高中數學教學中直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的路徑探究

金仕針

摘 要：隨著新課程改革的全面推進，對教師教學和學生學習提出了多方面要求，其中核心素養(yǎng)就是當前各個學科需完成的重點目標。直觀想象素養(yǎng)是數學學科核心素養(yǎng)之一，縱觀高中生學習現狀得知，多數學生依舊借助直覺學習，尤其在學習抽象性較強的幾何知識時，直覺會瞬間點燃思維。直覺與想象有著緊密聯系，因此，需要在數學學科教學中，進一步培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)，幫助學生在進行直觀認識的同時，也在解決問題中完成空間想象，提高數學學習的能力。

關鍵詞：高中數學;直觀想象素養(yǎng);培養(yǎng)策略

中圖分類號：G633.6?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2022）17-0087-04

直觀想象即借助結合空間想象與幾何直觀圖對事物形態(tài)與變化進行感知，并運用圖形理解解決問題，并在此過程中理解數形關系，簡化問題難度。所以，高中數學教師可結合學生學情與學科特征從多方面培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)，促使學生深入理解數學概念、定理與公式，提高解決問題能力，實現預期教學目標。

一、 直觀想象素養(yǎng)概念分析

《普通高中課程標準（2017版）》指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式尤其是圖形，理解和解決數學問題的素養(yǎng)。主要包括：利用空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形來分析、描述數學問題;建立形與數之間的聯系，構建一個直觀的數學問題模型，并探索解決問題的方法。從其定義分析，主要包含兩方面內容：幾何直觀和空間想象。其中，幾何直觀主要是指通過感性的、直觀的、圖形化的方式來分析和解決問題;空間想象則是通過理性的、立體的、多維的方式來進行分析和理解。從認知過程分析，人類在學習中是從感性深入到理性，進而進入指導實踐的過程。同時，借助幾何直觀來拓展思維，并充分調動空間想象，進而達到分析問題、解決問題的最終目標。

二、 在高中數學教育中培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)策略

（一）在幾何代數教學中培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)

幾何代數是高中數學的重難點之一，重點凸顯代數運算與幾何直觀結合。其中向量具有顯著的代數特征且附帶幾何意義，無疑是連接代數與幾何的橋梁，對此，高中數學教師可在幾何代數教學中培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)。

以“平面幾何中向量方法”為例，無論數量積運算或向量線性運算，其幾何背景均較為鮮明。運用向量知識解決平面幾何中垂直、平行、求長度夾角問題屬于重要方式之一，通過數形結合使學生對向量產生深刻印象，更能在此基礎上體驗向量工具特有的優(yōu)越性，為后續(xù)運用向量知識分析和解決空間幾何問題做好鋪墊。學生在學習該章節(jié)之前已系統學習平面幾何與平面向量知識，同時掌握平面向量概念、平面向量加減與乘除運算、幾何意義、平面向量坐標表示等。針對該章節(jié)則要求學生運用向量方法解決幾何問題，充分明確向量解決幾何中垂直、平行、夾角、長度等一系列問題，并在學習過程中對數形結合思想產生深層次理解，強化直觀想象素養(yǎng)與創(chuàng)新能力。

教師在教學中從以下方面著手：

①復習導入：帶領學生復習向量加減法與數乘運算法則、幾何意義、平面向量基本定理以及向量平行垂直判定等知識。基于學生舊知識，更容易使其接受新知識。

②應用舉例：其一：垂直問題

教師：證明菱形兩條對角線相互垂直。隨即提出問題：菱形的定義是什么？

學生：一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形;

