力促“數”“形”相融，發(fā)展幾何直觀

鄭名銀

［摘? 要］ 針對學生在運用數學公式解決圖形問題時存在的“數”與“形”脫節(jié)的現象，文章以三年級“長方形的面積公式推導”為切入點，強調數學知識教學與學生生活經驗的聯系，引導學生經歷觀察、實驗、分析、概括等活動過程，滲透數形結合思想；通過展現“數”與“形”動態(tài)相融的過程，發(fā)展學生的幾何直觀，既促進了學生的認知理解與思維融通，又幫助學生積累了基本的活動經驗，更是培養(yǎng)了學生的空間觀念，實現學生關鍵能力的提升。

［關鍵詞］ 長方形的面積；數形結合；幾何直觀；空間觀念

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，“圖形與幾何”是學生感知生活空間的重要工具，也是描述圖形特征并進行溝通與交流的重要途徑。學生在學習“圖形與幾何”知識時，除了要能清晰地描述圖形的運動和變化，還要能靈活地應用數學知識解決生活中的實際問題，進而促進自身的空間觀念的發(fā)展。

教學實踐發(fā)現，當學生遇到求解有關圖形面積、圖形體積題目時，往往先是回憶對應的計算公式，并根據已知條件完成數據代入與計算，如解決有關“長方形的面積”問題時，學生先會在大腦中提取面積計算公式：長方形的面積=長×寬，然后找到問題中長和寬的數值，最后依據公式計算面積大小。這樣的解答，只是為了得到一個結果，圖形在這里起不到任何輔助知識理解的作用，“數”與“形”完全被割裂，長此以往，不利于學生空間觀念的培養(yǎng)，更是降低了學生數學學習的興趣。

一、基于教材，辨析數學認知誤區(qū)

圖形的面積計算本質就是對二維面積的度量，三年級學生從對一維長度的度量到對二維面積的度量，在認知上是一次質的飛躍。為了幫助學生充分感悟二維面積的度量本質，人教版教材設計了貼近學生實際的生活素材，引導學生經歷觀察、辨析等探究性體驗活動，力求幫助學生厘清面積概念的含義，體會“統(tǒng)一面積單位”的必要性，在形成面積單位表象的基礎上，深刻理解“長方形的面積”的計算方法。

“長方形的面積計算公式推導”的學習，是學習其他平面圖形面積公式的基礎，為研究其他平面圖形面積公式提供了基本原理和方法［１］。教學過程中，學生經歷初步感知、合作學習、歸納概括等探究活動，符合學生的認知規(guī)律，也激發(fā)了學生的探究欲望，為學生理解和掌握長方形的面積計算方法提供了活動經驗，但為什么在后續(xù)的“面積計算公式”運用中會出現“套用公式”“數形脫節(jié)”等現象呢？究其原因，筆者認為有以下兩點：

（一）斷層式認知

在“長方形的面積計算公式推導”的起始階段，學生通過用多個面積單位的小正方形測量長方形，發(fā)現小正方形個數恰好是長方形的面積數，這為后續(xù)厘清“長方形的面積與長、寬之間的關系”奠定了基礎。然而，這樣的探究過程并未真正演繹因果聯系，只是恰好符合規(guī)律，很多時候，學生的數學思維在認知上是斷層的，導致學生對圖形的面積計算變成了公式的記憶與運用，卻難以將圖形面積概念的本質與面積計算公式進行融通。

（二）誤導式建構

在研究“長方形的面積與長、寬之間的關系”過程中，開始是利用若干個1平方厘米的小正方形對大長方形進行覆蓋，初步感受“一行有幾個，有這樣的幾行”的模型，最終歸納得到長方形的面積計算公式。但學生在求表面是長方形的物體（如：課桌、鉛筆盒）表面積時，又要先分別測量一維的長度和寬度，再計算二維的面積，這就讓原本的面積問題變成了數值計算問題，導致學生對面積的概念理解和二維建構始終是不到位的。

二、認知理解，體驗數學實驗任務

張奠宙教授曾提出，“面積是小學數學‘圖形與幾何’領域的‘圖形測量’部分的概念，它具有‘數’的基本屬性，即可以找到一個合適的數對其屬性進行描述”。他認為，數方格的過程就蘊含了面積的“有限可加性”這一基本特征。教學時，教師可以引導學生從“線動成面”這一理念來認識什么是面積，讓圖形“動起來”，充分體驗“面積”的內涵。

在“長方形的面積計算”教學過程中，學生早已知道了長方形面積公式，但對于“長方形的面積公式為什么是‘長×寬’，為什么測量的是長度而算出來的卻是面積，如何幫助學生更深刻地理解面積計算公式”等問題，還需要再思考、再研究。鑒于以上分析，筆者嘗試如下教學，以供參考。

