開展小組合作，提升初中學生的解題能力

吉宏湘

【摘要】《概率初步·隨機事件》是人教版初中數(shù)學九年級上冊的教學內(nèi)容，這是一個與生活密切相關(guān)的內(nèi)容，但同時從教材呈現(xiàn)的概念：一般地，如果一個試驗有n個等可能的結(jié)果，事件A包含其中的m個結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為：P（A）=mn.這是比較抽象的、有一定難度的.因此教師可通過小組合作將相關(guān)的問題分成不同的類別，給他們討論的機會，給他們展示各自思維的舞臺，進而促成問題的解決，提升他們的解題能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;概率初步;隨機事件

《概率初步·隨機事件》這一章節(jié)的邏輯性、綜合性較強，這要求學生不但要了解隨機事件的基本概念和特點;還要有較強的將知識轉(zhuǎn)化為較高的解決問題能力，即要能依據(jù)具體的題目描述，判斷出一件事情是屬于隨機事件.基于此教師可將學生分組，讓他們圍繞概念、公式以及實際問題開展課堂活動.一部分在對比、探究、綜合、分析等能力方面較弱的學生能在合作中提高解題能力.

1 開展小組合作解決綜合性問題

就本章節(jié)而言，它所涉及的內(nèi)容涵蓋社會生活、日常生活的各個方面，因為就事件而言都可分為必然事件、不可能事件、隨機事件.

通過本章節(jié)的學習，學生要能運用相關(guān)的認知對事件做出準確的判斷.但是這些事件往往涉及到多樣的學科，要解決這些綜合性的問題，教師就需要將學生分組，以讓他們各取所長，攻克難關(guān).畢竟每個學生都有自己的長處，在某些學科的某些章節(jié)也會有自己的不足.小組合作為綜合性問題的解決常設(shè)更多可能，因為它能聚焦更多人的智慧.

當前初中階段的合作存在著假合作的現(xiàn)象，就是小組的各個成員在一起討論、探討他們本來就會的問題，這樣的合作只能浪費時間.但基于綜合性問題的合作卻能將學生凝聚在一起，商討解決的方案.

例如 以下面這題為例，如圖1所示，電路圖上有四個開關(guān)A、B、C、D和一個小燈泡，閉合開關(guān)D或同時閉合開關(guān)A、B、C都可使小燈泡發(fā)光，則任意閉合其中兩個開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率是多少.

就這道題而言除了最后的問題是跟數(shù)學有關(guān)的，前面的描述都是物理學科的內(nèi)容.小組里物理學得不錯的學生就可以從串聯(lián)與并聯(lián)的角度講述其中的原理，以讓組員更深刻理解情境，為解題做鋪墊.

比如一個學生說串聯(lián)的電路連接電流的只有一條通路，開關(guān)可以控制全部的位置的電流，就如燈泡A、B、C;并聯(lián)的電路不止一根電路，它的開關(guān)處于一條電路上的時候，另一條電路的電流不受影響.

當學生弄懂這些綜合性知識，下面的解題也就順暢起來.先是小組長提議，每個成員根據(jù)設(shè)置的題目要求畫出樹狀圖，如圖2所示.接著他們相互討論由樹狀圖求得的所有可能的結(jié)果與小燈泡發(fā)光的情況.

從圖2中他們發(fā)現(xiàn)共有12種等可能的結(jié)果，任意閉合其中兩個開關(guān)，由公式“P（A）=mn”求得，小燈泡發(fā)光的有6種情況.

為了進一步鞏固合作能力，促進綜合素養(yǎng)的發(fā)展，教師可跟蹤一題，如圖3所示，電路圖上有4個開關(guān)A、B、C、D和1個小燈泡，假如同時閉合開關(guān)A、B或者同時閉合開關(guān)C、D小燈泡都會發(fā)光，那么下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是哪一個？教師設(shè)置四個選項：只閉合1個開關(guān);只閉合2個開關(guān);只閉合3個開關(guān);閉合4個開關(guān).

同樣地，小組成員中物理好的學生先講述其中的原理，比如一學生說，只閉合1個開關(guān)，小燈泡不會發(fā)光，觀看線路圖可得知這屬于不可能事件.另外一學生說，只閉合2個開關(guān)，由電學知識可得，小燈泡可能發(fā)光也可能不發(fā)光，這是隨機事件.同樣地，由線路圖的特點可知只閉合3個開關(guān)，或者4個開關(guān)小燈泡一定會發(fā)光，這是必然事件.

小組合作中，學生的綜合能力得到發(fā)展，解題能力水漲船高.

2 開展小組合作解決開放性問題

所謂開放性問題就是教師所設(shè)置的題目，無論是條件、結(jié)論亦或是解法都有可能出現(xiàn)不一樣的情況，這給學生更多創(chuàng)新的空間，也為他們的能力發(fā)展提供了多樣的可能.

小組合作能促進學生多方面的發(fā)展，能讓他們的主觀能動性得到發(fā)揮.將小組合作與開放性問題的融合能讓兩者都獲得發(fā)展，小組合作為開放性題目提供更多思維與思路，開放性題目豐富了小組合作的內(nèi)容.