教師：該如何運用向量證明該問題？

學生：證明AC與BD垂直，說明AC·BD=0即可。

證明：菱形ABCD中，|AB|=|AD|，圖1所示。

圖1

∵AC=AD+AB，BD=AD-AB，

∴AC·BD=（AD+AB）（AD-AB）=|AD|2-|AB|2=0，

∴AC與BD，菱形兩條對角線相互垂直。

傳統證明菱形對角線相互垂直則運用三角形全等，借助向量證明能更好地拓寬學生解題思路，提高學習效率。

其二：平行問題

例題如下：已知四邊形ABCD為平行四邊形，其中E與F為對角線AC的三等分點，證明四邊形BFDE為平行四邊形。

教師：該如何證明一個四邊形為平行四邊形？

學生：只需證明一組對邊平行且相等后，再證明兩組對邊平行即可。

教師：該如何將上述問題轉化為向量問題？

學生：證明DF=EB即可。

具體證明如下：由已知設AB=DC=a，AC=b，

∵E、F為對角線AC的三等分點，

∴AE=FC=13AC=13b，

則有DF=DC-FC=a-13b，

EB=AB-AE=a-13b，

∴DF=EB，BE與DF相等且平行。

數學教師在上述教學過程中基于問題建立向量與平面幾何的聯系，指導學生將幾何問題轉化為向量問題并在此基礎上尋找相對合適的基向量，感悟運用向量方法解決問題的優(yōu)勢。

（二）在函數教學中培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)

函數是高中數學知識的重難點，更是常見數據模型，運用函數可直接定位事物位置以及分析事物運動規(guī)律與變化情況。所以函數知識點整體較為抽象復雜，凸顯運用直觀想象理解學習的重要性和必要性。

1. 巧用信息技術

信息技術是當前教育領域廣泛應用的方式，應用于數學函數教學更是如虎添翼。教師在指數函數圖像教學中先指導學生回顧復習初中階段所學一次、二次函數與反比例函數，并在此基礎上提出以下問題：該如何作出函數圖像？學生回顧回答描點法。將自變量一個x值作為橫坐標，因變量y為縱坐標就能得到平面上一個點。再運用一條線平滑地連接平面上多個點就可得出函數圖像。基于此運用多媒體為學生播放使用描點法作指數y=2x函數圖像的過程。學生通過觀察可得出，圖像性狀逐漸在不斷增加的取點數量中慢慢凸顯（如圖1所示）。12594973-637A-4385-89E4-A805B4CFF275

圖1 函數y=2x的圖像的描點作圖

學生觀看動畫后對圖像產生直觀印象，即點的數量越多越能作出準確圖像。數學教師教學中在繪制圖像時運用描點法，學生腦海則能立即浮現函數，再選取描繪圖像所需點，加深對函數知識的認知，提高直觀想象能力。

“興趣是最好的老師”，也是推動學生們積極參與數學學習的最好動力。因此，在高中教學中，通過充分激勵措施來激發(fā)學生興趣，激起他們的主動探究意識，興趣的作用遠遠超過直接進行言語的說教。信息技術集聲音、動畫、圖形、文字等于一體，通過對圖形補、切、移、縮、伸、旋等多角度變換圖形為學生提供形象化感性材料，刺激學生多從感官。對此，數學教師借助平板電腦為學生呈現相關知識圖片，營造民主、和諧的學習環(huán)境;不同圖片會產生不同視覺效果，學生情感也會產生不同變化，正是這種變化會激發(fā)學生潛在創(chuàng)新意識和學習興趣。以“空間幾何體”復習教學為例，數學教師通過平板電腦演示的方式，幫助學生直觀形象地了解球、錐、柱等形成過程，之后讓學生通過觀察，對相關幾何體的定義和性質進行歸納總結，改變以往枯燥沉悶課堂氛圍。與此同時，圖片的出現還能幫助學生直擊重難點。例如在學習棱柱知識時，展示圖2，要求學生認真觀察并思考如下問題：

圖2

①棱柱上下面有什么關系？②棱柱側面是什么圖形？③每相鄰兩個四邊形的邊均有什么關系？從定義明確棱柱性質：有兩個面相互平行以及其余各面為平行四邊形。之后教師讓學生思考：棱柱的定義是否能用性質代替？如果教師空洞地講解知識，學生無法理解該知識點。對此，教師可運用生動形象的圖片從多方面為學生直觀形象地展示棱柱各個面，加深學生對此知識點的印象和理解，提高學習效率。

