核心素養(yǎng)視域下培養(yǎng)數學模型思想策略探微

蔡文霞

摘要：數學是研究數量關系與空間關系的科學，也就是數學模型。數學模型是經過對表象事物的抽象過程，采用數學的語言模仿所形成的數學結構，從客觀上反映事物的本質數學關系。這種數學關系是實際事物的一種近似值，所得出的數量關系也能夠用于同類型問題的解決，也就是所謂的“建模思想”。

關鍵詞：小學數學；核心素養(yǎng)；數學模型；自主建構

數學模型是對所研究事物的一種表象概括，涵蓋其數量關系與空間關系的一種結構載體。數學模型的建立，往往會舍棄對實際事物的“規(guī)定值”，從“量”方面進行描述刻畫，經過數學邏輯推理，包括表象的挖掘以及抽象概括等思維過程，所建立的對應數學關系，用于處理類似或者相同類數學問題的解決。模型建立是極具創(chuàng)造性的過程，需要在實際問題中引導學生經歷對于事物表象的感悟，在操作中完成對數學規(guī)律的摸索，再經過系統(tǒng)的數學推理過程，最終幫助學生完成數學模型的自主構建，實現學生學科核心素養(yǎng)的穩(wěn)步提升。

1? ? 提供感性材料，積累表象

對于感性材料的認知是學生在數學模型建立過程中的基礎，教師在日常教學活動中要不斷提供與教學內容相符合的感性材料，讓學生從不同角度對事物的特征與數量關系進行感知。教師要引導學生產生思維上的認知沖突，引出個人思維的深刻度與靈活性，才能夠使學生在問題解決過程中挖掘其中的內涵規(guī)律。學生在與之相關的思維活動中尋找其規(guī)律所在，進而構建較為系統(tǒng)實用的數學模型，從而解決相關問題。例如，在“三角形面積”的相關知識學習過程中，筆者便采用為學生提供感性材料進行表象積累的教學方式，引發(fā)學生思維認知上的沖突，從而在對實際事物的探索中挖掘其中的規(guī)律，構建數學模型。首先，筆者采用拼接法作為課堂教學的主線索，引導學生將兩個相同的三角形進行拼接，組成平行四邊形，從而求得面積大小。但在實際教學過程中，如果僅僅采用一對三角形作為教學模具，筆者發(fā)現，學生不能很好地領悟其中的關系，從而出現認知瓶頸。因此，筆者便在教學之前組織學生尋找各類角度不同的三角形，分別是等邊三角形2個、直角三角形4個、鈍角三角形2個，直角三角形分別為等腰直角三角形2個與普通直角三角形2個，進而引導學生通過拼接以上的三角形進行面積求解。在課堂中，引導學生進行實際操作，讓學生使用不同的三角形進行拼接，發(fā)現：兩個不相同的三角形拼接后所形成的圖形不能運用所學知識有效計算面積；兩個相同的三角形，將底邊重合，便形成了一個平行四邊形：兩個相同的普通直角三角形可以拼成長方形；兩個相同的等腰直角三角形可以拼為正方形。在進行深度思考的過程中，學生考慮到長方形與正方形也是特殊的平行四邊形。此時，筆者便要求學生對三角形面積求解，學生敏銳地發(fā)現，只需要利用之前已經掌握的知識求出平行四邊形的面積，便能夠得出三角形的面積。最后，筆者適時總結歸納，便得出三角形面積公式S=底邊×高÷2，從而完成了對三角形面積的探究。

對感性材料的不斷積累認知有助于學生從大量感性材料中自主挖掘數學規(guī)律，在思維發(fā)生認知沖突時，學生能夠從不同種類的感性材料中系統(tǒng)性地進行研究，并不是利用非特殊情況下偶然得到的數學規(guī)律強行得出最后結論，而是采用能多維度經得起推敲的感性材料所發(fā)現的規(guī)律為數學規(guī)律做出解釋，從而得到數學模型，完成對問題的探索研究。

2? ? 引導學生動手操作，發(fā)現規(guī)律

在探索數學實際問題的過程中，教師應積極引導學生運用動手操作的形式解決數學問題，讓學生在客觀事物的探索中挖掘隱性的數學規(guī)律，從而降低學生在得出概念規(guī)律時的抽象感覺。數學模型的構建往往處于對隱形規(guī)律挖掘的瞬間。因此，在引導學生進行數學建模時，應廣泛采用動手操作的形式，發(fā)現規(guī)律內容，從而進行總結歸納，構建數學模型；同時還可以增加學生的實踐經驗，提升學生的實際動手能力。

