滲透數(shù)學(xué)猜想 提升思維品質(zhì)

作者簡介：薛新龍（1987—），本科學(xué)歷，一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。

[摘? 要] 為了更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和獨(dú)創(chuàng)能力，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)猜想不是憑空臆測，它的提出和驗(yàn)證需要適宜的生長環(huán)境，需要教師日常教學(xué)中潛移默化地引導(dǎo)和滲透。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思維;創(chuàng)新意識(shí);數(shù)學(xué)猜想

數(shù)學(xué)猜想是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的常見策略。數(shù)學(xué)猜想是指根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行的觀察、分析、比較、歸納等活動(dòng)，具有明顯的目的性、邏輯性、直覺性、或然性等特征，屬于推理的范疇。雖然數(shù)學(xué)猜想具有一定的主觀性，但是其以數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和思維方法為基礎(chǔ)，是一種合理猜想，而非“空想”。數(shù)學(xué)猜想是創(chuàng)新的生長點(diǎn)，是需要重點(diǎn)培養(yǎng)的一種數(shù)學(xué)能力。不過，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，教學(xué)多是結(jié)果教學(xué)，重視學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，卻忽視學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)，從而影響了學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展。

數(shù)學(xué)猜想能力在數(shù)學(xué)中有何意義，在教學(xué)中如何培養(yǎng)呢？基于這兩個(gè)問題，筆者談了一些自己的想法，僅供參考。

一、數(shù)學(xué)猜想的現(xiàn)實(shí)意義

1. 有利于提升學(xué)生的專注力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了提升學(xué)生課堂參與度，激發(fā)學(xué)生的思維能力，大多數(shù)教師會(huì)設(shè)計(jì)一些具有針對(duì)性的問題，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下積極思考，主動(dòng)參與。學(xué)生參與課堂活動(dòng)大多是在教師的帶領(lǐng)下進(jìn)行的，缺乏主動(dòng)意識(shí)，因此，在教學(xué)中教師要在結(jié)果給出前讓學(xué)生去猜想。這樣，學(xué)生一旦有了自己的猜想，就會(huì)把自己與問題主動(dòng)地聯(lián)系在一起。為了證明自己的猜想，學(xué)生會(huì)主動(dòng)地調(diào)動(dòng)已有認(rèn)知和已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，即使學(xué)生可能并未得到最終的結(jié)果，但是通過猜想的過程，學(xué)生會(huì)更加關(guān)注于問題的結(jié)果，這樣學(xué)生的聽課注意力自然有所提升，學(xué)生參與的熱情自然會(huì)被激發(fā)。

2. 有助于孕育數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)

數(shù)學(xué)猜想是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最活躍、最積極的因素，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的動(dòng)力源。眾所周知，學(xué)習(xí)既是知識(shí)的一種繼承，更是知識(shí)的一種發(fā)展。在教學(xué)中教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，積極投入到相關(guān)的探究活動(dòng)中去，尋找新思路、新規(guī)律，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論。不過，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，部分教師片面地認(rèn)為小學(xué)生受到認(rèn)知能力和思維發(fā)展水平的限制，其所提出的猜想大多“天馬行空”，不具備合理性，沒有探究的意義。教師在教學(xué)中很少組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，學(xué)生獲取知識(shí)主要依靠教師的灌輸，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識(shí)沒有得到很好的培養(yǎng)和發(fā)展。

創(chuàng)新是時(shí)代賦予教育的重要使命，創(chuàng)新意識(shí)應(yīng)該是每個(gè)學(xué)生都具備的一種素養(yǎng)，因此在教學(xué)中教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)，通過猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)豐富學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)習(xí)能力提升。

3. 有助于激發(fā)思維活力

數(shù)學(xué)猜想是一種預(yù)測和假想，是一種直覺思維，它為學(xué)生提供了一個(gè)更為廣闊的空間。學(xué)生可以結(jié)合自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)提出自己的想法，有效地降低思維壓力和心理負(fù)擔(dān)，激發(fā)思維活力。

雖然受數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備的限制，小學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想時(shí)可能距離客觀實(shí)際比較遙遠(yuǎn)，但是只要教師在教學(xué)中不斷地引導(dǎo)和滲透，就能有效培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生推理能力，促進(jìn)學(xué)生綜合能力提升。

