新教材背景下題根教學法在高中數學教學中的實踐研究

單堯

【摘要】伴隨著我國高中數學新教材的頒布，題根教學法在高中數學課堂上被應用就顯得尤為重要.筆者基于自己多年的教學實踐，總結出這種教學法所富有的教學意義與價值，接著又從三個方面講解了該教學方法的有效實施路徑，希望能夠最大限度地發揮出該教學方法的作用，使學生能夠從中得到更多有價值的數學收獲.

【關鍵詞】高中數學;題根教學法;教學

高中數學是中學的一門非常重要的基礎性課程，同時也是一門比較容易丟失分數的學科.這是因為這門學科本身具有一定的學習難度，再加上對學生也做出了較高的思維要求.這也就容易出現這樣一種情況：當學生解決不出某一道數學難題，學生就會對這門學科的學習產生出一定的消極情緒.而數學知識之間是具有一定的聯系性和連貫性的，高中數學教師可以基于這一特點，對學生進行合理的“題根”模式教學，幫助學生正確找到學習數學課程的技巧，從而有效促進學生的數學成績得到明顯提升.

一、題根教學法的概述

“詞根”這個詞最初是在英語教學中產生的，其含義比較固定，掌握了詞根，就能迅速記住英語詞匯.而高中數學習題的題干則是由幾個已知的條件和最后的結論構成的，這些已知的條件，也就是數學問題的“題根”.很多數學練習看似不同，其實都使用了同類的解題方式.我們把課本上的例題、習題，或一系列的變形、擴展、提煉，最后可以被廣泛地運用于解題的結論，統稱為“題根”.若是能抓住這些數學習題的題根展開教學，學生就能找到該類型數學習題的大致解決思路，這些數學習題也就可以迎刃而解.而題根可以是一個已知條件，也可以是一個數學公式，或者是一個數學定義等等，它是一類具有典型性和代表性的問題.作為一名高中數學教師，在實施題根教學法的過程中，必須帶領學生正確找到題根，學生才能真正領會到該教學方法的真諦，通過這種方式，學生們才能真正體會到高中數學學習的快樂.

二、題根教學法在高中數學教學中的教學價值

（一）題根教學法有利于幫助學生鞏固數學基礎

很多高中數學教師在選擇數學習題的時候，往往習慣于選擇一些自己所熟悉的或者難度較高的數學習題，但是這些習題有時候并不是學生所需要的.這樣的數學習題選擇，不但讓這些數學習題失去了本身原有的教學價值，而且會浪費學生學習高中數學這門課程的時間和精力，學生的數學學習效果不理想.而題根教學法的實施，則可以幫助教師在數量廣大的數學習題中找到既促進教學目標完成又滿足學生數學學習需求的數學習題.教師通過務實基礎選擇數學習題，這樣不僅可以幫助學生鞏固數學基礎，而且可以讓學生形成系統的數學解題思路.

比如，在學習“棱錐”的時候：首先，教師可以為學生選擇一道求三棱錐體積的習題，并且令學生獨立思考解決該習題的思路.其次，教師不要急于說出正確的解題方法，而是讓學生舉手分享自己的內心想法.有的學生可能會舉手說：“我認為可以用定義法來解決.”有的學生可能還會舉手補充：“我認為還可以用分割法來解決.”最后，教師可以向學生講解所有的解題思路，并且將學生所做出的回答進行總結，讓學生了解到解決這道習題的秘訣在于找到三棱錐中的垂直關系，這是錐體體積習題的題根，同時也是解決錐體體積習題的重要思路.通過這樣的數學教學，學生也就可以正確認識到錐體體積習題的題根，讓學生的數學基礎得到更好的鞏固.

（二）題根教學法有利于幫助學生形成靈活思維

變式訓練，是高中數學這門課程中的重要教學模式之一，但變式訓練并不是簡單地將某一個數學習題的數據進行修改.一個好的數學變式訓練應該是對某一類數學習題的再次鞏固和升華，更是對學生數學思維的一種開拓.而“題根”教學方法能使高中數學教師更好地進行“變式”的練習.教師可以將某個數學習題的題根作為引導學生展開數學探究的起點，隨之而來的將會是更多的數學習題，使學生可以從中得出更加深奧的數學知識.學生要想學好高中數學這門課程，本身就必須形成更加靈活的思維，才能更加輕松地拿下這門課程.

