建立幾何量感　發展空間觀念

程彥

［摘 要］學生在學習“體積”之前已經有判斷物體大小的直覺和經驗。文章結合“體積和體積單位”的課例開展實踐研究，利用學生的認知體驗，從物體體積所具有的特征入手，力求觸及數學的本質，以增進學生對體積意義的理解，發展學生的空間觀念。

［關鍵詞］體積；體積單位；空間觀念

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2022）23-0023-03

在故事《孔融讓梨》中，孔融把大的梨留給了他的兄弟姐妹，自己則選擇了一個最小的梨；小孩子在分蛋糕的時候，知道哪塊大、哪塊小；學生知道自己在教室里占據了一定的空間，而且自己占的空間比一個鉛筆盒占的空間要大……對于體積，學生有自己的原始感知；從數學的角度來解讀，學生有判斷物體大小的直覺和經驗。對此，在“體積和體積單位”教學中，教師要利用好學生的已有認知和經驗，教學時深入體積的本質，促進學生深度理解體積的意義，以此豐富學生對數學活動經驗的積累，增強學生的空間觀念。

一、凸顯度量本質，建立幾何量感

學生對物體的大小、多少、粗細、長短、厚薄、輕重、軟硬等有一定的感性認識。因此，幫助學生準確建立度量單位的表象是形、體知識塊教學的重點和關鍵。以下是兩位教師對同一內容的同課異構的教學片段。

【A教師】

師：在學習面積時，有面積單位來描述物體面積的大小。同樣，體積也有統一的單位，即立方厘米、立方分米和立方米。什么是1 立方厘米、1 立方分米和1 立方米呢？請仔細閱讀課本，找出它們的定義。

生1：棱長為1 厘米的正方體的體積是1 立方厘米。棱長為1 分米的正方體的體積是1 立方分米。棱長為1米的正方體的體積是1 立方米。

師：現在我們一起來認識1 立方厘米。請按照任務單（如圖1）上的提示獨立完成。

[（1）在學具中找出1立方厘米的立方體，拿出來摸一摸、看一看、量一量，說一說感受。

（2）提問：體積是1立方厘米的正方體， 棱長是多少？

（3） 用橡皮泥捏1立方厘米的正方體，找一找生活中接近1立方厘米的物體，和1立方厘米的正方體比一比。

【B教師】

師（運用信息化技術手段：先呈現一個點，將其拉伸成一條長為1厘米的線段；再將線段平移，“掃出”一個面積為1平方厘米的面；接著展示面變成體的過程）：請說說看了這段視頻后的想法。

生1：我發現，正方形變成了正方體。

生2：測量長度用1厘米長的線段，測量面積用邊長為1厘米的正方形。那我們可以用邊長（應是“棱長”）為1厘米的正方體來計量物體的體積，這個物體包含了幾個邊長（應是“棱長”）為1厘米的正方體，體積就是多少。

