數學課堂教學“微創新”探索

陳玉利 周光兵

作者簡介：陳玉利（1977—），本科學歷，一級教師，從事數學教學工作。

[摘? 要] 小學數學學科教學要積極地倡導并引導學生進行數學“微創新”，形成“緘默性知識”、明晰“緘默性知識”、建構“緘默性知識”，是數學“微創新”的機理探尋。教師引導學生“微創新”，要以思導創、以做導創、以器導創等。數學微創新不僅能激發學生的創新意識，提升學生的創新能力，更能生成學生的創新素養，培育學生的創新人格。

[關鍵詞] 小學數學;數學課堂;緘默性知識;微創新

在這樣一個創新的時代，小學數學課堂教學應當緊跟時代的步伐，引導學生進行課堂創新。對于學生來說，那種原始創新、宏大創新比較遙遠，而“微創新”則近在咫尺。所謂的“微創新”是指“從細微處入手，以學生的生命實踐活動為載體，突出問題分析、問題解決的一種再創造”。正如數學教育家弗賴登塔爾所說，“學生數學學習的重要路徑就是再創造，也就是將要學習的知識再造出來”。通過“微創新”，能有效培育學生的“微創造力”。

一、數學“微創新”的機理探尋

數學的微創新具有一種改變學生主體的力量，微創新能有效地突破學生的自我認知、思維的局限。通過微創新，學生能將緘默知識明晰化，能將緘默知識轉變為外顯的形式化的知識。在微創新的過程中，教師要從小處著眼，努力讓創新貼合學生的心理，引導學生在數學學習中發生著一種從量變到質變的轉變。

1. 形成“緘默性知識”

在學生的數學學習中，很多的數學知識往往會不斷地堆積，形成一種有效的知識積累。這些知識經過長時間積累會沉積在學生的記憶深處，由此成為一種緘默性知識。緘默性知識在學生的數學創新中發揮著重要的作用，它往往是學生產生解決數學問題靈感的源泉。教師要夯實學生的緘默性知識，讓學生的緘默性知識走向豐富。比如，教學“多邊形的面積”這一部分內容時，很多的平面圖形如平行四邊形、三角形、梯形等的面積公式的推導過程性知識會沉積在學生心中，進而有效形成了學生的問題解決策略、情境處理方式以及模型建構方法等。在學生以后學習其他圖形面積如推導“圓的面積”時，教師只需要喚醒、激活學生的已有知識經驗，就能催生學生的積極猜想，并引導學生積極主動地投入到數學實踐之中。數學緘默性知識是學生數學學習心理的重要組成。

2. 明晰“緘默性知識”

在引導學生數學微創新的過程中，教師要善于喚醒、激活學生已有的知識經驗，進而明晰“緘默性知識”。讓學生的緘默性知識從內隱變為外顯，就能使學生捕獲到靈感、想法，并進行有效的加工。在這個過程中，教師要引導學生進行整理、分析、加工，從而形成思維的鏈條，形成問題解決的思路等。

比如在“多邊形的面積”教學中，筆者引導學生樹立上位觀念，即“平行四邊形”“三角形”等圖形面積都可以看成是一種“特殊的梯形”的面積。因此，在學習“圓的面積”這一部分內容時，有學生大膽地猜想：“圓的面積能否看成梯形的面積？圓環的面積能否看成梯形的面積？上底在哪里？下底呢？高呢？”這樣借助于已有知識經驗的原型啟發，能讓學生進行大膽的聯想，進而形成有效的創造。

3. 建構“形式化知識”

數學教育家弗賴登塔爾說，“與其說是學習數學，毋寧說是學習數學化;與其說是學習形式，毋寧說是學習形式化;與其說是學習公理，毋寧說是學習公理化”。建構“形式化”的知識是數學教學的應有之義、應然之舉。在小學數學教學中，教師要引導學生用數學化的眼光來打量，用數學的頭腦來考量。一般來說，學生的微創新有兩種范式：一是微創新的“裂變”，二是微創新的“聚變”。比如從上位知識到下位知識就是“裂變”;從“下位知識”到“上位知識”就是“聚變”。裂變是從“一”到“多”，能讓學生的數學學習體系化、結構化;聚變則是從“多”到“一”，有助于學生建構“大概念”“高觀點”。

