將數學核心素養滲透于概念教學中

［摘? 要］ 核心素養強調的不是知識與技能本身，而是獲取知識與技能的能力. 培養數學核心素養最好的途徑是將其滲透于學科教學中. 因此，研究者嘗試將數學核心素養與數學概念教學相結合，從小處入手，試探究在“排列”的概念教學中滲透數學核心素養的教法.

［關鍵詞］ 數學核心素養；概念教學；排列

排列，既是分步計數原理的應用，又是學習組合與組合數公式的基礎，它的教學蘊含了對學生進行數學核心素養培養的豐富內容. 雖然許多教師對此課的教學進行了多方面的有益探索，但是將數學核心素養滲透其中的教學嘗試尚嫌不足，可以借鑒的教學經驗有限，且當前很多因素制約了數學核心素養在教學中的滲透. 為此，筆者結合自己的教學經驗，針對“排列”這節概念課，就如何在數學概念教學中滲透數學核心素養做了一些探究.

課堂實錄

1. 問題情境，引入新課

師：考察下面兩個問題.

問題1：高二（5）班準備從甲乙丙這3名學生中選出2人分別擔任班長和副班長，有多少種不同的選法？

問題2：從1，2，3這3個數中取出2個數組成兩位數，這樣的兩位數共有多少個？

師：上面兩個問題有什么共同特征？

設計意圖：通過問題的提出，促使學生觀察，歸納出兩個問題的共同特征，有助于提升數學抽象核心素養.

師：我們先考察問題1中所有可能的選法，哪位同學愿意分享一下你的想法？

生1：共6種. 窮舉法：先選班長后選副班長. 選法如下：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙.

師：正確，請呈現你的思維過程.

設計意圖：窮舉法是學生最容易想到的方法，但若問題加深難度，窮舉法的效率則頗低.

生1補充：我們可以用樹形圖來解答. 共6種：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙.

師：好！利用樹形圖來解答，方法直觀，可以保證所求個數不重不漏.

師：那么問題2呢？

生2：因為1，2，3這3個數任何一個都可能在十位，也都可能在個位，用樹形圖來表示，得到共有6種不同的選法：12，13，21，23，31，32.

師：很好！請大家繼續思考：問題1和問題2有什么共同點？

生3：從形式上來看，都是從3個……中選2個.（眾生笑）

師：沒錯，生3觀察得很仔細. 對于“……”部分，我們通常把問題中被取的對象叫做“元素”. 很明顯上面兩個問題中的3個元素是不同的.

師追問：如果將問題1中的班長、副班長視為第1位、第2位；同理，將問題2中的十位、個位也視為第1位、第2位（師板書）. 那么，這兩個問題還有什么共同點嗎？

設計意圖：此處師板書旨在培養學生直觀想象、邏輯推理等核心素養，期待學生可以通過直觀感知，推理得出兩個問題中存在的共同特征.

此時生3面露難色，沒有回答.

生4（踴躍）：老師，這兩個問題都是將取出來的2個元素按順序排成一列.

師生概況出共同點：①從3個不同的元素里取出2個；②按照一定的順序排成一列. （師板書）

師：能否再舉幾個例子？

生5（男生）：從3朵玫瑰花中選2朵分別送給2個女生.（眾生大笑）

師：（笑過之后）我們考慮一下這個例子是否符合上述特征？

全體學生：符合.

師：對. 這個例子比較貼近生活，還有么？

生6（女生）：從a，b，c這3個字母中取出2個.

師：很好，兩位同學舉出的例子都很精彩，我們還可以嘗試通過改變數字來得到其他例子.

2. 數學建模，深化概念

問題3：從1，2，3，4這4個數中，每次取出3個排成一個三位數，能得到多少個不同的三位數？

師：將問題1、問題2放在一起，去偽存真，可以抽象成：從3個不同的元素中取出2個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排法？那么，問題3可以抽象成什么？

生7：從4個不同的元素中取出3個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排法？

師：正確. 下面請同學們將它們推廣到更一般的情形.

生8：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排法？

師：推廣得很好！尤其引入了變量m，n，并給出了“m≤n”，考慮到了變量的實際大小！另外，通過由特殊到一般，把具體問題抽象為數學問題，自己建立了本節課的數學模型——“排列”，非常厲害！

設計意圖：學生通過問題探究，自行建模，活躍了課堂氣氛，培養了學生數學抽象、數學建模等能力.

