“指數、對數復習”的創新教學設計

摘 要：復習指數、對數的概念和運算性質，創設有利于學生數學核心素養發展的教學情境，在教師的引導下探索發現問題。從學生知識的“最近發展區”開始，使學生體會發現數學、學習數學的方法，提升學生邏輯推理、數學運算等數學核心素養。

關鍵詞：指數;對數;教學設計

函數是高中階段數學的重要知識點，指數函數、對數函數又是這部分內容的重要組成部分，同時也是學生的難點。而本節內容指數、對數是學好指數函數、對數函數的前提。它擔負著承上啟下的作用。我們在教學中既使用人教版又借鑒蘇教版。該知識點位于人教版必修一第四章的第一節和第三節，同時位于蘇教版必修一第四章。下面我將教學設計和教學內容呈現出來。

“指數、對數復習”教學設計

一、教學目標

（一）掌握根式、指數冪、對數的概念和運算性質，厘清它們之間的內在聯系;

（二）熟練掌握指數、對數的運算;

（三）提升學生數學抽象、邏輯推理和數學運算的數學素養。

二、教學重點與難點

重點：理解指數與對數概念的本質，掌握研究數學概念的一般方法;掌握指數、對數的運算性質及對數的換底公式并能熟練運用;

難點：運用對數的運算性質及換底公式進行求值、化簡。

三、教學思路

自主探究，合作學習，踴躍展示。

四、教學策略

學生先做，教師評講;學生為主體，教師為主導，真正把課堂交給學生。

五、教學流程

（一）課前學生預習，完成例題;

（二）課堂講解，從指數、對數的歷史出發，提升學生對這部分內容的興趣;

（三）展示基本運算性質;

（四）投影學生例題解答結果，PPT展示變式，學生上黑板完成或在座位上先做，后展示。

所有涉及解題，均以學生為主體。

六、教學過程

（一）創設情境，突破認知

數學史引入。

本章從初中學習的指數概念出發，建立了分數指數冪、實數指數冪等概念。以指數概念為基礎，給出對數的定義，并研究了指數運算、對數運算的相關性質。

一部上百年的數學發展史如下：

給學生展示指數、對數發展史。

16世紀的韋達;17世紀的笛卡兒、斯蒂文、牛頓創立了現行的分數指數冪、負指數冪都做過相當大的貢獻。

17世紀的約翰·納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發明了對數。

對數的發明是數學史上的重大事件，恩格斯曾經把對數的發明和解析幾何的創始、微積分的建立稱為17世紀數學的三大成就。（引入部分不得超過兩分鐘）

師生活動：

課件形式一一呈現知識點，梳理出知識流程圖，從高的層次回頭看所學的這一章節內容，引導學生探索、發現知識點間的相互聯系。同時介紹這些知識點所處的時代、背景、人物，將數學與歷史結合，激發學生的學習興趣。江蘇新高考模式下，情境題目日趨增多，平時教師上課也要向這一題型多多滲透，讓學生熟悉這一種考題。（引出課題）

（二）復習舊知，夯實基礎

1.分數指數冪的意義

2.根式的運算性質

3.有理數指數冪的運算性質

練習：計算下列各式

選擇四道典型指數運算題。

設計意圖：

根據學生的作業和試卷情況，要掌握分數指數冪和根式運算性質，熟悉公式的正用和逆用。

通過練習（題目由學生根據解題時易錯題討論提出，上課時隨機改變），引導學生說出，他們組出這道題所用的運算性質和易錯點，加深學生對這部分知識儲備的理解，調動學生學習興趣。加深對這種題型的理解，增強學生歸納推理的能力，深化數學抽象、數學運算核心素養。

師生活動：

學生出現的情況往往是知識點很熟，但應用起來：1.解題速度慢;2.計算有問題。根據學生易犯的錯誤，教師在教學中應該強調，底數轉化為大于0。轉化為同底運算，指數式乘除，冪相加減。轉化與化歸數學思想用的較多。

4.對數的概念

5.對數的運算性質

練習：計算下列各式的值

選擇四道對數計算題。

設計意圖：

根據學生的作業和試卷情況，要掌握對數運算性質，熟悉公式的正用和逆用。

通過練習（題目由學生根據解題時易錯題討論提出，上課時隨機改變），引導學生說出，他們組出這道題所用的運算性質和易錯點，加深學生對這部分知識儲備的理解，調動學生學習興趣。加深對這種題型的理解，增強學生歸納推理的能力，深化數學抽象、數學運算核心素養。

利用對數運算性質化簡與求值的原則

1.正用或逆用公式，對真數進行處理;