二、數(shù)學(xué)猜想能力培養(yǎng)策略

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有許多適宜學(xué)生猜想的內(nèi)容和教學(xué)契機(jī)，只是在教學(xué)中教師過多地關(guān)注了結(jié)果，錯(cuò)失了誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想的契機(jī)，限制了學(xué)生發(fā)展，因此在教學(xué)中教師應(yīng)采用一些行之有效的方法來提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力。

1. 重視提出猜想的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)猜想應(yīng)是基于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)之上的，它不是漫無目的的遐想，而是具有目的性和合理性的推測和直覺判斷。為了提升猜想的合理性，教師應(yīng)在日常訓(xùn)練中加以引導(dǎo)，首先，要讓學(xué)生明晰猜想的價(jià)值;其次，要讓學(xué)生知道什么樣的猜想才是有效的、合理的;最后，讓學(xué)生掌握一些猜想的方法和策略。對(duì)于小學(xué)生來講，可以從以下幾方面來訓(xùn)練他們的猜想方法。

（1）借助歸納提出猜想

數(shù)學(xué)具有一定的規(guī)律性，教師在培養(yǎng)學(xué)生猜想能力時(shí)可以借助一些富有規(guī)律性的內(nèi)容進(jìn)行誘發(fā)，讓學(xué)生在歸納總結(jié)時(shí)提出自己的猜想。

例1? 觀察表1，說一說你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想一下第6行第6列的數(shù)是幾呢？

例1具有明顯的規(guī)律性，符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平。問題中要求學(xué)生求出第6行第6列的數(shù)時(shí)，其實(shí)質(zhì)就是引導(dǎo)學(xué)生觀察同行同列交點(diǎn)上數(shù)的特點(diǎn)，通過觀察容易發(fā)現(xiàn)第1行第1列的數(shù)為1，第2行第2列的數(shù)為3，第3行第3列的數(shù)為5，觀察至此規(guī)律已經(jīng)呈現(xiàn)，因此學(xué)生不僅可以推理出第6行第6列的數(shù)為11，而且能夠提出同行同列交點(diǎn)上的數(shù)為“連續(xù)奇數(shù)”的猜想。

（2）借助類比提出猜想

類比是數(shù)學(xué)的重要思想方法，是開拓和創(chuàng)新的重要手段，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力時(shí)自然需要借助類比。數(shù)學(xué)知識(shí)間存在著一定的邏輯性和關(guān)聯(lián)性，通過對(duì)相似或相關(guān)內(nèi)容的類比，可以讓學(xué)生在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上獲得新的發(fā)展和新的提升。同時(shí)通過類比，更易于讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)特征，從而實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的深化和思維的提升。

例2? 根據(jù)12=3×4，1122=33×34，111222=333×334，猜想11112222=（? ）×（? ），1111122222=（? ）×（? ）。

從練習(xí)反饋來看，大多學(xué)生都能夠輕松地推理出答案，可見借助相似的屬性來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，更易于學(xué)生理解和接受。

（3）通過聯(lián)想提出猜想

聯(lián)想是溝通已知與未知的紐帶，在日常教學(xué)中教師可以通過改變條件或改變結(jié)論來誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，從而通過聯(lián)想猜測新思路和新結(jié)論。在學(xué)習(xí)中進(jìn)行有效的聯(lián)想有助于學(xué)生舊知的鞏固和新知的內(nèi)化，有助于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善與發(fā)展，有助于推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

例3? 探究“植樹問題”

植樹問題是小學(xué)階段的一個(gè)重點(diǎn)專題，通過改變“路型”（線形路、環(huán)形路）和“植樹方式”（兩端都栽、只栽一端、兩端不栽），讓學(xué)生在解決問題后自發(fā)地提出新問題，通過對(duì)新問題的探究逐漸發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，提出猜想。