師：這位同學能夠學以致用，非常棒！事實上，無論是1厘米、1平方厘米和1立方厘米，我們都可以把它們當作一個標準來進行度量。下面就親自動手感受1立方厘米究竟有多大。

師：先找出1立方厘米的模型，用手摸一摸，閉眼感受，邊比畫邊說出1立方厘米的大小；再利用手中準備的橡皮泥，對照標準量捏出自己心中的1立方厘米。

生3：我用橡皮泥捏了一個1立方厘米的正方體，將它與原來的模型進行了對比，發現它們是一樣大的。

生4：我也用橡皮泥捏了一個1立方厘米的正方體，用尺子量出這個正方體的棱長是1厘米。

……

師：剛才有個同學用橡皮泥捏了一個1立方厘米的正方體，但是不小心弄變形了。

師（出示已經變形的正方體）：想一想，這個變形的物體的體積是多少？

生5：應該還是1立方厘米。

師：我把剛才這位同學不小心弄壞的這團橡皮泥搓一搓，看——變成了一個球！這個球的體積是多少呢？

生6：這個球的體積還是1立方厘米，因為這團橡皮泥的大小沒有發生變化，只是形狀改變了。

“體積和體積單位”屬于圖形與幾何領域，這類知識的學習，需要學生具有較強的空間想象力與抽象能力。其實，無論是長度、面積或是體積，都需由一個“標準”來度量。對于學生來說，這種“標準”的建立和度量需要經驗的積累，需要一個學習的過程。由一個點形成一條線段，然后到一個面，接著形成一個立體圖形；或是將一個立體圖形分解，讓學生看到這個立體圖形由幾個面組成……學生在這個過程中就會感受到體、面、線、點之間的關聯。雖然學生對圖形的認識和建構并不一定依據點、線、面、體或是體、面、線、點的變化過程，但有必要讓學生在真實情境中經歷度量的發生和發展過程：基于已有量感—喚醒量感—積累量感—提升量感—運用量感。學生在這個過程中能認識到：計量圖形大小的過程就是用統一的“標準”去度量的過程。

以上課堂教學中，A教師緊緊控制著教學流程，學生亦步亦趨，課堂扎實但效果欠佳。B教師讓學生通過操作建立不同體積單位的表象：在建立立方厘米表象時，準備了數個1立方厘米的小正方體；讓學生用橡皮泥捏1立方厘米的正方體，感知1立方厘米的大小；請學生將用橡皮泥捏成的1立方厘米的正方體和手中的學具比較；把已經捏成的1立方厘米的橡皮泥改造成其他物體。學生在思考和比較中發現：這些物體雖然形狀不同，但體積都是1立方厘米。反過來，體積為1立方厘米的物體和形狀、材質無關。學生初步感知體積的“守恒性”，在層層遞進的過程中有操作更有思考，有交流更有創造，有效地建立和完善了1立方厘米的表象。

另外，B教師將信息技術與教學初步融合，在體積大小比較的活動中，突破了“教師運用課件演示，學生被動觀察”的傳統課堂教學瓶頸，讓學生在自己的iPad（平板電腦）上任意調整模塊的大小、位置、方向，直觀感知一個物體所占空間的大小以及一個物體中包含了多少個單位體積。在任務單和真實問題的驅動下，學生經歷了觀察、動手、感受、度量等多元的數學活動。這些數學活動將抽象的數學概念直觀化，不僅促進學生建立體積和體積單位的表象、理解體積的概念，更是凸顯了度量的本質，對學生空間觀念的培養大有裨益。

二、借助有效操作，發展空間觀念

在教學“立方厘米”后，可根據學生已有的“面積和面積單位”的經驗，引導學生通過類比創造體積單位。

【A教師】

師：老師為大家準備了一個1立方米的正方體紙箱，現在請一些同學摸一摸這個箱子，觀察后可以鉆進箱子里感受一下。

【B教師】

師：我們已經認識了1立方分米，現在來研究1 立方米。你們還能像剛才那樣輕松比畫出1立方米的大小嗎？請先在小組內討論。

組1：我們可以先根據“棱長為1 米的正方體的體積是1立方米”去想象1 立方米的大小，再說一說1 立方米的大小，最后找一找生活中體積為1 立方米的物體。

師：為什么你們要想象1 立方米的大小？

組1：因為我們覺得1 立方米的物體太大了，找不到1 立方米的學具。

組2：在教室的角落里，我們小組的3位同學每人貢獻一條胳膊，再借助兩面墻就搭了1 立方米大小的空間。

師：為什么你們只用了3條胳膊？

組2：我們用3 條胳膊分別代表正方體的長、寬和高。如果有3根1米的小棒也可以。

師：同學們的想法都非常有價值！我事先準備了3條吊有重物的繩子代替3條棱，請3位同學借助墻壁搭建一個1立方米的空間。其他同學請閉上眼睛，想象一個棱長是1 米的正方體，然后睜開眼睛看這個1 立方米的空間，判斷是否和你想象的一樣大，再鉆進去感受一下。

關于立方米表象的建立，兩位教師的設計各有千秋。A教師提供一個1立方米的正方體紙箱，讓學生摸一摸它，再鉆進去感受，學生發現1立方米比自己想象中的要大得多；B教師用了3條吊有重物的繩子代替3條棱，借助墻壁搭建了1立方米的空間，并請學生鉆進去感受它的大小。可見，教師適時對度量單位進行梳理和比較，就能幫助學生構建從一維到二維，再到三維的完整的基本度量單位體系，從而幫助學生建立清晰且具有實際意義的直觀表象。