2.選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數化簡的原則進行。

師生活動：

對數這一知識點與指數這個知識點，對學生而言，是個相對陌生的內容。但對數是由指數轉化而來，要讓學生明白相同的參數在指數與對數中的位置與聯系。另外，對數運算其實是更高級的運算，它讓乘法降維成加法，讓除法降維成減法，讓乘方降維成幾個數的和。有條件的班級還可以證明對數的某一運算性質，讓學生進一步感受和理解指數與對數互化的運算魅力。指數與對數的轉化亦是部分同學的難點[1]。

（三）聚焦考點，攻克難點

典型題，判斷下列結論正確與否：（題目可以挑選學生的錯題或者易錯點）

設計意圖：

這類題型，通過學生的易錯題，既可以考查學生前面的學習情況，又可以借助這道題復習本章根式、對數的概念和運算性質：次方根;根式;根式的性質;對數的運算公式;對數恒等式;換底公式等，還可以順帶復習常用邏輯用語中的充分條件、必要條件、充要條件。

師生活動：

題目如果有難度，對一部分學生而言有點困難。對知識儲備夠的班級，我們可以選擇這個題型。講透講細，學生受益匪淺。但是對于基礎薄弱的同學而言，可以簡單地出幾道運算，讓他們判斷正確與否。

例1：計算下列各式。

選擇兩題指對數運算題型

設計意圖：

該題可由學生討論思考后自己出題，教師在巡察過程中引導，其他同學解題，出題者指出該題的易錯點或者所用知識點。不僅僅要學會做題還要學會總結在計算過程中易錯點和所用的指數、對數的概念和運算性質。新教材將“指數與對數”從“指數函數和對數函數”中剝離，所以我們更要加強學生運算能力的培養，保持運算的獨立性。這是本節課的重難點。

師生活動：

不要把學生這些知識點掌握想象得有多好。由于教學進度的緣故，一部分同學錯漏百出，教師在讓學生指出自己的錯誤或者他認為的易錯點之后，教師還應歸納總結，由點到面，細致到位。平時讓學生養成自習時間整理錯題的習慣。計算問題，時間久不易改，是其一大特點，我們更要一點一滴平時積累。水滴石穿，終會提高。

在學生出的題中選一道數據恰當的題，由老師改編，引出下面聯等式求解的題型，也是這份教學設計的例2。

聯等題型很多，可挑選一道典型題，然后進行變形，這個過程教師應利用問題串、設問等方式引導學生給出變式題。

變式題不僅僅是填空題、或者計算大題，還可以改寫為雙空題、選擇題、多選題。逐步增加難度，靈活改變題型。無論是高考，還是平時的解題過程中，應該讓學生了解出題者的意圖，上課逐步讓學生變形，既激發學生學習興趣，同時又鍛煉他們的解題能力，加深對知識點的理解，提升數學素養。

設計意圖：

培養學生的轉化化歸能力、推理論證能力及運算能力。聯等式這個知識點涉及指數與對數的互換，以及它們的運算法則。部分題目應用隱參消元的方法，對學生的邏輯思維和計算能力要求較高，針對性的練習有助于學生對這部分知識的理解。變式的題目也均由學生思考提出，加深對這種題型的理解，增強學生歸納推理的能力，深化數學抽象、數學運算核心素養。

師生活動：

這幾道題難度逐漸增大，又環環遞進，是學生的難點。教學過程中應該通過轉化與化歸的數學思想，不斷減元，將復雜的題型變成一開始學生熟悉的模樣。同時，換底公式的應用，對于部分學生而言，也是不小的挑戰。教學過程中，除了思維的引導，知識點的細節處理要到位。江蘇高考答題規范很重要。

例3選擇典型的指數、對數背景下的情境題。

師生活動：

學生出現的情況是：一部分同學讀不懂題意，不會列式;一部分同學不會運算。

針對第一種講解時強調審題讀題，往往采用第一遍瀏覽、泛讀題目，第二遍精讀題干，第三遍結合知識點精讀題干;同時指對數的數據模型要講解到位，讓學生做到看到題目很親切，減少逃避的想法。

另一部分同學，板演運算過程，對計算技巧與細節，計算性質的應用，全部要講解到位。有條件的班級可以出類似的題目，加以鞏固。另外此類題型因為考查學生的數據處理素養，往往給出參考數據，一方面要求學生解題具有目標意識，引用參考數據;同時要提醒學生辨別偽數據。

情境題是這幾年新高考的熱點也是難點，學生要會用數學的眼光看世界，數學抽象、數學建模等核心素養的培養絕不是一蹴而就的，它們滲透到平時學習的方方面面。教師在教學中，首先應該分清這是何種數學核心素養，然后再引導學生，提升他們的素養，增強他們的數學能力。

