以史為線，普遍聯系，滲透文化

［摘? 要］ 以數學文化為線索設計“復數”復習課教學，通過復數的代數表示、幾何表示和三角表示等內容建立代數、幾何、三角等不同領域知識之間的聯系，培養學生的綜合能力，發展學生的數學核心素養.

［關鍵詞］ HPM；復數；教學設計；高三復習課

作者簡介：方倩（1993—），碩士研究生，中學一級教師，主要從事數學史與數學教育研究，曾獲華東師范大學基礎教育學科教研聯盟高中教師教學比賽一等獎、華東師范大學研究生國家獎學金.

設計背景與思路

2018年頒布的《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出，“在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養.”［1］教育部考試中心發布的《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》增加了對數學文化的要求［2］.

復習課是一種常見的課型，它的特點是知識的系統化和遷移訓練，歸納梳理所學知識，從而在認知結構中形成結構化的知識系統，同時靈活運用所掌握的知識去解決相關問題. 高三的復習課不是簡單的知識回顧，而是使學生的認知水平、數學能力和素養能夠螺旋上升的復習. 在新課標和高考改革的背景下，在高三專題復習課中以數學知識作為載體適當巧妙地融入數學文化，以深化理解作為目標，有助于提升學生的綜合能力，發展學生的數學核心素養.

復數歷史與應用，展現了數學學科發展的動態性，蘊含著豐富的數學文化. 復數的代數表示、幾何表示和三角表示等內容建立了代數、幾何、三角等不同領域知識之間的聯系［3］，體現了數學內部的普遍關系. 但學習復數知識后，很多學生認為復數的代數形式和復數的幾何形式是完全不同的兩個概念，且兩者之間沒有關系［4］. 大部分學生能夠解答與高考卷類似的試題，卻無法舉一反三，不能靈活運用學過的復數幾何形式解答題目，沒有真正理解復數概念［5］.

鑒于此，筆者基于學生的認知特點，結合高中數學課程標準的要求，以數學文化為線索設計“復數”復習課教學. 擬定教學目標如下：①通過知識回顧，在歷史脈絡中整體性掌握和鞏固復數的代數表示、幾何意義和四則運算等基礎知識；②運用復數知識解決解析幾何等數學問題，辨析復數與向量的聯系與區別，體會數學知識間的普遍關系；③了解復數的三角表示，以及復數知識與其他學科知識之間的聯系，感受數學文化，體會復數的學科意義與應用價值.

教學設計與實施

教學設計思路如圖1所示.

1. 回溯歷史，夯實基礎

上課伊始，教師播放微視頻帶領學生回顧數系的擴充與復數的引入過程，復習復數的代數表示.

師：從視頻中數系的擴充，可以發現復數分為哪兩大類？

生1：實數和虛數.

師：實數又可分為什么？虛數呢？

生2：有理數和無理數；純虛數和非純虛數.

PPT上同步呈現知識點.

師：我們是用怎樣的代數形式來表示復數的呢？

生3：z=a+bi.

師：其中a，b都為實數. a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部. 實部和虛部分別記作什么呢？

生4：實部a記作Re（z），虛部b記作Im（z）.

師：非常好！虛部Im是“虛數”（imaginary number）英語單詞的前兩個字母. 17世紀法國數學家笛卡兒（R. Descartes，1596—1650）將虛數稱為“想象中的數”. 歷史上，最早給復數幾何解釋的應該是英國數學家沃利斯（J.Wallis，1616—1703），今天給我們看到圖形表示的是挪威測量員韋塞爾（C.Wessel，1745—1818）.

教師通過微視頻呈現復數幾何意義的相關史料，讓學生體驗復數從代數表示到幾何表示的過程，接受復數幾何意義的產生.

師：復數產生以后，因為無法實際表示，數學家還沒有接受虛數的存在. 因此，想要接受復數，就要知道其幾何表示. 我們知道實數可以在一維的數軸中表示出來，那么復數可以表示在數軸上嗎？如果不可以，我們應該如何操作呢？

生5：再添加一條軸.

師：非常好！韋塞爾為了解決平面與球面多邊形的問題，在實軸的基礎上添加了一條虛軸. 復數的幾何表示最終是由高斯（C. F. Gauss，1777—1855）完善的. 高斯不僅將復數表示為復平面上的一點，而且闡述了復數的幾何加法與乘法.

師：復數z=a+bi（a，b∈R）可由有序實數對（a，b）唯一確定，若將此放在直角坐標系中，可看作什么？

師：非常棒！也就是說將集合A表示的圖象先擴大倍，再逆時針旋轉45°，就可以得到集合B表示的圖象. 可見，用三角形式解決復數相乘問題就很簡便了.