三、關注持久理解，促進深度學習

對于三個體積單位的定義，學生通過類比、遷移后很容易從字面上理解，但是這三個體積單位的實際大小以及在生活中的應用對學生來說卻很難掌握，把學習目標聚焦于學生最需要理解的內容對概念教學來說意義重大。因此，數學知識的教學要從核心概念、數學本質、數學方法以及學生理解概念的障礙點這四個角度出發，貫穿學習的全過程。

由于數學知識認知過程的復雜性，部分學生洞察到問題的實質后往往不能很好地解釋或證明，有些時候學生會用公式求解，但有可能只是套用和遷移，并不代表真正理解，而且如果學生還只是停留在套用公式階段，并不利于知識的真正形成以及核心素養的提升。概念理解是學生對所學概念不斷加深認識、逐步完善其聯系、抽象概括本質屬性的過程。例如按照以往的學習方式，對“體積和體積單位”的學習往往從背誦概念開始：物體所占空間的大小叫作物體的體積；常用的體積單位有立方米、立方分米、立方厘米……這樣的學習最多也只能達到初步理解的水平。

上述教學片段中，通過創建理解概念的活動和開放的思維空間，學生就能真切地感受到這三個體積單位的實際大小，通過動手操作、觀察評述，開始關注“體積和體積單位”的本質屬性，學生原有的知識“生長點”不斷生長出知識的“延伸點”。要達到真正的深度學習，就要經歷創造的過程，尤其是單元結構化的過程，單元設計是引導學生進行全局式學習和思考的基礎，教師必須要重視單元教學設計。

首先，要基于學情。“體積和體積單位”所在的單元處于五年級下冊“長方體和正方體”單元。橫向觀察，本單元分三小節編排：長方體和正方體的認識，長方體和正方體的表面積，長方體和正方體的體積。縱向對比，學生在低年級已經初步認識了一些簡單的立體圖形，本單元就是在此基礎上系統介紹長方體和正方體的有關知識，使學生形成初步的空間觀念，這也是學生學習其他立體圖形的基礎。另外，長方體和正方體的體積的計算是學生理解體積概念、掌握體積的計量單位和計算各種幾何體的體積的基礎。因此，教師在教學“體積和體積單位”之前就要確立本單元的單元問題、基本問題、引導性問題和綜合性操作任務，做好單元教學設計、課時教學設計和評價形式設計。

其次，要基于課堂。課堂上的操作、交流、展示等活動都能引導學生將已有經驗和新知學習建立聯系，這是能讓學生持久理解和深度學習的關鍵。體積單位是由長度單位、面積單位推導出來的，教師如果能在課堂上引導學生建立長度、面積和體積單位之間的聯系，那么，學生在多維參與的過程中，形成的體積單位的表象會更加清晰。學生在“捏”1立方厘米、“鉆”1立方米的過程中，真切感受到體積單位的實際大小，建立了正確的體積觀念。特別是在體驗1立方米的大小時，兩位教師出示了棱長為1米的“正方體”，讓學生親身體驗這個“正方體”的大小，在激發學生學習興趣的同時，調動了學生的多感官參與，使其空間觀念得到進一步發展，持久理解能力得以逐步增強。

作為一線數學教師，不但要結合學科以及學段的特點，借助強大的信息技術引導學生進行有效的觀察與操作，還要通過建立正確的表象，引導學生合理想象，提高學生的空間觀念，幫助學生積累數學基本活動經驗，從而促進學生思維能力的提升。

[本文系廣州市教育科學規劃課題“小學數學課堂混合式教學范式研究”（202012597 ）的研究成果。]

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 柯向榮.將抽象的數學概念變為看得見的數學事實：《體積和體積單位》教學 ［J］.小學教學設計，2011（8）：25-26.

[2] 林庚祿.因“材”適教，方能因“材”施教：以“體積單位”教學為例談起[J].中小學數學（小學版），2020（11）：44-45.