巧借逆向思維高效解答初中數(shù)學(xué)試題

張翔

【摘要】數(shù)學(xué)作為初中教育階段的一門(mén)重要學(xué)科，由于知識(shí)較為抽象，對(duì)學(xué)生的思維水平要求較高，而初中生正處于思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，教師在平常教學(xué)中，不僅要關(guān)注理論知識(shí)與學(xué)習(xí)方法的講授，還要融入思維訓(xùn)練，其中在解題環(huán)節(jié)可指導(dǎo)他們巧借逆向思維解答試題.本文主要對(duì)如何巧借逆向思維高效解答初中數(shù)學(xué)試題作探討，并列舉一些實(shí)例加以說(shuō)明.

【關(guān)鍵詞】逆向思維;高效解答;初中數(shù)學(xué)

1 打破題目固有順序，巧借逆向思維解題

例1 某診所購(gòu)買(mǎi)若干瓶消毒液，第一次消毒用掉一半零半瓶，第二次消毒用掉剩余消毒水的一半零半瓶，第三次消毒剛好把剩余的消毒液用完，那么該診所一共購(gòu)買(mǎi)多少瓶消毒液？

解題過(guò)程 本題假如使用一般的方程進(jìn)行求解，需要設(shè)一共購(gòu)買(mǎi)x瓶消毒液，則第一次消毒使用（x2+12）瓶，剩余（x-x2-12）瓶，第二次使用[12（x-x2-12）+12]瓶，表達(dá)式比較繁瑣，不易求解，容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.而運(yùn)用逆向思維，不過(guò)不從消毒液的總量著手，而是從中間量切入，把問(wèn)題簡(jiǎn)化處理，假設(shè)第二次消毒后剩余x瓶消毒液，能夠得到x2-12=0，解之得x=1，即為第二次消毒后剩余的消毒液是1瓶;然后設(shè)第一次消毒后剩余y瓶消毒液，可以得到y(tǒng)2-12=1，解之得y=3，即為第一次消毒后剩余的消毒液是3瓶;最后接著假設(shè)，第一次消毒之前剩余z瓶消毒液，據(jù)此得到z2-12=3，解之得z=7，也就是說(shuō)該診所一共購(gòu)買(mǎi)7瓶消毒液.

解題點(diǎn)評(píng) 本題如果使用常規(guī)的解方程法，雖然也能得到結(jié)果，但是過(guò)程較為繁瑣，學(xué)生可能無(wú)法分清使用量與剩余量，而運(yùn)用逆向思維從中間切入，只需列出簡(jiǎn)單方程即可求解.

2 巧借逆向思維優(yōu)勢(shì)，反面思考解答試題

例2 如圖1所示，在四邊形ABCD中，M、N分別是AB、DC的中點(diǎn)，MN=12（AD+BC），請(qǐng)證明AD∥BC.

解題過(guò)程 借助逆向思維發(fā)，假設(shè)AD和BC是不平行的，作輔助線，把對(duì)角線BD連接起來(lái)，設(shè)點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，再把MP、NP連接起來(lái).在三角形ABD中，由于BM=MA，BP=PD，所以MD平行且等于AD的一半，運(yùn)用同樣的方法能夠證明PN平行且等于BC的一半，由此得到MP+PN=12（AD+BC）①;這時(shí)BD的中點(diǎn)不在MN上面，由此能夠根據(jù)MN∥AD，MN∥BC推斷出AD∥BC，這同假設(shè)AD和BC是不平行相沖突，這說(shuō)明M、P、N三點(diǎn)不在同一條直線上面，MP+PN>MN②.綜合以上能夠推導(dǎo)出12（AD+BC）>MN，顯然這同已知條件MN=12（AD+BC）相沖突，故假設(shè)不成立，AD與BC是平行關(guān)系.

解題點(diǎn)評(píng) 學(xué)生在運(yùn)用逆向思維時(shí)，本質(zhì)原則都為“正難則反”，教師應(yīng)該啟發(fā)他們從逆向視角展開(kāi)思考，形成逆反思維的習(xí)慣與意識(shí)，使其學(xué)會(huì)應(yīng)用逆向思維高效處理這類題目.

3 巧借反證逆向思維，順利處理數(shù)學(xué)試題

例3 已知如圖2—1所示，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是AB和AC上面的點(diǎn)，BE和CD相交于點(diǎn)O，如果OB和OC、AD和AE都是相等關(guān)系，請(qǐng)嘗試說(shuō)明OD和OE也是相等關(guān)系.

—1圖2—2

解題過(guò)程 運(yùn)用逆向思維時(shí)，學(xué)生可巧妙借助反證法進(jìn)行說(shuō)明，假設(shè)OD和OE不是相等關(guān)系，當(dāng)OD∠3，從中推斷出∠BDO>∠3，根據(jù)∠EDO>∠1，∠1=∠2，∠2<∠DEO得出∠EDO>∠DEO，這說(shuō)明∠BDO+∠EDO>∠3+∠DEO，則∠BDE>∠CED.另外，∠BDE與∠ADE、∠CDE與∠AED都是互補(bǔ)關(guān)系，這說(shuō)明∠ADE<∠AED，AEOE時(shí)，運(yùn)用同樣的方法能夠說(shuō)明ADXVTXhOC8yx9JgpUJ7Xf0lg==

解題點(diǎn)評(píng) 解決這一題目時(shí)，假如學(xué)生從正面視角進(jìn)行，需要先畫(huà)出一個(gè)輔助圓，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，再根據(jù)全等三角形相關(guān)知識(shí)說(shuō)明，較為繁瑣，而借助逆向思維能夠輕松證明.

4 基于結(jié)論視角切入，巧借逆向思維證明

例4 如圖3所示，在△ABC中，點(diǎn)D與點(diǎn)E均是邊AC上面的點(diǎn)，而且AB與AD是相等關(guān)系，BD是∠CBE的角平分線，請(qǐng)嘗試證明AD2=AE·AC.

解題過(guò)程 要想證明題目中給出的結(jié)論，學(xué)生需從三角形的相似性著手，把AD2=AE·AC轉(zhuǎn)變成ADAE=ACAD，結(jié)合題干中提供的已知條件可以判斷出AD與AB是相等的，所以可把式子ADAE=ACAD變形成ABAE=ACAB.之后，學(xué)生從這個(gè)比例式子中可以了解到，針對(duì)結(jié)論的證明要用到△ABE與△ABC，證明出這兩個(gè)三角形的相似性即可，其中∠A是相似條件中這兩個(gè)三角形的公共角，根據(jù)三角形相似性的判斷方式，以及題目中給出的條件，只需證明另外一組對(duì)角完全相等就行，他們根據(jù)條件AD=AB得出∠ABD=∠ADB，也就是說(shuō)∠ABE+∠EBD=∠C+∠DBC，同時(shí)∠EBD=∠DBC，由此可以推斷出∠ABE=∠C，從而證明另外一組對(duì)角相等，即△ABE與△ABC是相似關(guān)系，所以結(jié)論成立.

解題點(diǎn)評(píng) 學(xué)生在處理這類證明類的試題時(shí)，可以運(yùn)用逆向思維展開(kāi)，從題目中的結(jié)論切入，據(jù)此往回推導(dǎo)，并結(jié)合其它已知條件與相關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明，最終說(shuō)明結(jié)論是成立的.

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