本來小組合作就是開放性的學習方式，教師將問題的解決權(quán)留給學生，以最大限度地激發(fā)他們的潛能.開放式問題的解決需要學生持有開放性的學習方式，小組合作進一步釋放了學生的思維火花.

就這一章節(jié)教師設(shè)置這樣的題目，已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=3x2-12x+12+2a，

設(shè)事件A：“x<0時，y隨x的增大而減小”，

事件B：“二次函數(shù)y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸有兩個交點”.小聰說A是隨機事件，小明說B是必然事件，請你表達自己的看法.

這道題的開放性在于結(jié)論的不唯一，需要學生進行一定的猜想先確立一個結(jié)論，進而再開展相關(guān)的探究與證明.

合作中，他們先是對函數(shù)進行了整理y=3x2-12x+12+2a=3（x-2）2+2a，且3>0.

接著他們討論在什么情況下y隨x的增大而減小，他們發(fā)現(xiàn)只有當x<2時.他們再轉(zhuǎn)向題目的條件上，他們發(fā)現(xiàn)x<0是x<2的一部分，進而他們推斷x<0時y隨x的增大而減小，即A是必然事件，原來小聰弄錯了.

對于第二問合作中他們想到一個關(guān)鍵的問題就是圖象與x軸有沒有交點就是看“Δ”的值，因而他們先求出Δ=（-12）2-4×3×（12+2a）=-24a.

他們發(fā)現(xiàn)B可能是隨機事件，因為“a”存在多種可能.成員一起商量，他們決定將“a”分三種情況討論.

當a>0時，-24a<0，學生推斷這時候的二次函數(shù)y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸沒有交點.

當a=0時的情況，-24a=0，他們得出此時二次函數(shù)y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸只有一個交點;

當a<0時，-24a>0，顯然地二次函數(shù)y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸有兩個交點.

他們的這些分類與推斷是在合作中進行的，合作開放了思維的空間.由題目可以看出“有沒有交點”這件事在一定條件下，它是有可能發(fā)生也是有可能不發(fā)生，這其實就是隨機事件.

開放題的求解強調(diào)學生的主導地位，在小組合作中他們根據(jù)題目已知的內(nèi)容，在觀察、計算、歸納等的過程中一步步完成猜想出來的結(jié)論、解法等.

3 開展小組合作解決學生獨立完成有困難的問題

小組合作其實就是讓學生成為解決問題的主人，讓他們在彼此交流與幫助中共同提升.合作中學生自主解決問題的能力得到提升，因為他們需要自行地建構(gòu)議題、自行地分配任務(wù)，再一起在交流、討論、分享中促成問題的解決.

當一些學生獨立完成有困難的問題出現(xiàn)在他們面前時，他們會感到緊張，甚至不知所措.合作能讓他們通力前行、共度難關(guān).對于學困生來說，在他們遇到難題時，就有合作伙伴主動地伸出援助之手.對于優(yōu)等生來說，他們在幫助別人解決問題的同時，也促進自身的發(fā)展，比如分析能力、溝通能力都得到提升.

例如 “趙爽弦圖”閃耀著中國古人的智慧.如圖4所示的弦圖中，四個直角三角形都是全等的，同時它們的兩直角邊之比均為2∶3.假如一個人隨機地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，那么針尖落在陰影區(qū)域的概率會是多少.

大多學生接著這樣的題目不知道從何處入手.

教師先讓學生在合作中討論，最后一句話的實質(zhì)是什么.

學生發(fā)現(xiàn)這其實就是幾何概率問題，就是化用公式P（A）=mn，針尖落在陰影區(qū)域的概率就是相應(yīng)的面積與總面積之比.

教師讓他們繼續(xù)合作，他們想到要求出大正方形面積和陰影區(qū)域面積，再由此求出針尖落在陰影區(qū)域的概率.

小組成員想到了之前的勾股定理證明，各成員獨立地設(shè)勾為2k，則股為3k，弦為13k，

進而他們求得大正方形面積為S=13k×13k=13k2，

中間小正方形的面積S′=（3-2）k·（3-2）k=k2，

故陰影部分的面積為：13 k2-k2=12 k2.

有組員做到這一步不知道怎么接下去，別的學生就提醒他運用概率公式，即，針尖落在陰影區(qū)域的概率為：12k213k2=1213.

當一些比較難的題目出現(xiàn)時，教師可采用小組合作的方法，讓大家在彼此幫扶中前行，在彼此的交流與溝通中獲得解題的路徑.

4 結(jié)語

通過本章節(jié)的學習，學生既要能判斷現(xiàn)實生活中哪些事件是隨機事件，同時他們還要能對隨機事件發(fā)生的可能性大小的定性進行分析.

在本章節(jié)的學習中教師要培養(yǎng)學生的高階思維能力，譬如分析問題的能力、運用認知的能力、推理結(jié)論的能力等.

小組合作能激發(fā)每個學生的潛能，教師將需要合作的問題進行分類，進而進一步明確合作的內(nèi)容、方式，在提升合作效率的同時也提升他們的解題能力.

參考文獻：

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