開展小組合作，提升初中學生的解題能力

吉宏湘

【摘要】《概率初步·隨機事件》是人教版初中數學九年級上冊的教學內容，這是一個與生活密切相關的內容，但同時從教材呈現的概念：一般地，如果一個試驗有n個等可能的結果，事件A包含其中的m個結果，那么事件A發生的概率為：P（A）=mn.這是比較抽象的、有一定難度的.因此教師可通過小組合作將相關的問題分成不同的類別，給他們討論的機會，給他們展示各自思維的舞臺，進而促成問題的解決，提升他們的解題能力.

【關鍵詞】初中數學;概率初步;隨機事件

《概率初步·隨機事件》這一章節的邏輯性、綜合性較強，這要求學生不但要了解隨機事件的基本概念和特點;還要有較強的將知識轉化為較高的解決問題能力，即要能依據具體的題目描述，判斷出一件事情是屬于隨機事件.基于此教師可將學生分組，讓他們圍繞概念、公式以及實際問題開展課堂活動.一部分在對比、探究、綜合、分析等能力方面較弱的學生能在合作中提高解題能力.

1 開展小組合作解決綜合性問題

就本章節而言，它所涉及的內容涵蓋社會生活、日常生活的各個方面，因為就事件而言都可分為必然事件、不可能事件、隨機事件.

通過本章節的學習，學生要能運用相關的認知對事件做出準確的判斷.但是這些事件往往涉及到多樣的學科，要解決這些綜合性的問題，教師就需要將學生分組，以讓他們各取所長，攻克難關.畢竟每個學生都有自己的長處，在某些學科的某些章節也會有自己的不足.小組合作為綜合性問題的解決常設更多可能，因為它能聚焦更多人的智慧.

當前初中階段的合作存在著假合作的現象，就是小組的各個成員在一起討論、探討他們本來就會的問題，這樣的合作只能浪費時間.但基于綜合性問題的合作卻能將學生凝聚在一起，商討解決的方案.

例如 以下面這題為例，如圖1所示，電路圖上有四個開關A、B、C、D和一個小燈泡，閉合開關D或同時閉合開關A、B、C都可使小燈泡發光，則任意閉合其中兩個開關，小燈泡發光的概率是多少.

就這道題而言除了最后的問題是跟數學有關的，前面的描述都是物理學科的內容.小組里物理學得不錯的學生就可以從串聯與并聯的角度講述其中的原理，以讓組員更深刻理解情境，為解題做鋪墊.

比如一個學生說串聯的電路連接電流的只有一條通路，開關可以控制全部的位置的電流，就如燈泡A、B、C;并聯的電路不止一根電路，它的開關處于一條電路上的時候，另一條電路的電流不受影響.

當學生弄懂這些綜合性知識，下面的解題也就順暢起來.先是小組長提議，每個成員根據設置的題目要求畫出樹狀圖，如圖2所示.接著他們相互討論由樹狀圖求得的所有可能的結果與小燈泡發光的情況.

從圖2中他們發現共有12種等可能的結果，任意閉合其中兩個開關，由公式“P（A）=mn”求得，小燈泡發光的有6種情況.

為了進一步鞏固合作能力，促進綜合素養的發展，教師可跟蹤一題，如圖3所示，電路圖上有4個開關A、B、C、D和1個小燈泡，假如同時閉合開關A、B或者同時閉合開關C、D小燈泡都會發光，那么下列操作中，“小燈泡發光”這個事件是隨機事件的是哪一個？教師設置四個選項：只閉合1個開關;只閉合2個開關;只閉合3個開關;閉合4個開關.

同樣地，小組成員中物理好的學生先講述其中的原理，比如一學生說，只閉合1個開關，小燈泡不會發光，觀看線路圖可得知這屬于不可能事件.另外一學生說，只閉合2個開關，由電學知識可得，小燈泡可能發光也可能不發光，這是隨機事件.同樣地，由線路圖的特點可知只閉合3個開關，或者4個開關小燈泡一定會發光，這是必然事件.

小組合作中，學生的綜合能力得到發展，解題能力水漲船高.

2 開展小組合作解決開放性問題

所謂開放性問題就是教師所設置的題目，無論是條件、結論亦或是解法都有可能出現不一樣的情況，這給學生更多創新的空間，也為他們的能力發展提供了多樣的可能.

小組合作能促進學生多方面的發展，能讓他們的主觀能動性得到發揮.將小組合作與開放性問題的融合能讓兩者都獲得發展，小組合作為開放性題目提供更多思維與思路，開放性題目豐富了小組合作的內容.

本來小組合作就是開放性的學習方式，教師將問題的解決權留給學生，以最大限度地激發他們的潛能.開放式問題的解決需要學生持有開放性的學習方式，小組合作進一步釋放了學生的思維火花.