2. 關(guān)注猜想的驗(yàn)證訓(xùn)練

在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師通過專項(xiàng)訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生積極思考，大膽提出猜想，從而有效地激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)出新氣象。不過，數(shù)學(xué)猜想具有一定的主觀性，若想知道猜想是否合理，是否有價(jià)值，需要進(jìn)行驗(yàn)證。若數(shù)學(xué)猜想中缺失驗(yàn)證的過程，那么數(shù)學(xué)猜想將失去其本身的價(jià)值。當(dāng)然，小學(xué)生的邏輯思維能力有限，因此在驗(yàn)證時(shí)并不能進(jìn)行抽象的演繹推理證明，學(xué)生的驗(yàn)證過程大多以具體實(shí)例為主，通過大量的具有“說服力”的實(shí)例或者反例來驗(yàn)證猜想的準(zhǔn)確性和合理性。只有將猜想和驗(yàn)證有效地結(jié)合才一起，才能使猜想更有價(jià)值，更有說服力。

3. 重視課堂中猜想的滲透

猜想并不是憑空推測，它需要一個(gè)合理的生發(fā)點(diǎn)，那么教師在日常教學(xué)中如何創(chuàng)設(shè)猜想的生發(fā)點(diǎn)呢？

（1）在新舊知識(shí)銜接處尋找猜想的生發(fā)點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念、思想、方法之間往往存在著一定的關(guān)聯(lián)性，因此在教學(xué)中教師若能從知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，則易于觸發(fā)猜想的思維觸點(diǎn)。課前教師應(yīng)認(rèn)真研讀教材，挖掘出知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而為學(xué)生提供關(guān)聯(lián)性的教學(xué)材料;同時(shí)，教師要認(rèn)真了解學(xué)生的具體學(xué)情，從而創(chuàng)設(shè)出既富有挑戰(zhàn)性，又符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、認(rèn)真觀察，通過類比、聯(lián)想等實(shí)踐活動(dòng)提出猜想。

例4? 整數(shù)乘法定理的推廣

師：整數(shù)乘法運(yùn)算定律大家還記得嗎？

生（齊聲答）：記得。

師：很好，誰來說一說？（教師指定學(xué)生回答并板書）

生1：a×b=b×a，a×b×c=a×（b×c），a×（b+c）=a×b+a×c。

師：大家看看是否正確呢？（通過判斷對(duì)錯(cuò)喚醒經(jīng)驗(yàn)）

生（齊聲答）：正確。

師：很好，這些字母代表什么數(shù)呢？

生（齊聲答）：整數(shù)。

師：難道這里的字母只能是整數(shù)嗎？

這樣借助回顧舊知巧妙地創(chuàng)設(shè)問題，自然可以引發(fā)學(xué)生對(duì)小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法定律的猜想，由整數(shù)到小數(shù)也就水到渠成了。

（2）在概念的來源處尋找猜想的生發(fā)點(diǎn)

在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，部分教師很少關(guān)注概念的本源，只是從文字上去引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)概念、理解概念、應(yīng)用概念。其實(shí)在概念抽象前，可以設(shè)計(jì)一些聯(lián)系生活實(shí)際的實(shí)踐活動(dòng)來誘發(fā)學(xué)生猜想，從而拉近學(xué)生與抽象概念間的距離，便于學(xué)生更好地理解和應(yīng)用概念。

例5? 面積單位

師：剛剛我們認(rèn)識(shí)了面積單位：1平方厘米。如果用這個(gè)面積單位測量書桌的面積，你會(huì)測嗎？

生1：應(yīng)該可以測量，就是這個(gè)應(yīng)該要測很久吧，1平方厘米太小了。

師：這確實(shí)是一個(gè)問題，那該怎么辦呢？

生2：有沒有大一點(diǎn)的面積單位呢？

師：真是一個(gè)好問題，如果讓你來給出一個(gè)大一點(diǎn)的面積單位，你想用什么？如何給它定義呢？

認(rèn)識(shí)“1平方厘米”這個(gè)面積單位后，教師引入具體實(shí)例讓學(xué)生應(yīng)用概念，由單位不符引發(fā)了應(yīng)用的不適，由此學(xué)生迫不及待地想引入新的面積單位，繼而引發(fā)學(xué)生對(duì)新的面積單位的猜想。這樣，學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)在原來面積單位的基礎(chǔ)上自然會(huì)聯(lián)想到“平方分米”和“平方米”。其實(shí)大多數(shù)新知都來源于舊知，因?yàn)榇嬖凇安贿m合”“不夠用”等情況而引入新知識(shí)，以此作為舊知的延續(xù)和補(bǔ)充，能便于人們更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題。