聚變有助于學生建構“形式化”的知識。比如，當學生學習了“異分母分數加減法”這一部分內容之后，筆者引入了“整數加減法”“小數加減法”，并引導學生進行比較，從而催生學生積極主動的發現，讓學生的數學微創新走向“聚變”。學生深刻地認識到，所謂的“加減法”，無論是“整數”“小數”還是“分數”，都是“計數單位相同才能直接相加或者相減”。這樣的“聚變”，能有效助推學生的高階創新。高階創新能使學生形成創新性的問題解決思路、解決路徑、解決方法和解決思想。

學生的數學微創新活動是由淺入深、由易到難、螺旋上升的一個過程。教師要注重發掘學生緘默性知識，讓學生的緘默性知識持續地、能動地發揮作用，推動學生微創新活動的不斷演化。教師要通過微創新活動，引導學生的數學學習不斷地進階，讓學生的數學學習不斷地從低階邁向高階，讓學生的數學學習不斷地走向深入。

二、數學“微創新”的實踐探索

在厘清學生的微創新的機理之后，教師應當依據學生的微創新機理，積極探索引導學生微創新的實踐策略。在小學數學學科教學中，教師要引導學生以“做”導“創”、以“思”導創、以“器”導創。微創新具有“微”“小”的特質、特性，教師要讓創新成為一種“低門檻”的活動，成為學生數學學習的一種常態;要讓課堂成為學生微創新的主戰場、主渠道，推動學生的數學學習不斷地轉型升級，從傳統的“粗放型學習”轉向“集約型學習”;讓學生在“集約型學習”中成為一個個的“小創客”，讓學生的數學學習過程成為一個創新、創造的過程。

1. 以“思”導“創”，激發學生創意靈感

靈感是學生數學學習微創新的起點，然而靈感不是“憑空”產生的，靈感是學生長期思考、累積而瞬間產生的一種現象。在小學數學學科教學中，教師要激發學生的創意靈感，關鍵是要引導學生以“思”導“創”。長時間的、深度的思維、思考、思緒等，都是學生創新的動力引擎，都是學生靈感產生的土壤。在小學數學學科教學中，教師要引導學生積極主動地“運思”，讓學生思之有物、思之有序、思之有理、思之有創。在思考的過程中，學生的數學學習能夠實現轉識成智。研究表明，有深度的、持續性的思考能讓學生產生“靈感”“頓悟”。

比如教學“釘子板上的多邊形”這一部分內容時，教師應當引導學生反復思考：多邊形的面積與什么因素有關？有的學生猜想面積與多邊形的邊上的點子數有關，有的學生猜想面積與多邊形的內部的點子數有關，還有的學生猜想面積與多邊形的內部和邊上的點子數都有關等。因此，學生積極地應用“控制變量法”，對“圖形上的格點數”“圖形內部的格點數”與“圖形的面積”開展關系探索。通過對比實驗，學生能自主地建構“皮克定理”。在這個過程中，教師“以思導創”，不斷地激發學生的創意靈感，不斷地修正自我的認知，不斷地喚醒、激活學生的緘默性知識。借助“皮克定理”，學生不僅能計算規則的多邊形的面積，而且能計算不規則的多邊形的面積等。在微創新過程中，學生能將思考中的“金點子”（比如大膽的數學猜想、數學直覺等）轉變為學生的數學學習的客觀現實。