2. 開展數形結合

數形結合是數學教學常見的思想方式，教師在解題教學中將該思想滲透其中能鼓勵學生基于多角度分析和解決問題，簡化問題難度。在函數教學初期需發(fā)展學生想象能力，故而需畫出直觀形象圖形。當想象力發(fā)展至一定高度后可直接在腦海中進行想象，無須畫出具體圖形。例如：已知函數f（x）=|2x-2|-b有兩個零點，求b取值范圍。

在解答該問題之前，為更好地引導學生找到思路，可要求學生思考以下問題：（1）零點的定義是什么？（2）怎樣對要求解的問題進行轉化？（3）由y=2x的函數圖像怎樣畫出函數y=|2x-2|的圖像？

借助上述問題對學生進行引導，可使其認識到題目中有兩個零點理解為函數y=|2x-2|與函數y=b圖像有兩個交點。緊接著數學教師引導學生運用數形結合方式畫出上述兩個函數圖像。如圖3所示，當b>2，兩個函數圖像只有一個交點，當b<0時則沒有交點，所以，b取值范圍為（0，2）。題目所有信息都在圖像當中，簡化解題難度。

圖3

3. 強化思維訓練

數學教師應訓練學生作圖能力，有利于提高學生直觀想象能力。可明確告知學生在解題過程中多畫圖并在圖像中標注題目信息，再將其轉化至題目信息。例如：

函數f（x）=sinx+3|sinx|，x∈[0，2π]的圖像和直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍為??? 。

解答該題的關鍵在于準確畫出函數f（x）的圖像。但是究竟該怎樣畫出這一函數的圖像呢？課堂上可引導學生認真觀察自變量的范圍，結合絕對值的性質進行思考。在教師的啟發(fā)下學生很容易想到分類討論，最終在同一平面直角坐標系中畫出函數f（x）的圖像以及y=k的圖像。顯然當x∈[0，π]時f（x）=sinx+3|sinx|=4sinx;當x∈（π，2π]時f（x）=sinx+3|sinx|=sinx-3sinx=-2sinx。畫出圖像如圖4所示，由圖像易得k的取值范圍為k∈（2，4）。

圖4

上述函數、方程有著緊密聯系。通常方程兩邊為兩個不同函數，學生在解題中可先畫出同一坐標系中兩個函數圖像，經觀察對比得出某個取值范圍或具體值。通過上述題目能強化思維，讓學生接觸與余弦函數、正弦函數有關的計算，同時充分了解正弦函數圖像變換規(guī)律等，在上述教學活動中提高學生直觀想象能力。

（三）在概率統計教學中培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)

20世紀中期，高中課程中已存在概率知識，隨著經濟技術蓬勃發(fā)展，概率與統計知識為適應科學技術與社會發(fā)展實現從無到有，成為高中數學主要知識內容，所以，教師可借助概率和統計知識培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)。

以“正態(tài)分布”教學為例，該章節(jié)知識在離散型隨機變量知識后，為學生初步運用正態(tài)分布知識分析和解決實際問題提供重要理論依據。通過研究分析頻率分布直方圖、折線圖以及總體密度曲線，引領學生深入理解正態(tài)密度函數概念、圖像及其性質，形成系統化和完整化知識體系。統計學中常用分布即正態(tài)分布，在實際問題中很多隨機現象都近似服從或服從正態(tài)分布。學生在學習該章節(jié)知識前已學習離散型隨機變量和總體密度曲線、頻率分布直方圖，然而因時間間隔，不可避免會有所遺忘，對此，要求學生在課前自主復習。由于正態(tài)分布知識抽象性較強，學生從離散過渡至連續(xù)存有一定認知難度，所以需要教師優(yōu)化課堂教學。