3. 例題講解，難點突破

概念辨析：判斷下列哪些命題是排列.

①從10名學生中抽取2名作為正、副組長；

②從10名學生中選取2名去開會；

③從2，3，5，7，11中任取2個數相乘；

④從2，3，5，7，11中任取2個數相除；？搖

⑤有3本不同的書，從中選取2本送給2名同學，每人各1本；

⑥有3種不同的書（每種不少于2本），從中選2本送給2名同學，每人各1本.

生9：①是，它相當于從10個不同元素中取出2個，然后按照一定的順序排成一列，符合“排列”的定義.

師：說得好，判斷命題是否是“排列”的依據便是“排列”的定義.

生10：②不是，它相當于從10個不同元素中取出2個，然后不需要考慮順序排成一列，不符合“排列”的定義.

師：正確！再次強調“排列”定義中的兩個關鍵點：①元素不能重復；②按一定的順序排成一列. 缺一不可！

例1 寫出從a，b，c，d這4個字母中，取出2個字母的所有排列.

生板演.

設計意圖：考查學生的應用能力，滲透數學素養.

生11：板演樹形圖（略），有12個不同的排列，它們是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.

思考1：ab與ac是相同的排列嗎？ab與ba呢？

生12：都不是. 前者元素不同，后者順序不同.

師：正確，抓住了“排列”定義的本質. 兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，且元素的排列順序也完全相同.

思考2：a不排在首位的排列有哪些？

生13：在原問題結果的基礎上，去掉a排在首位的排列，共有9個：ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.

師：正確，在前人工作的基礎上，我們可以利用“排除法”很快得到答案. 還有別的想法么？

設計意圖：此種解法是學生容易想到的，窮舉后利用“排除法”能很快找到符合條件的結果. 可以培養學生舉一反三的創新意識.

生14：樹形圖中第一行只列b，c，d，不列a.

師小結：直接運用樹形圖，活學活用，值得學習！這個問題是“有限制條件的排列”，大家可以采用“直接法”或“排除法”兩種方法來處理.

例2 寫出從a，b，c，d這4個字母中，取出3個字母的所有排列.？搖

生15：從4個字母中取出2個字母的排列有12個，在這樣的每一種排列后面排上其余2個字母中的任何一個，就可以得到結果（作樹形圖）.

思考：你能寫出這4個字母都取出的所有排列嗎？

設計意圖：通過學生的分析思考，進一步加深學生對樹形圖的認識.

4. 課堂小結，布置作業

略.

教學反思

教學反思是教師以個人教學為思考對象，對自身教學理念、實踐及因此而產生的結果進行深入的分析，達到既提高教學質量又提升教學水平的過程［1］.

（1）反思教學設計.本節課正是通過幾個排列問題，讓學生自己探索發現、歸納小結，迫使他們找出這些排列問題中的共同特征，再由特殊到一般、由具體到抽象，得到排列模型.從而引發學生強烈的學習興趣，培養學生的創新意識和應用意識，將數學素養滲透到數學概念教學中.

（2）反思問題情境的創設. 筆者有如下體會：①問題情境應當在學生知識的最近發展區進行設計，循序漸進，由淺入深，激發學生對新知識的渴望；②抓住概念的本質特征，設計一些練習題，可以調動學生的積極性，鞏固已學知識；③利用例題與思考題相結合進行分層教學，使學生既能熟悉掌握基本方法，又能加深學習. 這樣，不僅使這節概念課教學的內容進一步得到了升華，又為下一階段推導排列組合公式做了鋪墊.

值得注意的是，將數學素養滲透到數學概念教學中的手段不是孤立的，也不是矛盾的，可以將排列組合綜合應用. 總之，教起來“枯燥乏味”的內容其實用對了方法也能教出希望，開出理想之花. 筆者希望借此論文，引起更多的專家學者關注如何在數學教學中滲透數學核心素養，使新課程理念下的數學教學可以向蓬勃的方向發展.

參考文獻：

［1］? 蔡勇全. 也談數學教學反思［J］. 數學通訊，2016（05）：1-3.

作者簡介：李永永（1986—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學工作.