2. 以“做”導“創”，培育學生創新意識

問題是學生創新的母體，是學生創新的動力引擎。在小學數學學科教學中，教師要引導學生以“做”導“創”，從而不斷激發學生的問題意識。教師可以設計一個“問題領域”，引導學生借助于自己有限的知識沖破無限的問題。教學中，教師要“眾籌”新點子，要“眾創”新做法;引導學生借助主任務、動手做等的相關活動，促進學生的正向遷移。比如教學“圓柱的側面積”這一部分內容時，筆者就引導學生將圓柱形物體的側面展開，然后再將展開后的長方形卷成圓柱的側面。通過反復地“展、卷”，學生不僅能認識到圓柱的側面是一個長方形，還能積極主動地發現圓柱的側面和展開圖長方形之間的關系。教師要以“做”導“創”，激發學生的創新意識：計算圓柱的側面積就是計算長方形的面積，長方形的長相當于底面周長，長方形的寬相當于圓柱的高，因此圓柱的側面積就等于圓柱的底面周長和高的乘積。

動手做能催生學生數學學習的微觀裂變，并能讓學生實現自主性的知識建構。在數學學科教學中，教師可以通過學生的“動手做”活動，將相關的數學知識進行“大遷移”“遠遷移”。比如，在“圓柱的側面積”計算教學中，教師將“圓柱的側面積”轉變為“長方形的面積”，將數學新知通過與情境中學生處于緘默狀態的舊知耦合，引發學生的微創新。

3. 以“器”導“創”，提升學生創新能力

在數學學科教學中，不僅情境等具有導引學生微創新的作用，相關的數學工具、學習工具也具有導引微創新的作用。不少學生在數學學習過程中，常常會形成一種“思維習慣”，會形成一種“思維定式”，會形成一種“路徑依賴”。教師不僅可以通過引導學生思考、操作來引發學生的緘默性知識，催生學生的創新，而且可以通過相關的數學學習工具、信息技術、人工智能技術等外在性的“器”，來引導學生的創新，來誘發學生的“超長鏈反應”。以“器”導“創”，關鍵是要讓學生走出“路徑依賴”“路徑固化”等的“繭房”，突破慣性思維、慣性認知的“桎梏”。比如教學“圓的周長”這一部分內容時，在學生通過“動手做”活動測量出圓的周長、圓的直徑，并計算圓的周長和直徑的商之后，筆者立即借助于電腦，通過有關的周長和直徑的參數，對學生的探索過程加以檢驗，從而讓學生感知到自己的測量與標準之間產生的不可避免的“誤差”，以引發學生思考：在測量圓的周長時如何盡可能地減少誤差？學生積極嘗試減少經驗性實驗方法的誤差，比如精準測量、多次測量求平均數、將圓形放大，用統計法計算等。在此基礎上，借助多媒體課件，筆者引導學生的數學思維超越傳統的“滾圓法”“繞圓法”等的測量圓周長的固化方法，將劉徽割圓術展示出來，激發學生創新性認知。同時，筆者還介紹了國外的相關的測量圓周長的方法。這樣的展示，讓學生深刻認識到經驗性的方法無法精準計算出圓周率，現代計算圓周率的方法是借助于微積分和冪級數結合導致的無窮級數來計算π值的分析方法。這樣的一些方法能刷新學生的數學認知。盡管學生還不理解這樣的一些方法，但是學生已經認識到經驗性方法的局限性。

創新是一個民族的靈魂，也是一個民族興旺發達的不竭動力。在小學數學學科教學中，教師要倡導并引導學生“微創新”，激發學生的創意靈感，讓學生智享新穎的創新資源、素材等。同時，教師活用相關的智能技術，能有效地開發學生創新潛質、潛能。通過微創新，能將相關的數學思想、方法凝結起來，形成數學的“方法庫”“路徑庫”“思想庫”。教師通過引導學生的數學微創新，不僅能點燃學生的創新意識，提升學生的創新能力，更能生成學生的創新人格，增強學生的數學學習的自信心、好奇心，發展學生數學學習的獨立性、冒險性、堅持性等良好品格、品性等。