具體從以下方面著手：

1. 創(chuàng)設情境

如圖5所示，該圖為高爾頓板，使一個小球經上方通道進入高爾頓板后與相互平行且錯開的圓柱形小木塊產生層層相撞，最后沿著通道掉入下方某一球槽內，請問小球會掉落至哪個球槽？學生表示不能確定，因為小球掉落于某個球槽為隨機事件。小球每次發(fā)生碰撞后會選擇向左或向右，究竟掉落至哪個球槽內，屬于多次與小木板隨機碰撞疊加結果。緊接著教師提問：“運用所學統計學知識分析，掉落至某個球槽小球個數可看作什么？”學生回答：落入該球槽頻數。隨即數學教師對球槽實施編號，運用幾何畫板演示高爾頓板試驗并要求學生根據結果繪制頻率分布直方圖，在此過程中思考，若不考慮球的大小因素，增加小球數量并縮小組距，觀察頻率分布直方圖、折線圖有何變化。隨后數學教師運用幾何畫板演示小球數量增加與組距持續(xù)減少以及頻率分布直方圖、折線圖變化。12594973-637A-4385-89E4-A805B4CFF275

圖5

觀察圖片可得知，頻率分布折線圖因不斷減小的組距，其距離與中間高、兩邊低的平滑曲線-總體密度曲線越來越接近，好似倒扣鐘形。數學教師在上述教學環(huán)節(jié)中，運用幾何畫板指導學生觀察高爾頓板試驗，激發(fā)學生探究知識興趣，促使學生基于直觀層面理解正態(tài)分布密度曲線來源，再從離散型隨機變量過渡至連續(xù)型隨機變量，感悟從有限至無限數學思想。

2. 動畫演示，探索新知

當樣本數據無限增大且趨向正無窮時，組距無限縮小趨向零，折線會變成一條光滑曲線，也稱之為正態(tài)分布密度曲線（正態(tài)曲線）。

圖6

經反復擬合，發(fā)現圖6正態(tài)分布密度曲線為下列函數圖像：φμ，σ=12πσe（x-μ）22σ2，x∈（-∞，+∞）。實數μ與σ（σ>0）為參數，μ與σ分別表示期望和標準差。

教師提出問題：參數μ和σ對函數圖像有何影響？學生討論后回答：μ表示期望，屬于隨機變量平均取值，其圖像為x=μ對稱，當μ發(fā)生變化后，圖像位置會受到影響。σ為標準差，σ2則表示方差，充分展現樣本數據離散程度，發(fā)生變化的σ會影響圖像形狀。教師運用幾何畫板為學生展示σ與μ在不同取值時圖像變化，學生在小組討論后歸納總結以下規(guī)律：①函數圖像位于x軸上方且與x軸不相交。②曲線為單峰且關于x=μ對稱，當x=μ時，函數可取最大值為1σ2π，當σ一定時，曲線會隨μ變化而沿x軸平移。③當μ一定時，σ越小，曲線呈現“瘦高型”，表示總體分布相對集中;σ越大，曲線則為“矮胖型”，說明總體分布相對分散。教師在上述教學中分析函數解析式與函數圖像，再借助計算機演函數圖像在參數變化下特征，使學生在直觀感悟中總結學習規(guī)律，也在此基礎上體現數形結合、化難為易與歸納分類等眾多數學思想。

3. 師生互動，合作探究

教師在該環(huán)節(jié)提出問題：正太分布密度曲線的幾何意義有哪些？求隨機變量概率時該如何運用正態(tài)分布。學生思考后回答：通過聯想得知，頻率分布直方圖取極限可得知正態(tài)分布密度曲線。頻率分布直方圖中每個小長方形面積與該區(qū)間頻率相等，所以，不能針對某個值計算正態(tài)分布概率，需對某個區(qū)間概率進行研究。教師繼續(xù)提問：該如何計算曲線位于某個區(qū)間與x軸圍成曲邊梯形面積？學生：運用該函數在此區(qū)間積分。設x為隨機變量，x位于區(qū)間（a，b]概率為：p（a圖7

通常，若對任何實數a，b（a