比如，依舊以“棱錐”為例子.首先，教師可以將上面求三棱錐體積的習題進行改變，讓學生求取該三棱錐體積的最大值，并且令學生思考該習題有幾種解決方法.其次，教師可以在學生思考的過程中進行提點：“想一想，這道習題與我們之前所講解的是否有相似之處？它的題根是什么呢？”這時候，有的學生可能就會從中受到啟發：“我認為首先應該列出求三棱錐體積的公式，找到其中的變量，這樣才可以求出該三棱錐體積的最大值.”最后，教師就可以向學生公布所有可能讓三棱錐體積最大的情況，并且再次為學生留出獨立思考的時間，讓學生可以自主確定該變式習題的正確答案.通過這樣的數學教學，學生的數學思維也將會得到更好的培養.

（三）題根教學法有利于幫助學生克服數學難題

高中數學這門課程的講解肯定需要用到數量眾多的數學難題，但是，直接將這些數學難題擺放在學生的眼前，學生往往很難做到一下子完全接受，甚至還會因此而產生出一定的消極情緒.而題根教學法，則可以幫助學生克服掉這些數學難題.教師可以找出某一題根，將其作為數學難題的一個跳板，為學生做好鋪墊.當學生有了之前的數學鋪墊之后，學生也就可以自然而然地過渡到數學難題的解題思路中.這樣不僅可以讓學生產生出克服數學難題的成就感和自豪感，而且可以有效提升學生在數學課堂上的參與度，學生的數學學習成績也就會直線上升.

比如，依舊以“棱錐”為例子.首先，教師可以選擇一道歷年求取三棱錐體積的數學真題，由于有了之前的鋪墊，相信學生對該類型的數學習題已經有了一定的基礎.其次，教師可以讓學生之間互相討論這道求三棱錐體積數學真題的解決方案，增進學生之間的數學交流.最后，教師可以帶領學生經過嚴密的推理以及精確的計算而得出這道習題的正確答案.通過這樣的數學教學，學生也就會建立起克服數學難題的自信心.

三、高中數學教學中“題根”教學法的實踐途徑

（一）正確尋找題根，發掘本質

高中數學教師要想讓題根教學法能夠發揮出真正的教學價值，第一步要做的就是帶領學生正確尋找數學習題的題根，引導學生發掘出數學習題的本質.當學生能夠充分掌握到某類型數學習題的題根之后，他們也就可以將這些數學習題輕松解決掉.

比如，在學習“解三角形”的時候，我們有兩大武器可以選擇——正弦定理、余弦定理.首先，老師可以根據正弦和余弦定理，為學生提供一種數學練習：“在一個三角形中，tan B的值為3[]4，邊長b的值為2，假如sin A的值為1[]2，求它的另外兩個邊長”，并且讓學生獨立解決這道習題.其次，老師引導學生們分享和交流個人的思考方式與解題思路.有的學生可能就會開始舉手分享：“我選擇運用正弦定理來解決.”而其他學生可能就會繼續：“這道題還可以用余弦定理來解決.”這時候，學生之間可能會出現分歧，教師就可以讓學生將這兩種解決方法進行對比，找出更加簡便的方法.最后，教師可以帶領學生進行總結，在今后遇到兩角一邊的情況時，選擇正弦定理進行解決更好.

（二）展開多種變式，加強鍛煉

當學生已經學會如何正確尋找數學習題的題根之后，為了幫助學生更好地鞏固，高中數學教師應該靈活地展開多種數學變式教學，加強對學生的思維鍛煉.當學生可以輕松地解決數量較多的數學習題的時候，學生的數學解題能力也就會得到相應的提高.

比如，依舊以“正弦定理和余弦定理”為例.首先，教師可以將以上習題進行變化：在一個三角形中，tan B的值為3[]4，邊長b的值為2，解此三角形面積的最大值.其次，學生在之前的基礎上展開探究，并且得到結論：當三角形另外兩個邊長相等時，這個三角形的面積就會得到最大值.最后，教師再次將該習題進行變式：“同學們，你們再想一想，若是將該三角形的面積進行改變的話，那么這個三角形還會有怎樣的變化呢？”學生也就會再一次展開積極的數學探究.教師通過這樣不斷地為學生展開變式訓練，引導學生逐步展開深入探究，讓學生們在學習的同時，也能使數學思維更加靈活機動.學生在今后遇到類似的數學習題時，也就會嘗試著采用多種角度思考和解決，這對學生的數學思維發展將有著意想不到的積極作用.

