數學思想在函數解題中的應用

張飛飛

【摘 要】 函數是高中數學的必考知識點，習題情境靈活多變.為更好地提高函數習題解題效率，應在牢固掌握基礎知識的基礎上做好解題思想的應用總結，更好地找到相關習題的解題思路.本文探討函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想在函數解題中的應用，以供參考.

【關鍵詞】 數學思想;高中數學;函數解題

數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識.解答函數習題時注重數學思想的應用，可少走彎路，盡快找到解題的突破口，實現解題效率的提升，因此應提高數學思想在解題中的應用意識，并做好數學思想應用的總結，把握相關的應用細節，積累相關的應用經驗.

1 函數與方程思想

函數與方程聯系緊密.解答相關方程問題時運用函數與方程思想，將方程問題轉化為函數問題，借助函數性質可達到事半功倍的良好效果.應用時應具體問題具體分析，有時將方程問題轉化為函數與坐標軸的交點問題，有時將方程問題轉化為兩個函數圖像的交點問題.部分函數習題還需要根據給出的方程構造新的函數，借助導數這一工具，研究構造函數的性質，以達到順利解題的目的.

例如 已知x0是方程x3ex-4+2lnx-4=0的一個根，則e4-x02+2lnx0的值為（? ）

A.3?? B.4?? C.5?? D.6

解答該題需要認真觀察，仔細分析已知條件與要求問題之間的內在聯系.運用指數與對數的關系對方程進行巧妙的變形，通過構造新的函數加以解答.

因為x3=e3lnx，所以x3ex-4+2lnx-4=e3lnx+x-4+2lnx-4=0，等式兩邊均加上lnx+x，所以e3lnx+x-4+3lnx+x-4=lnx+x=elnx+lnx.構造函數f（x）=ex+x，f′（x）=ex+1>0，函數f（x）單調遞增，又因為f（3lnx+x-4）=f（lnx），所以3lnx+x-4=lnx，所以x+2lnx=4，x=e4-x2，所以e4-x02+2lnx0=x0+2lnx0=4，選擇B項.

2 數形結合思想

數形結合思想在高中數學中占有重要地位，在函數解題中應用廣泛.利用數形結合思想解題時應明確“數”與“形”結合的思路，尤其應注重掌握畫陌生函數圖象的方法，可通過聯系基本函數圖象，通過對其進行平移、翻折、對稱等，完成整個區間內函數圖象.另外，導數以及極限這兩個重要的工具，把握陌生函數圖像的變化趨勢，確保所畫圖形的正確性，為正確解題做好鋪墊.

例如 函數f（x）=ex|ex-2|+2，若函數f（x）在區間[m，n]（m

A.[ln2，ln（2+22）]

B.（-∞，ln（2+22））

C.（-∞，ln（2+22）]

D.（-∞，ln（1+22）]

分析可知需要先取得函數中的絕對值，借助導數畫出函數的大致圖象，在此基礎上找到函數值為2和3對應的自變量，分析m和n的取值范圍，問題也就迎刃而解.

圖1

因為f（x）=ex|ex-2|+2，所以當x0，當00，函數f（x）單調遞增，由題意可知f（x）在該區間的最大值為3，即，ex（ex-2）+2=3，解得x=ln（1+2）.又因為當x→-∞時，ex→0，f（x）→2，所以當x<0時，f（x）∈（2，3），畫出函數f（x）的圖象如圖1所示：

由圖可知，ln2≤n≤ln（1+2），當n=ln（1+2）時，m≤ln2，m+n≤ln2+ln（1+2）=ln（2+22），當ln2≤n

3 分類討論思想

分類討論思想是高中數學的重要考點.運用分類討論思想解答函數具體的關鍵在于全面的考慮問題，正確找到討論的分界點，做到討論的不重不漏，而后針對具體情形進行作答.尋找討論分界點的思路多種多樣，尤其當相關參數不確定、函數圖象不確定，函數根的大小關系不確定時，均應進行分類討論.

例如 若對任意實數x∈（-∞，1），x2-2ax+1ex≥1恒成立，則a的值為（? ）

A.-12? B.0? C.12? D.e

該題題干較為簡潔.解答時需要對給出的不等式進行變形，運用導數研究函數的單調性.當求導后導函數根的大小不確定時需要進行分類討論.

令f（x）=x2-2ax+1ex，f′（x）

=（1-x）[x-（2a+1）]ex（x≤1）.當2a+1≥1時，此時a≥0，f′（x）<0，函數f（x）單調遞減，f（x）≥f（1）=2-2ae≥1，解得a≤1-e2<0，不符合題意.當2a+1<1時，此時a<0，在（-∞，2a+1）上，f′（x）<0，函數f（x）單調遞減.在（2a+1，1]上，f′（x）>0，函數f（x）單調遞增，f（x）min=f（2a+1）=2a+2e2a+1，由題意知2a+2e2a+1≥1，令t=2a+1<1，不等式轉化為et-t-1≤0恒成立.令g（t）=et-t-1，則g′（t）=et-1.當t<0時，g′（t）<0，函數g（t）單調遞減.當00，函數g（t）單調遞增，所以g（t）≥g（0）=0，又因為g（t）≤0，所以g（t）=0，此時2a+1=0，a=-12，選擇A項.

4 轉化與化歸思想

轉化與化歸思想是解決函數習題的重要思想.轉化與化歸的方法較多，主要有：等價轉化法、換元法、構造法等，不同的方法有著不同的適用題型.但無論使用哪一種方法進行解題，應做到轉化與化歸前后相關參數的取值范圍是相對應的，保證推理的科學性與嚴謹性.

例如 已知函數f（x）=x2-2x-mlnx（m∈R）存在兩個極值點x1，x2（x1

A.-1e2? B.-1e

C.1e2? D.1e

解答該題需要采用等價轉化法，在確定m取值范圍的基礎上進行換元，將兩個變量轉化為一個變量，化難為易，借助函數的單調性進行解答.

因為f（x）=x2-2x-mlnx（m∈R），x>0，f′（x）=2x-2-mx=2x2-2x-mx.因為函數f（x）存在兩個極值點，所以當2x2-2x-m=0時應滿足：Δ=4+8m>0x1+x2=1>0x1x2=-m2>0，解得-120，函數g（t）單調遞增，所以g（t）min=g（-12）=-1e，選擇B項.

5 結語

要想成功地解答相關的函數題，不僅需要牢固掌握函數基礎知識，而且需要學習解題中常用的數學思想，把握相關數學思想的特點以及適用題型，尤其應圍繞數學思想開展專題訓練活動.訓練時認真體會數學思想應用過程，不斷總結相關應用細節以及注意事項，真正做到融會貫通，靈活應用.

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