例如，在“圓柱體的體積”的學習中，筆者便充分引導學生采用動手操作的形式完成對問題的探索。筆者在實際應用后進行了總結和分析，了解和認識到學生在解決與幾何圖形相關的問題時，一般采用的解決方式是“割、補、平移、旋轉”，在實際解決時，將需要求解的幾何圖形轉換成之前學習過的圖形，從而運用公式進行解答。舉一反三，學生在考慮圓柱體的體積該如何求解時，首先便想到了可以利用同樣的解決方式進行求解。在之前的學習中，學生在回顧舊知識時想到在長方體體積求解時學習到的長方體體積為V=底面積×高，因此，學生認為，圓柱體也可以進行補割，將其拼湊成長方體。為了讓學生的猜想得以驗證，筆者想到可以利用泡沫制作成的圓柱體狀模型，結合學生的思考方式，讓學生將圓柱體利用小刀等尖銳器具進行分解，然后完成拼湊。學生在動手操作后，發(fā)現最后拼接的物體呈現出一個類似長方體的形狀，經過分析后，認為圓柱體底面積就是底圓的面積，因此圓柱體的體積就應為底面積×高，即V=sh。稍后，筆者再通過多媒體技術將兩個體積相同的圓柱體與長方體采用填充沙子的方式進行了展示，即將圓柱體中的沙子填充到長方體中，發(fā)現可以完全填充，從而驗證了學生的猜想是正確的，隨后再經過一系列系統(tǒng)的推敲，幫助學生進行了認知，便建立了關于求解圓柱體體積的數學模型，深度理解了公式得出的原理。

通過動手操作的教學形式幫助學生培養(yǎng)數學模型構建的核心素養(yǎng)，對于學生而言，能夠在尋找知識異同的過程中發(fā)現其中隱藏的規(guī)律，再進一步的實際操作過程中，學生能夠根據問題驅動中的題干內容，從思維體系中提取完整的數學體系，從而解答問題，對學生核心素養(yǎng)的發(fā)展具有重要意義。

3? ? 自主抽象概括，經歷過程

數學模型的構建過程本質是學生思維活動、分析與綜合、抽象與概括的過程，采用創(chuàng)設情境的方式讓學生根據生活經驗進行摸索是學生在數學建模中經常運用的思維方法。也就是在生活情境中對問題進行探索，能夠有效幫助學生理解情境與抽象之間的聯系。因此，在教學中，教師應該善于引導學生進行自主探索，經歷整個抽象過程，從而在歸納與總結中得到數學規(guī)律，進而構建數學模型，這樣，學生對于數學知識的認知可以進一步提高。

例如，在數學問題“付整找零”的認知學習中，筆者便引導學生主動進行模型構建，如：媽媽本月月初和月中共收入766元，其中295元是月中兼職賺取的，試問月初時媽媽收入多少錢？學生遇到這樣的問題，在尋找正確的解題方式時，一般不會出現較大的失誤，都知道采用減法就能解決問題，即對應采用的算式算法不會出錯，但對于766-295=471（元），在實際計算過程中，學生采用的方法則顯得過于笨拙，容易出現數據上的錯誤。因此，筆者便引導學生深入理解，首先剝離問題，再進行抽象重組。筆者問學生，假如兼職賺取的金額為300元，那么媽媽月初收入多少錢，學生便能迅速作答：466元。問其算理，學生則能夠想到是“整百”的計算，在計算中，可以通過口算得出結果。那300元比295多多少呢？筆者便會向學生展示766-300+5的算式，學生在實際思考中發(fā)現，這與原來的算式是相等的，這就是經典的付整找零的計算方式，在減去300的過程中，多減去了5，因此需要加回來，但算式整體沒有發(fā)生變化，學生也能迅速得出答案，同時構建了新的數學模型，即在數學計算中，可以首先將一個數值看作整百數字進行運算，再將多減去或者多加上的數字進行相應的計算，得到最終結果。在將抽象問題聯系到學生日常所見的情境問題中后，學生能夠實現現實與抽象之間的聯系，也因此構建新的數學模型，用于日后問題的解決。

在引導學生剝離問題本質時，通常需要利用生活中的實際情境作為抽象的載體，讓學生在對現實載體的剝離過程中抽象出較為完整的數學體系，從而在問題的探索過程中，讓學生的思維活動圍繞著數學模型自主建立的過程理解其中蘊藏的數學規(guī)律，然后再進行總結歸納，從而形成新的數學模型和良好的建模思維。

4? ? 開展深度探究，觸及本質

教師可以引導學生對所學數學知識開展深度探究活動，讓學生通過深度的探究了解數學知識的本質，使學生可以對數學知識形成自己的認知和理解，從而更好地構建數學模型。同時，學生還可以在深度探究的過程中提升自身的核心素養(yǎng)，體會如何通過數學知識建立合格的數學模型，學生的建模思想也就會在這個過程中得到培養(yǎng)和提升，進而很好地形成自身的數學建模思想。