說明 例4旨在引入復數三角表示的應用. 通過復數的三角表示及幾何運算從新的幾何角度切入，能更快更好地解決此類題目，并在復習過程中通過其運算意義，加強學生理解復數的幾何意義. 除此之外，從代數角度切入，亦可解決本題，將其作為學生的課后作業，讓學生在解決過程中對比上述兩種方法，深刻體會復數三角表示的便利以及復數的本質.

高中數學課程標準將“復數”置于必修課程主題三“幾何與代數”內，要求學生掌握復數的表示、運算與幾何意義；復數的三角表示作為新增的選學內容，將平面向量、三角函數、解析幾何與復數完美地融合在一起，使學生進一步體會到幾何與代數之間的密切關系［6］.

4. 課堂小結，感悟價值

教師帶領學生從知識層面、思想方法層面和情感價值層面小結本節課.

（1）知識層面：以史為線，帶領學生復習復數的代數表示、幾何表示與三角表示，聯絡解析幾何、向量以及三角函數等知識，形成并完善數學知識網絡；（2）思想方法層面：融入數形結合思想、轉化思想；（3）情感價值層面：復數并不是虛無縹緲的數，現今已被廣泛應用于流體力學、信號分析等學科. 在復數的基礎上，數學家哈密頓構造了四元數模型，從而產生了物理學中著名的麥克斯韋方程，陳省身說道：“沒有復數，便沒有電磁學，便沒有量子力學，便沒有近代文明. ”讓學生了解數系為何擴充，復數在電磁學、量子力學等領域的價值，從而激發學生學習數學的熱情.

最后，小結時學生給出了令人驚喜的回答：“數系從實數系擴充至復數系的過程，就如世界觀決定方法論，掌握的知識不一樣，解決的問題也就不同了. ”

結語

本節課以史為線重構復數的發展歷程. 首先，運用附加式展示復數的歷史微視頻，回顧數系擴充過程，帶領學生復習復數的相關概念，使學生自己發現復數與實數的異同，揭示復數的二元性；其次，運用順應式介紹歐拉公式，引導學生自主探索復數的三角表示以及四則運算規律.

用復數的幾何意義將解析幾何、向量和三角等知識有機聯系在一起，構建知識之諧；以兩個微視頻為載體，帶領學生走過復數發展、完善兩個階段，介紹著名的歐拉公式，感受數學的博大精深，展示數學文化之魅；結合三角內容的復習，探究復數的三角表示，讓學生體會探究之樂；從復數的代數表示、幾何意義和三角表示的角度去解決例題，產生不同的解題方法（一題多解），培養學生探究與解決問題的能力，體現方法之美；在例題的講解中，用復數的向量表示和三角表示解決問題，發展學生數學運算、直觀想象和邏輯推理等核心素養，同時提升運用轉化思想與數形結合思想解決問題的能力；學生在復數的發展過程中，數系的擴充一步步解決了小的數系中不能解決的問題，培養學生勇于探索的精神，體現德育之效.

復數復習課建立在學生對復數知識有一定了解的基礎上，但是對復數實際意義、本質的理解還浮在表面上. 本節課總體上完成了教學目標，學生對復數的代數表示和幾何表示能建立起一定的聯系，并能轉化為解析幾何問題求解；通過探究復數的三角表示，深化理解復數概念；數學史的融合給復習課注入了新鮮的血液，數學的動態發展讓學生感受到數學文化的魅力，激勵學生遇到困難時能站在更高的角度去思考問題. 在教學中，欲借助歷史來設計課堂探究，需要對數學史料有深刻的理解和把握.作為教師，須知其然也應知其所以然，路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索，幫助學生突破原有桎梏，真正理解并接受復數.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）［Ｍ］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 教育部考試中心. 關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知［EB/OL］. （2016-09-26）［2021-04-01］.

［3］ 汪曉勤，沈中宇. 數學史與高中數學教學——理論、實踐與案例［Ｍ］. 上海：華東師范大學出版社，2020.

［4］ A. Panaoura，L.Elia，A.Gagatsis，P. Giatilis.Geometric and algebraic approaches in the concept of complex numbers［Ｊ］. International Jou-rnal of Mathematical Education in Science and Technology，2006.

［5］ 許蕾. 復數在中學數學中的教學研究［Ｄ］. 西北大學，2017.

［6］ 閆洪德. 基于數學抽象過程中的問題驅動探析——以“復數的三角表示（第一課時）”教學設計為例［Ｊ］. 數學通訊，2020（16）：19-21.