巧妙轉化,數學解題更輕松

王大軍

【摘要】轉化是一種解決初中數學問題的常用思想.遇到看似陌生，難以下手的問題，通過積極聯系所學進行巧妙轉化，可迅速找到解題突破口，達到事半功倍的解題效果，因此，平時應注重轉化方法的學習與積累，并提高轉化思想在解題中的應用意識，不斷的做好解題的總結，進一步提高運用轉化思想解題的靈活性，使得數學解題更輕松.

【關鍵詞】轉化思想;數學解題;初中數學

1 運用換元轉化進行解題

例1 若實數a，b滿足（a+b）（2a+2b-1）-1=0，則a+b的值為（）

（A）1.（B）-12. （C）1或-12. （D）2.

解析 該題如采用常規思路將多項式展開，計算繁瑣，難以得出答案.觀察可知，相乘的兩個多項式中均含有a+b，因此，可將a+b看成一個整體，將其轉化為一元二次方程問題.令t=a+b，因為（a+b）（2a+2b-1）-1=0，所以t（2t-1）-1=0，整理得到：2t2-t-1=0，即，（t-1）（2t+1）=0，t=1或t=-12，即，a+b的值為1或-12，選擇（C）項.

解題點評 當遇到形式較為復雜、參數個數較多、參數次數較高等問題時可通過換元化復雜為簡單、化陌生為熟悉，而后運用所學進行解答.需要注意的是換元前后應保證參數取值范圍的一致性.

2 運用方程向函數轉化解題

例2 已知關于x的二次方程2x2+mx+3m=0有一實根比0大，另一實根比-2小，則實數m的取值范圍是（）

（A）m<0.（B）m<-8.

（C）-8

解析 聯系二次方程和二次函數之間的關系，要想存在兩個不同實根，則Δ>0，而后結合對應二次函數的圖象進行分析.根據題意可知Δ=m2-4×2×3m>0，所以m（m-24）>0，則m<0或m>24;方程對應二次函數圖象開口向上，則要想一實根比0大，另一實根比-2小，則應滿足當x=-2時對應函數的值小于0且當x=0時對應函數的值也小于0，即，2×（-2）2-2m+3m<0，所以8+m<0，m<-8且3m<0，即，m<0.所以m的取值范圍為m<-8，選擇（B）項.

解題點評 遇到與方程根取值范圍相關的問題時常將其轉化為函數問題，結合對函數圖象的深刻認識以及自變量與函數值之間的關系構建相關的不等關系，通過解不等式得出參數取值范圍.

3 運用由數向形轉化解題

例3 已知函數y=（x-2）2-2，x≤4（x-6）2-2，x>4，使得y=a成立的x的值恰好有3個，則a的值為.

解析 給出的二次函數在不同的區間內表達式不同，畫出其對應的圖象，使得y=a成立的x的值恰好有3個時，可轉化為y=a和二次函數圖象剛好有三個交點.如圖1所示，由圖可知當x=4時，y=2，即，y=2時和二次函數圖象有3個交點，此時a=2.

解題點評 數與形有著千絲萬縷的聯系.通過數向形轉化可化抽象為直觀，降低解題難度，確保問題得以更加高效的解決.由數向形轉化時結合所學準確的畫出相關圖形是關鍵，應引起足夠的重視.

4 運用一般向特殊轉化解題

例4 如圖2，反比例函數y=3x在第一象限內的圖象上存在一動點M，過點M作x軸，y軸的垂線，分別交直線y=-x+m于D、C兩點.直線y=-x+m和x軸，y軸分別交于B、A兩點，則AD·BC的值為.

解析 審題可知因M的點不固定，而且參數m的值不確定，而且改題為填空題對計算過程不做要求，因此，為少走彎路，可采用特殊值法進行解答.設M（3，1），直線y=-x+2，A（0，2），B（2，0），C（1，1），D（3，2-3），

所以AD=（3-0）2+（2-3-2）2=6，BC=（1-2）2+（1-0）2=2，所以AD·BC=6×2=23.

解題點評 該題如采用常規做法，不僅計算繁瑣而且容易出錯，因此，在解題中如果對相關點、相關參數的取值沒有限制時可考慮采用特殊法，以迅速的解答要求解的問題.

5 利用補形思想轉化圖形解題

例5 有三個正方形中，邊長分別是9、6、x，按照圖3中的方式進行排列，如果將A、B兩點連接，分成的兩個部分的面積相等，求x的值.

解析 對于此題學生常常無從下手，直線分成的兩個圖形屬于不規則圖形，難以利用幾何知識解答.教師可以引導學生想象，直線AB將圖形的面積對分，涉及到哪些知識點內容.通過這樣的引導思考，讓學生聯想到矩形的對角線知識，讓學生將圖形補成矩形，根據矩形對角線的特點，△ACB和△ADB的面積相等，從兩個三角形中減去不規則圖形，得出兩個小矩形的面積相等，列出方程（9-x）x=（9-6）×6，得出x=3或者6.

解題點評 通過學生的補形轉化解題，加深學生對轉化思想的理解，面對同類型的題目時，能夠根據題目已知聯想知識內容，靈活利用數學知識解題.

6 利用簡化思想轉化解題

例6 計算（x-y）2x2y+xy÷x2-y2xy

解析 本題主要考查學生對分式基礎知識的掌握，在解題中，需要將分式轉化為乘法的形式，再將原式適當轉化，轉變成（x-y）2xy（x+1）×xy（x+y）（x-y），之后，進行約分，最后得到答案x-y（x+1）（x+y）.

解題點評 在解題中，需要學生對題目進行觀察，找出轉化的切入點，利用簡化思想，通過通分、約分的方式，將題目化繁為簡，完成題目的解答.

7 總結

初中數學解題中為提高解題效率，不僅要扎實掌握基礎知識，更要注重解題思想、方法的積累，其中轉化思想在解題中較為常用，而且是中考的常考內容.為牢固掌握轉化思想應用技巧并在解題中靈活應用，應多進行解題訓練，做好轉化思想應用總結，掌握轉化思想適用題型以及轉化過程時應注意的細節.