓外一點與圓上一點的最值問題，但絕大部分的學生束手無策，不知從何入手，得分十分不理想。

首先，綜合分析學生的解題障礙，主要是：（1）無法識別點E的運動路徑是一段圓弧，本質上是對圓的動態的定義不熟悉。（2）缺乏處理圓外一點與圓上一點最值問題的解決方法。

基于以上分析，筆者做了以下教學設計：

1.立足教材，提出問題：立足教材習題，引出動點路徑問題。

2.多個角度，深化概念：用動點的觀點認識圓的概念及外延，構造模型。

3.理解模型，初步應用：理解并簡單運用模型。

4.強化作圖，化歸方法：通過作圖和思考，突破圓外一點到圓上一點距離最值問題解題方法。

5.綜合運用，拓展提升：聚焦中考真題，解決生活情境中“動點最值”問題，提升解題能力。

6.變式教學，遷移應用：能用此類題型的解題思路、步驟去解決不同情境中的問題。

7.課堂小結，內化提升：動點觀念下初中數學概念的整理。（圓、中垂線、角平分線）

二、教學過程

環節一：立足教材，提出問題

情景引入（九年級下冊課本第100頁“想一想”）：在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長為3m的繩子，繩子的另一端栓著一只狗。

問題1：假如繩子始終是緊繃的，那么這只狗繞著這根柱子跑一周所經過的路徑是多長？為什么？

問題2：假如繩子不是始終緊繃著的，你還能計算路徑長嗎？

思考：如果我們將柱子看作一個定點B，這只狗看作是一個動點E，則繩子為線段BE，如果BE的長度固定，那么動點E的運動路徑有何特點？

環節二：多個角度，深化概念

從動點的角度去理解圓的概念，深化對圓的定義的認識。

構造模型

模型特征（條件）：________________

模型結論：________________________

環節三：理解模型，初步應用

如圖，有一架豎直靠在直角墻面的梯子，點E是它的中點。

（1）當梯子固定不動時，BE的長和梯子MN有何關系？

（2）當梯子下滑時，梯子長度MN保持不變，點E會動嗎？如果會，運動路徑是什么？

解題反思：____________________________。

環節四：強化作圖，化歸方法

如圖，假如點D處有一只貓，它是靜止不動的。

（1）這只狗跑到什么位置時，貓和狗的距離最短？請畫出這個位置，并說出你的理由。

（2）這只狗跑到什么位置時，貓和狗的距離最長？請畫出這個位置，并說出你的理由。

解題反思：三點共線，將動點到定點的距離最值問題，化歸為點心距問題。

環節五：綜合應用，拓展提升

（2020·廣東）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉。把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，模型如圖，∠ABC=90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN=4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2。在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為______。

解題反思：“定點定長模型”初步解題步驟：1.找動點→2.判路徑→3.現圓形→4.點共線→5.構直角三角形。

環節六：變式教學，遷移提高

（折疊生圓問題）如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，MC=2，E是CD上一動點，將△MCE沿ME翻折得到△MFE.

（1）則AF的最小值為____________.

環節七：課堂小結，內化提升

1.本節課你學到了哪些知識和思想方法？你還有哪些困惑？

2.你認為還有哪些概念可以從動點的角度去認識？

通過這樣的教學設計和課程，一個較難的問題得到了很好的解決，課后再總結反思。

三、新中考背景下培養學生數學建模思想的策略

1.立足教材，創設情境的策略

按照新中考的要求，中考命題要增強與學生生活、社會實踐的聯系，注重考查學生在具體情境中綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。因此，我們的教學不能“急功近利”地脫離情境直奔知識點去，而應當創設恰當的情境讓知識合理地“發生”和“生長”。教材中有很多很好的素材可供我們選取，立足教材，依標靠本，根據教學內容，合理創設情境，加強新舊知識的聯系，發掘新知識的生長點，這是第一步。

2.把問題想在前面的策略

教師施教前，應當充分了解學情，并根據學情把問題想在前面：學生可能存在的解題障礙是什么？如何突破？需要如何引導？啟發？如何搭臺階？如何進行教學設計？只有把問題想充分了，才能把教學設計做細做好，才能讓我們的課堂充滿思維的火花。

3.問題串施教的策略

新中考注重考查學生在具體情境中綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力，所以，培養學生的建模思想，我們的課堂不能沒有問題。問題串教學策略是一個很好的方法。數學課堂的教學，就應該在分析問題和解決問題中引導學生層層生疑，在析疑和釋疑中不斷發展學生分析問題、解決問題的能力，提升學生數學思維的品質。我們在教學的時候，要根據所選擇的題目，設置問題串，幫助學生去解決問題，一方面降低題目的難度，也容易消化所學的知識，另一方面，降低學習難度，將數學方法融入其中，于無聲處培養學生思維。

4.及時地歸納，反思，建構的策略

問題求解完后，應當及時地歸納、反思和構建。通過反思，進一步理清條件、結論，提出它們之間的內在聯系，進而建立它們之間的聯系，運用數學的語言、符號進而抽象、概括出問題的本質，這就是建模，體現了一個完整的思維過程。

歸納，反思，建構可以以小組合作學習的方式交流討論，讓學生自己找、自己說。為什么不是教師直接講？因為一個題目并不是我們講明白的，是學生悟出來的。即使我們講明白了，學生沒有真正領悟，過兩周學生可能又不會了。

5.注意遷移應用的策略

經過反思，運用數學的語言、符號概括出問題的本質，完成建模之后，還要回歸到問題，驗證解的合理性。此時應當注意問題的遷移應用，讓學生運用模型的解，去解決同類問題，達到舉一反三、觸類旁通的目標。

責任編輯? 李? 源