（一）探究學習

教學實踐發(fā)現，要促使學生理解“長度乘長度就等于面積”是有一定難度的。教材在設計“長方形的面積計算公式推導”的教學環(huán)節(jié)時，充分利用了直觀演示的方法，幫助學生感知“長幾厘米，每行就擺幾個小正方形，寬幾厘米，就擺幾行”的原理。學生經歷從一維的長度數值轉化為二維的面積單位個數的過程，從“長乘寬”的公式中架構長方形面積的過程表象。基于教材內容與學生已有經驗，開展如下教學：

（1）直觀呈現學習情境，引導學生嘗試用數格子法或用面積單位法進行面積的測量，并計算長方形的面積。（2）經歷兩種面積計算的方法：一種是數個數法，“1個1個地擺，共擺了15個，面積就是15平方厘米”；另一種是乘法計算法，“每行擺５個，就是５平方厘米，共擺了３行，面積５×３等于１５平方厘米”。（３）在此基礎上，組織學生開展用多個面積單位拼擺長方形的活動，并用表格記錄對應的長、寬和面積。（４）觀察與分析面積單位的個數與長、寬之間的關系，歸納概括得到長方形的面積計算公式。

（二）認知延伸

每一次的課堂教學實踐，都是師生共同經歷思維碰撞、智慧生成的過程。這就要求我們在教學某一知識點時，提前精心設計教學內容，做到瞻前顧后，把握教學的“度”。三年級“長方形面積的計算”知識的學習，其本質是“度量法”的滲透，即：理解“長方形的面積”為什么是用“長×寬”來計算的。從長度到面積的學習，空間形式的認知是一次飛躍，容易造成學生對圖形認識和測量上的混淆。因此，需要增設面積的拓展內容，借助數形結合、比較辨析、知識梳理等活動過程，幫助學生理解“長方形面積計算”的本質。

1. 動態(tài)演示

對小學三年級的學生而言，空間觀念的建構，一方面需要教師在教學過程中進行有意識培養(yǎng)，另一方面也離不開學生自身對生活空間的觀察、感悟等活動經驗的積累。借助“幾何畫板”，輔助數學課堂教學，改變了教師講授和學生被動學習的傳統(tǒng)教學模式，呈現圖形的動態(tài)演示過程，從不同的角度分析數學問題，促進學生的思維發(fā)展。以探究“長7cm、寬5cm的長方形面積計算”為例，嘗試如下教學：

（１）學生猜測：根據已有認知，認為面積是7×5=35cm2（如圖1）。（2）直觀教學：利用“幾何畫板”軟件，對圖形進行動態(tài)演示，觀察并分析圖形的變化情況，a. 一共擺了21個，每個面積是1cm2，長方形的面積是1×21=21cm2（如圖2）；b. 每一行有7個小正方形，一組7個面積是7cm2，有這樣的三組，那就是3個7cm2，列式為7×3=21cm2（如圖3）；c. 觀察變式圖形，分析并開展討論，達成共識，長方形的面積是7×3=21cm2（如圖4）。

2. 課件推導

學生經歷以上環(huán)節(jié)的學習后，自然地會由經驗積累聯想到公式背后的推導過程，教師需要引導學生結合運算的意義理解，尋找面積公式推導的依據［２］。教師根據學生的已有認知，借助課件輔助教學。學生經歷“平移”“累加”等直觀感知過程，想象、體會整個長方形的形成過程，理解“線動成面”的內涵，進而進一步體會長方形的面積計算公式的概念本質。借助課件，推導“長方形的面積計算公式”：

（１）課件出示：將一條長為７ｃｍ的“線段”逐漸變粗，最終轉變成寬度是1cm的“線段”，這條“線段”的面積是7cm2（如圖5）。（2）將“線段”向下平移，形成2條這樣的“線段”，得到的圖形面積就是2個7cm2，列式為7×2（如圖6）。（3）“線段”繼續(xù)向下平移，形成3條長為7cm的“線段”，所占平面的大小是3個7cm2，列式為7×3（如圖7）。

（三）思考總結

傳統(tǒng)教學模式下，面對“長方形的面積計算”這一教學內容，盡管教師引導學生采用了自主探究、合作交流等學習方式，縱然追尋著漸進式的探究學習，但仍舊不利于學生思維能力的提升，“新課后的知識補充”還需要另加課時，但也不一定會達到預期的教學效果。基于教材內容和學生認知水平，教師在開展基礎內容教學時，借助幾何直觀，動態(tài)呈現圖形的變化情況，提升學生的空間想象能力。