例如，在教學“簡易方程”的時候，教師會發(fā)現學生都存在一個共同的問題，即在對簡易方程第一步設未知量的時候經常會出現遲緩、懷疑的現象，這就說明學生對于簡易方程相關知識的理解不透徹和不充分。為了讓學生更好地理解簡易方程的本質，教師可以引導學生對簡易方程進行深度探究。可以先從簡易方程的符號入手，讓學生明白簡易方程中符號的意義。如：小明買了10支鉛筆和5本筆記本，其中一支鉛筆1元，總共花了小明20元，請問筆記本多少元一本？學生在解決這種數學問題的時候首先就會設筆記本為x元，這個時候教師可以對學生進行引導：x是用來表達什么的？學生就會回答：表達筆記本的價錢。教師可以趁機延伸：筆記本的價錢在問題中是什么呀？學生就會聯想到不知道的量、需要解決的量等描述，教師可以對學生的回答進行精簡：那么是不是未知的量就叫作未知量？學生聽到這個稱呼，就會很好地理解簡易方程中的數學符號代表的就是數學問題中的未知量，學生也就可以放心地使用數學符號列出簡易方程。

學生對數學知識進行深度探究的過程不僅可以幫助其更好地理解數學知識的本質，還可以培養(yǎng)學生探究性的學習能力和思維，讓學生帶著問題去理解自己所學習的數學知識，借此來對自身在思維上存在的問題和缺陷進行查漏補缺，從而加強和提高學習數學的效率，還可以優(yōu)化學生看數學的角度與高度，對數學做到“俯視式”的學習。

5? ? 聯系生活現象，重新認知

學生在學會運用數學模型解決具體數學問題之后，教師還可以利用數學知識與生活緊密相連的特性，讓學生把數學模型跟實際生活聯系起來，借此引導學生對抽象化的數學知識進行仔細的觀察和分析，從中獲取數學知識在生活中的形態(tài)和構成，使學生可以通過實際生活經驗對數學知識的模型形成全新的認知，也可以更好地把數學知識與實際生活結合起來構建數學模型，強化學生的數學核心素養(yǎng)和建模思維。

例如，在教學“小數的意義和性質”時，教師會發(fā)現學生對于小數的認知不夠深入，大部分學生認為數字就是數字，并沒有其他的意義和性質，因此，在學習小數的性質和意義的時候，大部分學生都學習得不是特別認真。針對學生的這種學習態(tài)度，教師可以利用實際生活中的一些數學模型對學生進行引導，讓學生重新認識數學知識，從更深的層次對數學知識進行理解。教師可以先從學生經常接觸的圓、角、分入手，先詢問學生：如果小明有55角，他買1元的鉛筆3支，那么他還剩下多少錢？這是學生在實際生活中經常可以遇到的問題，學生會很快回答還剩下25角或者2.5元。還有與學生身高有關的生活現象：小明的父母每一年都會記錄小明的身高，小明6歲的時候身高1米，現在7歲的身高長了10厘米，那么小明現在是多高？通過這些類似的問題，學生很快就會發(fā)現小數好像不僅僅是一個數。通過這些實際的“數學模型”，學生很快就會意識到他們輕視了小數。這樣學生就會重新認識小數：小數不僅僅是一個數，更是一種數學符號，還是對實際生活中數的一種補充，也是對實際運算當中一些單位的補充，非常方便人們在日常生活中運用。

數學模型與實際生活的結合可以激發(fā)學生的學習興趣，在激發(fā)學生求知欲的同時保證學生學習數學的積極性不會衰減，同時還可以更好地激活學生現有的生活經驗，將其與自身所學到的數學知識相結合，從而可以把蘊藏在生活中的數學知識很好地用數學語言表達出來，進一步加強數學知識與實際生活的聯系。

6? ? 結語

在不斷的模型構建中，教師要積極引導學生對數學實際問題進行探索求解，也要適時對學生所構建的數學模型進行檢查，體驗學生的建模過程。還要積極引導學生進行具體應用，在應用中檢索學生是否具備利用模型解決實際問題的能力。這樣，教師才能提升學生的模型構建能力與運用能力。

數學模型的構建與應用，均是學生學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重點。在對學生的實際培養(yǎng)過程中，教師要遵循學生的客觀認知規(guī)律，尋找到與之相符合的教學方式。通過以上的教學方式，能夠幫助學生準確、清晰地認識并理解數學的意義，從而使其核心素養(yǎng)穩(wěn)步提升。

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