【強調認真讀題，情境性題目已經成為今后的常態，要培養學生敢想、敢算的精神，克服心理上的恐懼心理。】

（四）歸納小結，提升素養

[歸納提升]

1.應用指數、對數運算性質應注意的事項

（1）注意公式的正用、逆用和變形應用;

（2）題目中有指數式和對數式時，要注意將指數式與對數式統一成一種形式，注意轉化與化歸思想的運用;

思路一：用運算法則及性質進行部分運算—換成同一底數;

思路二：一次性統一換為常用對數（或自然對數）—化簡、通分、求值。

2.求值問題要注意觀察所給數字特征，分析找到實現轉化的共同點進行轉化;

3.解含對數式的方程注意點：

（1）掌握運算性質;

（2）對數中底數、真數的范圍限制。

設計意圖：

最后的歸納小結，在平時的授課中往往容易忽略，但卻是教學過程中必不可少的一部分。教師引導學生對本節知識點進行歸納總結同時進行升華，有以下三點作用：

一是可以給學生本節課整體印象，對前段時間的學習內容進行知識梳理，加深知識點間的區別與聯系，形成指數與對數的結構框架，以及對指數、對數的應用更加得心應手。總結過程中并不是按授課順序讀板演的內容。此時要根據教學目標和新課程標準，從解題技巧、數學思想、數學核心思想等方面進行升華，從而提高學生相應的能力，培養相應的素養;

二是歸納小結是學生對指數、對數的反思探索，最有效地感受本節課的重點、難點、易錯點、知識技巧和規律。掌握了重難點，學生可以發現考查內容，明白出題者的意圖;掌握了易錯點，可以避免入指數、對數運算的坑，掌握了知識技巧和規律，可以舉一反三，靈活運用本節課中的思想和方法;

三是學生可以對今天的單元小結進行復習。高中數學難度大、任務重、進度快，適當地重復和反思，可以讓學生加深對本節內容的記憶，鞏固指數、對數運算這些知識點，去繁留簡。

只有加深對基礎知識的復習鞏固，才能學好本節知識點，高效掌握它們。

師生活動：

由學生回憶本課所學，歸納闡述今日所學;同時教師從重難點、數學思想、方法、解題技巧、易錯點等方面引導。教師還應該將學生的總結進行歸納升華，絕不能只是按上課順序單純地給出上課內容，學生應該有獨特的或者本節教學目標的見解。

教學設計創新點

高中數學教學活動的設計，要樹立以發展學生數學核心素養為導向的教學意識，將核心素養的培養貫穿于數學教學活動的全過程。要創設有利于學生數學核心素養發展的教學情境，在教師的引導下探索發現問題;并通過類比、歸納，把握數學內容的本質，感悟數學思想方法，提升學生的數學核心素養。

從學生知識的“最近發展區”開始，使學生體會發現數學、學習數學的方法，提升學生邏輯推理、數學運算等數學核心素養。學生會感受到公式的復習和應用中對數運算是更高級的運算，逐漸形成知識體系，建立知識點流程圖。教學評價中建立教學結構，既要引導學生培養將抽象的概念轉化為理解概念、解決問題的能力，又要將新舊知識點建立聯系。

培養學生的轉化化歸能力、推理論證能力及運算能力，提升學生的數學核心素養，其中聯等式這個知識點涉及指數與對數的互換，以及它們的運算法則。部分題目應用隱參消元的方法，對學生的邏輯思維和計算能力要求較高，針對性地練習有助于學生對這部分知識的理解。變式的題目也均由學生思考提出，加深對這種題型的理解，增強學生歸納推理的能力，深化數學抽象、數據處理核心素養。

授課過程中引入數學史，激發學生的學習興趣，拓展眼界;采用多元方式，讓大部分同學能積極參與學習活動;例2的出現，以及變式的出現需要應用發問技巧，提出的問題要符合學生的認知水平，同時維持了同學們的學習動機。例3這道應用題，是學生的難點，教師需要鼓勵和引發學生的提問或者質疑。

結束語

本節課課題是2020年南通市數學優秀課評比指定課題，立德樹人，立足課堂是授課宗旨。授課內容應適應授課群體隨時調整，但要緊緊圍繞著指數與對數運算性質來剖析知識點，攻克學生思維難點，加深大家對這一知識的理解和感受，從更高緯度感受數學之美。

參考文獻

[1]祝維男.素養導向下主題單元復習的教學設計：以《指數與對數單元復習課》為例[J].中學數學，2021（17）：19-20，25.

作者簡介：許陳（1986— ），女，漢族，江蘇海安人，江蘇省海安高級中學，中學一級，碩士。研究方向：數學教學。