（三）引導總結題根，深化認知

總結，是學生學習數學課程過程中不可或缺的重要部分.單單只靠尋找題根和變式教學，學生的數學學習將會是不完整的，甚至還會產生出邊學邊忘的尷尬情景.因此，高中數學教師要引導學生總結題根，深化學生對數學題根的認知，以此促使學生可以正確認識到數學典型習題為他們的數學學習帶來的巨大價值.

比如，依舊以“正弦定理和余弦定理”為例.首先，教師可以讓學生回顧剛剛的解題過程，并且進行一定的反思，讓學生找出剛剛的不足之處.其次，教師可以讓學生將之前所做過的習題擺放在一起進行對比，讓學生發現這些習題之間的遞進性.最后，教師可以讓學生總結解決這些習題所用到的題根，以此來幫助學生加深印象，使學生在今后遇到正弦定理或者余弦定理習題的時候，可以有更加明確的解題思路.所以，教師通過帶領學生對題根進行總結，讓學生充分感受到數學課程的奧妙之處，并且提高了學生對數學解題方法的認識以及運用能力.

（四）有效設計范例——題根，提高學生解決問題的能力

有很多數學問題，表面上看起來很不一樣，但實際上所用到的方法卻是類似的.在日常數學教學中，我們若能捕捉到這些典型的數學問題，并將其作為范例形式加強訓練，那么在面對成千上萬的數學題時，學生將不再感到不知所措，而是能夠迅速地發現問題的本質，找到關鍵的題根，從而掌握問題的精髓，進而激發學生學習數學的興趣和動力.那么題根該從哪里探尋呢？

1.公式題根

比如，已知tan a=2，

求：3sin a+2cos a[]

sin a-cos a.

解：3sin a+2cos a[]

sin a-cos a=3tan a+2[]tan a-1=3×2+2[]2-1=8.

由于已知分子、分母是齊次式，所以可直接除以cos a，轉換為僅包含tan a的式子，即進行求解，得到8.

在上述范例中，我們不斷地抓住來自公式的題根，從而掌握問題的本意.在無數的數學公式中，每一個公式都可以作為解題的一個新的增長點，產生新的問題和知識.在此過程中，我們不能忽略公式的變式，可以看出，公式和公式的變形形式是題根的一個重要因素和來源.

2.方法題根

當解答一些數學問題時，通常會有一定的解法和步驟，如果能熟練地掌握和運用這些解法和步驟，當學生遇到這一類的問題時，就可以很好地解決問題了.

比如，（1）計算y = x3-x +3在（1，3）處的切線方程.在某點處的切線方程中，其關鍵字是“在”，表示此點為切點，因此該直線是唯一的.過某點處的切線方程中，其關鍵字是“過”，說明這個點未必就是切點，所以這條線并非唯一的.在實際教學中，可將此解法分成如下步驟：（1）設切點;（2）寫切線方程;（3）代入所過點;（4）求解方程，得到切點坐標;（5）從切點求得切線方程，最終得到2x-y+1=0，或 x+4 y-13=0.

這兩個問題是高中階段數學切線問題中的一個重要考題，其重點是對特征詞的判斷和對切點的判斷，是一種很明顯的方法類題根.在日常教學中，通過幫助學生正確認識關鍵字，并能正確理解具體的操作步驟，可以減少學習上的錯誤.

上面的例子統稱為“范例題根”.通過對老師所提供的范例的觀察，學生可以對傳統的解題方式進行研究，從而使問題的解法更易于由學生進行歸納和提煉.與傳統的學習方式相比較，范例學習與題根教學密切相關，其優點在于：（1）范例學習中，采用標準范例，提出了恰當的解題方式，讓學生更注重知識結構的構建，避免出現問題的錯誤解決方式，不但節省了時間，而且可以緩解學生在學習中的壓力，幫助他們提高學習效果.（2）大部分學生會選擇對老師所給出的范例進行分析，而非依靠自己的復雜無章的計算來解決問題，所以，范例學習可以讓學生更輕松地獲得知識.教師在教學中要為學生提供大量的學習、研究和模仿的范例，以及研究怎樣設計范例“題根”.（3）范例學習能夠最大限度地調動學生的學習積極性，改變他們的被動接受習慣，所以，范例學習能夠加速學生的數學遷移，幫助他們高效率地解決數學問題.