就這一章節教師設置這樣的題目，已知關于x的二次函數y=3x2-12x+12+2a，

設事件A：“x<0時，y隨x的增大而減小”，

事件B：“二次函數y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸有兩個交點”.小聰說A是隨機事件，小明說B是必然事件，請你表達自己的看法.

這道題的開放性在于結論的不唯一，需要學生進行一定的猜想先確立一個結論，進而再開展相關的探究與證明.

合作中，他們先是對函數進行了整理y=3x2-12x+12+2a=3（x-2）2+2a，且3>0.

接著他們討論在什么情況下y隨x的增大而減小，他們發現只有當x<2時.他們再轉向題目的條件上，他們發現x<0是x<2的一部分，進而他們推斷x<0時y隨x的增大而減小，即A是必然事件，原來小聰弄錯了.

對于第二問合作中他們想到一個關鍵的問題就是圖象與x軸有沒有交點就是看“Δ”的值，因而他們先求出Δ=（-12）2-4×3×（12+2a）=-24a.

他們發現B可能是隨機事件，因為“a”存在多種可能.成員一起商量，他們決定將“a”分三種情況討論.

當a>0時，-24a<0，學生推斷這時候的二次函數y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸沒有交點.

當a=0時的情況，-24a=0，他們得出此時二次函數y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸只有一個交點;

當a<0時，-24a>0，顯然地二次函數y=3x2-12x+12+2a的圖象與x軸有兩個交點.

他們的這些分類與推斷是在合作中進行的，合作開放了思維的空間.由題目可以看出“有沒有交點”這件事在一定條件下，它是有可能發生也是有可能不發生，這其實就是隨機事件.

開放題的求解強調學生的主導地位，在小組合作中他們根據題目已知的內容，在觀察、計算、歸納等的過程中一步步完成猜想出來的結論、解法等.

3 開展小組合作解決學生獨立完成有困難的問題

小組合作其實就是讓學生成為解決問題的主人，讓他們在彼此交流與幫助中共同提升.合作中學生自主解決問題的能力得到提升，因為他們需要自行地建構議題、自行地分配任務，再一起在交流、討論、分享中促成問題的解決.

當一些學生獨立完成有困難的問題出現在他們面前時，他們會感到緊張，甚至不知所措.合作能讓他們通力前行、共度難關.對于學困生來說，在他們遇到難題時，就有合作伙伴主動地伸出援助之手.對于優等生來說，他們在幫助別人解決問題的同時，也促進自身的發展，比如分析能力、溝通能力都得到提升.

例如 “趙爽弦圖”閃耀著中國古人的智慧.如圖4所示的弦圖中，四個直角三角形都是全等的，同時它們的兩直角邊之比均為2∶3.假如一個人隨機地向該圖形內擲一枚小針，那么針尖落在陰影區域的概率會是多少.

大多學生接著這樣的題目不知道從何處入手.

教師先讓學生在合作中討論，最后一句話的實質是什么.

學生發現這其實就是幾何概率問題，就是化用公式P（A）=mn，針尖落在陰影區域的概率就是相應的面積與總面積之比.

教師讓他們繼續合作，他們想到要求出大正方形面積和陰影區域面積，再由此求出針尖落在陰影區域的概率.

小組成員想到了之前的勾股定理證明，各成員獨立地設勾為2k，則股為3k，弦為13k，

進而他們求得大正方形面積為S=13k×13k=13k2，

中間小正方形的面積S′=（3-2）k·（3-2）k=k2，

故陰影部分的面積為：13 k2-k2=12 k2.

有組員做到這一步不知道怎么接下去，別的學生就提醒他運用概率公式，即，針尖落在陰影區域的概率為：12k213k2=1213.

當一些比較難的題目出現時，教師可采用小組合作的方法，讓大家在彼此幫扶中前行，在彼此的交流與溝通中獲得解題的路徑.

4 結語

通過本章節的學習，學生既要能判斷現實生活中哪些事件是隨機事件，同時他們還要能對隨機事件發生的可能性大小的定性進行分析.

在本章節的學習中教師要培養學生的高階思維能力，譬如分析問題的能力、運用認知的能力、推理結論的能力等.

小組合作能激發每個學生的潛能，教師將需要合作的問題進行分類，進而進一步明確合作的內容、方式，在提升合作效率的同時也提升他們的解題能力.

參考文獻：

[1]馬琳.組織小組合作 “一對一”幫扶——淺談初中數學教學中培養學生運算能力的問題及對策[J].考試周刊. 2020，（42）.

[2]王永.發揮小組合作作用 提高數學教學有效性[J].讀寫算. 2019，（18）.