回顧小結：將每一行看作是一條“粗線段”，每條“粗線段”的面積是7cm2，3條“粗線段”累加的面積就是整個長方形的面積（如圖8），即3個7平方厘米，列式為7cm2×3=21cm2。因此，長7cm、寬3cm的長方形，它的面積計算列示為7×3，進一步解釋了長方形的面積可以用“長×寬”來計算。

課堂最后，教師提問：“長方形的面積=長×寬”就是我們學過的哪個數量關系式？學生思考，回答：每份數×份數=總數。課件出示問題：每份數就是（寬為1cm的“線段”的面積），份數就是（寬為1cm的“線段”的數量），總數就是（面積），并引導學生嘗試回答、討論。

當學生的思維經歷從一維運動到二維運動的演變之后，下一次面對某個平面圖形的面積計算時，其腦海中呈現的就是該圖形的動態(tài)形成過程，即：一條有寬度的“線段”的平移，并將得到的幾條有寬度的“線段”進行累加，而對應的面積計算公式就轉換為求“幾個幾”的和，也就是“每份數×份數=總數”。如此一來，面積計算公式就與平面圖形動態(tài)融通了，既省去了學生記憶公式的煩惱，又培養(yǎng)了學生的空間觀念。

三、收獲啟示，促進數學思維養(yǎng)成

幾何圖形的本質就是“點的積累、線的積累、面的積累”，也就是求“幾個幾”累加的和是多少。教學實踐發(fā)現，要促使學生深入地掌握有關“圖形與幾何”領域的知識，需要借助幾何直觀，抓住問題的本質，不但有助于學生理解數學的概念，而且有利于發(fā)展學生的數學思維。

（一）抓住本質，實現“數”“形”相融

兒童的認知結構是通過對問題的同化與順應而逐步建構起來的，尤其是思維的發(fā)展需要在“平衡—不平衡—新的平衡”的演變過程中得以不斷的豐富與發(fā)展。通過以上環(huán)節(jié)的學習，學生充分地感悟數形結合思想，在積累“線動成面”的過程中，理解“求長方形的面積”就是求“幾個幾”的單位面積，并加以靈活運用。

很多時候，學生遇到新的問題時，都要利用知識間的聯系將新的知識“轉化”為已學的舊知識來嘗試解決，在溝通、交流與整合中，實現數學知識的重構與融通。如，在“長方形的面積計算公式”的推導過程中，充分利用“數”與“形”相融的優(yōu)勢，以“形”直觀表達數，以“數”對應闡述形，將抽象的問題變具體形象，這不僅有利于學生深層次地理解數學公式，更有利于學生全方位地積累相關數學活動經驗。

（二）建構意義，培養(yǎng)空間觀念

“圖形與幾何”領域的教學，要讓學生充分經歷由圖形表征到算式表征的順向思維過程，再由算式表征到圖形表征的逆向轉化過程，不斷加深學生對意義的理解，培養(yǎng)學生的空間觀念。幾何圖形中求長度、面積、體積的問題歸根到底就是求“幾個幾”的問題，其數量關系式就是“每份數×份數=總數”。根據平移累加的原理，在操作“線動成面”的過程中，線的疊加就成了面，對面進行壓縮就成了一條線，學生感受了客觀事物之間的變化情況，理解了辯證統(tǒng)一的思想。

學生經歷“觀察感知”“圖示表征”等過程后，獲得從圖形到算式的“抽象化”經驗，并形成從計算逆推到圖形的意義建構。今后在面對求某個圖形的面積時，學生的腦海中首先呈現的是幾條有寬度的“線段”平鋪而成的面，完成由一維長度到二維平面的動態(tài)演變，透過面積公式的表達形式，發(fā)展空間觀念。最終，學生不僅能靈活地運用具體的面積公式解決實際問題，還能真正地領會面積公式背后所蘊含的數學思想。

總之，基于幾何直觀的數學教學，教師要抓住數學知識的本質，幫助學生搭建探究性學習的平臺，啟發(fā)學生進行數學思考，讓學生在掌握相關基礎知識和基本技能的基礎上，利用數形結合思想，積累實踐活動經驗。教學過程中，教師借助多種形式的學習方法，引領學生經歷數學知識的形成過程，促進學生數學思維的發(fā)展，讓學生的核心素養(yǎng)自然生長。

參考文獻：

［１］ 楊慧娟． 數學實驗在小學數學教學中的育人價值——以“長方形、正方形的面積計算”教學為例［Ｊ］． 小學數學教師，２０２１（０９）：７２－７５．

［２］ 王芳． 走向思維通透的深度閱讀——“梯形面積公式聯想”教學實踐與思考［Ｊ］． 小學教學參考，２０２１（１２）：１４－１６．