（五）善于發掘表面上簡單的數學問題，深入思考尋找“根”

從簡單到復雜是解決問題的一條有效途徑.在實際的解題教學中，不少老師都對這種重要的教學方式未給予重視，甚至存在著不以為然的態度.有些學生對于覺得很簡單的問題就會馬上入手解答.有些老師在教學中，對于簡單的問題往往點到為止、一帶而過，覺得“題目太簡單，沒什么好講解的”.但是，復雜的本質來源于簡單，不管是學習數學知識，或者培養學生的數學邏輯思考和探索的能力，都是從簡單開始的.對一些看似簡單的數學題目，教師要善于激活學生的思維之門，將學生的主觀能動性調動起來，使其經過必要的“變化”來發現問題的普遍形式，從而在深層思考中尋“根”.

例如：在一節關于數列的練習中，教師會給學生提供下列練習：

已知數列{an}的首項a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N），求數列∑10[]k=11[]ak.

如果是平時，許多教師都只是簡單地解答這道題，而那些有著豐富教學經驗的教師，在看到問題后，首先會深思：“這道題很容易，但如何才能將‘簡單’教得更有效？”對此，在教學中融入“以學定教”與“以教導學”教學理念，即教師不能包攬、代勞，要避免越俎代庖，而要根據學情來確定教法;同時，教學要避免停留于表面，即在傳授知識、滲透數學思維和方法的過程中，要進行循循善誘的引導.為此，可以采用以下幾種教學方式：

在展示完問題之后，老師并沒有馬上解答，而是讓他們思考一下自己的解題方法，再按照自己的想法和預先設定好的方案，嘗試著解出來，結果大部分同學都能找到正確的答案，而且解題思路也基本一致.為推動預先設定的教學方案，教師在課堂結束后，將兩名同學的解題過程以實體投影形式呈現.學生的解題思路是：先用累加法求得數列{an}的通項公式an即n（n+1）[]2，然后根據這一點得到倒數1[]an即2[]n（n+1），隨后再把它拆開，即1[]an=21[]n-1[]n+1，接著用錯位加法計算∑10[]k=11[]ak.

老師對這一解答給予了肯定的評價，接著提問：“不過，這道題目是不是就這么算完了？問題的解決流程是否可以被優化？大家的思路能不能拓寬一下？”然后老師拋出一些思考和探究的題目：（1）這是一道高考題目，雖然每個人都能找到答案，但是，從“特殊”到“普遍性”的思考模式來看，這個問題的核心是：有哪些條件，結論是什么？能不能對一般性的問題進行分析？（2）請同學們分享個人觀點，并根據自己的分析找出解題方式的不同之處.這個結論是否唯一？（3）這類數列問題能不能利用一般命題來優化？由此，教師與學生對所要解答的問題的性質有了進一步的了解，即要求解一個數列遞推關系的數學問題，它的一般性質：若已知數列{an}的首項，并且該數列滿足an+1=pan+f（n）（n∈N）的遞推關系，則數列{an}的通項公式是什么？就此老師基于f（n）的類型，為解題做示范與指導，即若 f（n） 為一次函數，即an+1=pan+bn+c，可構造an+1+λn+μ=p[an+λ（n-1）+μ]，借助待定系數法，求出參數λ，μ.若f（n）為二次函數（或二次以上函數），可構造an+1+λ（n+1）2+μ（n+1）+η=p[an+λn2+μn+η]，通過待定系數法求出參數λ，μ，η.若an+1=pan+qn，則可構造新的等比數列來求解：當p=q時，即an+1=pan+pn，由an+1+t（n+1）pn+1=p（an+tnpn），求得t=-1[]p，于是可構造等比數列an-1[]ppn;當p≠q時，由an+1+tqn+1=p（an+tqn），求得t=1[]p-q，于是可構造等比數列an+1[]p-qpn.

教師在確定學生們對這些一般性結論和探究方式有了更深入的了解之后，就給他們安排了一個新的任務：利用已學“題根”，學習小組間進行編題、解題活動，回答別人編寫的問題，并做出相應的評價.在這種情況下，“題根”的有效教學使學生更積極地參與到數學問題的實際操作中，使有關的“聯成體”“串成線”“生成根”的數學問題得到了進一步了解，意識到題根在數學中的重要作用.

四、結 語

綜上所述，題根教學法在高中數學課堂上的實施已經變得尤為重要了.因此，高中數學教師在實施該教學方法的過程中要帶領學生正確尋找題根，使學生可以理清楚這類數學習題的解決方法，學生也就不會像一個無頭蒼蠅一樣，同類題目做了很多遍，稍微變化一點，就又不會做了.教師要對這一類型的題根展開適當的訓練，從而幫助學生跳出數學題海，在舉一反三中找到學好高中數學課程的新思路.

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