借助轉化思想助推初中生高效解答數學題

劉亞男

【摘要】數學作為初中課程體系中的一門重要科目，教學的側重點之一就是培養(yǎng)學生的解題能力與邏輯思維能力，而初中數學試題同小學相比顯得更為復雜，難度也有所提升，僅僅依靠常規(guī)方法很難突破難題障礙，教師可以指導他們借助轉化思想高效解答數學題.鑒于此，筆者針對如何借助轉化思想助推初中生高效解答數學題作探討，并列舉部分實例來說明.

【關鍵詞】轉化思想;高效解答;初中數學

1 運用直接轉化思想，高效解答數學試題

直接轉化指的是采用所學習的數學定理對要求解的問題進行轉化，要想讓初中生有效掌握直接轉化的解題思路，教師在平常教學中需深入講解數學定理這一方面的理論知識，多啟發(fā)和引導他們，使其了解數學定理的“前世今生”，真正理解定理的本質，為解題中的靈活轉化做準備.

例1 如圖1所示，在圓O內接五邊形ABCDE中，∠CAD是35°，那么∠B+∠E 的大小是多少度？

（A）180°. （B）200°. （C）215°. （D）225°.

解析 本道題目的難度并不是特別大，設計該例題的主要目的在于讓學生體會到運用直接轉化思想進行解題的便利，提高他們在后續(xù)習題訓練中的應用意識.具體來說，解答這一題目時，要用到“圓的內接四邊形對角和是180°”和“同一弧所對的圓周角相等”展開角度之間的轉化，為便于理解，學生解題時可以把CE連接起來，由此發(fā)現四邊形ABCE是一個圓的內接四邊形，即為∠B+∠AEC=180°，又因為∠CAD=∠CED=35°，而∠E=∠AEC+∠CED，所以∠B+∠E=∠B+∠AEC+∠CED=180°+35°=215°，那么正確選項是（C）.這樣教師指導學生借助轉化思想直接對題目的條件、信息進行轉化，由此確定解題思路，讓他們快速求出結果.

2 采用降次轉化思想，高效解答數學試題

降次轉化主要用在方程、多項式等數學試題中，初中生在數學習題訓練中，通常會遇到一些高次方程或者多項式，這些問題一般都難以直接求出結果，要用到轉化思想對題目中的式子作降次處理，達到由陌生向熟悉的轉化.

例2 已知a為方程x2+x-1=0的一個根，那么代數式a3+2a2+2018的值是（）

（A）2017. （B）2018. （C）2019. （D）2020.

解析 不少學生看到這一題目以后，都會先把a帶入到原方程中，得到a2+a-1=0，但是這個式子無法進行巧妙的轉化，不知道該如何求解，他們極易陷入到解題困境之中.其實處理該題目的關鍵之處在于對題干中提供的已知條件與要求解的式子展開變形與轉化，教師可以提示學生認真觀察題目中的條件和要求解的多項式，啟發(fā)他們運用降次轉化思想進行合理配湊，把已知條件和所求式子聯系起來，使其準確找到解題的突破口.

具體解題過程如下：根據已知條件可知a2+a-1=0，則a2+a=1，因為a3+2a2+2018=a3+a2+a2+2018=a（a2+a）+a2+2018，此時把a2+a=1代入其中，把原式轉化成a+a2+2018=1+2018=2019，故正確選項是（C）.

3 使用換元轉化思想，高效解答數學試題

換元法也是一種十分重要的轉化思想，針對初中數學解題教學而言，換元法有著廣泛應用，為通過借助轉化思想助推初中生高效解答數學試題，教師應先講解有關換元法的理論知識，使其意識到換元的主要目的是更好的解題，讓他們體會到換元轉化的作用.

例3 已知a>b>0，且2a+1b+3b—a=0，求ba的值.

解析 處理這一題目時，無法直接采用換元法進行求解，而是需要先對題干中給出的已知條件展開適當的變形，再借助換元轉化思想來解答，難度比較大，為避免打擊學生的積極性，教師可以著重啟發(fā)他們轉化題目中的已知條件，使之能夠含有式子“ba”，然后通過換元求解.

具體解答過程如下：因為2a+1b+3b—a=0，兩邊同時乘以ab（b-a），整理以后能夠得到a2-2ab-2b2=0，兩邊同時除以a2得到2×b2a2+2×ba-1=0，這時讓t=ba（t>0），則原式轉化成2t2+2t-1=0，解之得t1=—3—12（舍去），t2=3—12，這表明ba的值就是3—12.

如此，面對這樣難度頗大的分式類問題時，教師應引領學生充分借助轉化思想的優(yōu)勢，對原式進行適當變形之后找準換元的切入點，然后進行轉化，借此幫助他們找到簡便的解題方法，使其解題效率更高.

4 利用數形轉化思想，高效解答數學試題

數學主要研究的是代數與幾何兩類知識，前者與“數”相對應，后者與“形”相對應，數形之間的相互轉化也是初中數學解題中應用率比較高的一種轉化思想，能夠起到意想不到的效果.

例4 如圖2所示，三角形ABC的三個頂點分別是A、B、C，如果函數y=kx在第一象限內的圖象與△ABC存在交點，那么k的取值范圍是（）

（A）2≤k≤494. （B）6≤k≤10.

（C）2≤k≤6.（D）2≤k≤252.

解析 本題難度相對較大，準確找到數形轉化的切入點是解題關鍵所在，學生結合所學習的反比例函數之四能夠知道當k>0時，k的值越大，就距y軸的距離越遠，據此判斷出該反比例函數y=kx經過A點是其圖象的臨界點，右邊需要同直線BC相交才能夠滿足題意，這就轉化成一個函數交點問題.

具體解法如下：當反比例函數經過點A（1，2）時，解之得k=2，根據上圖可以知道點B的坐標是（2，5），點C的坐標是（6，1），由此能夠求出直線BC的函數表達式是y=-x+7，當直線AB與反比例函數圖象在第一象限存在交點時，可以把兩者的解析式聯立起來，轉化為方程有解的問題，即為kx=-x+7有解，整理以后得到x2-7x+k=0，即Δ=（-7）2-4k≥0，解之得k≤494，所以說正確答案是選項（A）.