（3）在知識(shí)的深化過程中尋找猜想的生發(fā)點(diǎn)

在日常學(xué)習(xí)中，因?qū)W生對(duì)知識(shí)的理解不夠深入或受思維定式等情況的影響，在猜想時(shí)容易受主觀因素的影響思考不周而引發(fā)錯(cuò)誤，因此在日常練習(xí)中，教師可以在思維定式處進(jìn)行誘發(fā)，從而使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更加全面、深刻。

例6? 立方體圖形的復(fù)習(xí)

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家根據(jù)描述“畫一畫”，看看你能畫出什么圖形呢？（學(xué)生聽說要根據(jù)描述畫圖，都興致勃勃）

師：這個(gè)立方體圖形有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)，且只有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形。（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立“畫一畫”）

生1：是長方體。

師：還有其他答案嗎？（生搖頭）

師：觀察圖1，它是否滿足呢？（教師用PPT展示圖1，讓學(xué)生對(duì)照陳述觀察）

生（齊聲答）：滿足。

師：如果想讓圖形為唯一的答案“長方體”，你認(rèn)為描述上還需要加上哪些條件呢？

在教學(xué)過程中，教師讓學(xué)生根據(jù)描述進(jìn)行猜想，因受思維定式的影響，大多數(shù)學(xué)生根據(jù)“只有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形”這一條件排除了正方體后，就判斷為長方體，從而掉入了教師預(yù)設(shè)的陷阱。接下來教師讓學(xué)生對(duì)原猜想進(jìn)行補(bǔ)充，從而在深化理解的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)了思維的縝密性。

（4）在思路突破處誘發(fā)學(xué)生猜想

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度分析，充分發(fā)揮思維差異的優(yōu)勢(shì)，通過合作交流誘發(fā)學(xué)生積極猜想。

例7? 一個(gè)圓柱的高是20厘米，____________，求圓柱的側(cè)面積？

師：接下來我會(huì)添加一個(gè)條件，使圓柱的表面積可求，你猜我會(huì)加一個(gè)什么條件呢？

生1：加一個(gè)直徑。

師：哦，如果加一個(gè)直徑，接下來如何求側(cè)面積呢？（生敘述了求解過程）

師：不過我加的不是直徑，請(qǐng)大家繼續(xù)猜一猜，看看誰是那個(gè)和我心有靈犀的人呢？

接下來，有的學(xué)生猜的是半徑，有的學(xué)生猜的是周長，還有的學(xué)生猜的是底面積，教師讓學(xué)生分別給出了解題過程。

師：大家都說得不錯(cuò)，不過和我的條件都不同，我的條件里沒有數(shù)字。（生沉思）

生2：哦，我知道了，底面周長等于圓柱的高。

師：你真棒。

這樣，通過一個(gè)開放性的問題誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行多角度聯(lián)想，再通過不同條件的添加將求圓柱表面積的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系在一起，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維活力。

其實(shí)數(shù)學(xué)猜想并不是那么高深莫測，它就在日常的課堂教學(xué)中，教師不需要刻意去創(chuàng)設(shè)復(fù)雜的問題情境，但是問題情境也不能缺少其思考價(jià)值，其應(yīng)具有明確的目標(biāo)性，讓學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在經(jīng)歷失衡的過程中發(fā)現(xiàn)新的支點(diǎn)，從而突破認(rèn)知的難點(diǎn)，達(dá)到認(rèn)知的平衡。

總之，在實(shí)踐教學(xué)中，教師應(yīng)多為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一些適合的問題情境，進(jìn)而為猜想的提出提供一個(gè)良好的契機(jī)，讓學(xué)生提出更多、更有價(jià)值的猜想。不過，值得注意的是，在教學(xué)中教師過多地強(qiáng)調(diào)提出合理的猜想，合理固然重要，但沒有通過推理和驗(yàn)證，誰又會(huì)知道猜想是否合理呢？教師只有為學(xué)生營造一個(gè)更為廣闊的、寬松的思考空間，才能讓學(xué)生少一點(diǎn)顧忌和束縛，根據(jù)自己所思、所想提出個(gè)人獨(dú)特的見解，從而使課堂呈現(xiàn)無限生機(jī)。