基于核心素養的高中數學微型探究的教學設計與思考

［摘? 要］ 文章以“立體幾何初步”的教學為例，淺談基于核心素養的高中數學微型探究的教學設計與思考.

［關鍵詞］ 核心素養；微型探究；教學設計

核心素養是未來數學教育改革的關鍵和數學課程改革的核心，在教育不斷改革并迅速發展的今天，提升學生的核心素養無疑是極其重要的［1］. 然而，迫于高考壓力，仍有不少教師還是熱衷于傳統的教學方式，過分重視專業知識的傳授和學生解題能力的訓練，而忽視概念、定理等重要數學知識的過程性教學，不能很好地引導學生領悟數學本質與數學思想方法，導致學生數學學科核心素養的培養匱乏.

微型探究是指教師根據學生實際情況、教材特征以及具體教學內容的特點，針對某節課的重難點、關鍵點或該節課某個知識的疑點、易錯點而選擇一個合適的角度，通過創設有效情境，使學生能在短時間內快速達成教學目標的探究活動. 微型探究作為一種優化數學探究的方式，具有“短”（教學內容耗時較短）“小”（針對特定知識點，切口?。熬保ň膭撛O問題情境）“悍”（形式靈活，有的放矢）等優點. 微型探究基于人本理念，尊重學生，理解教材，將一節課中某些關鍵性知識通過探究完成傳授，而其他內容則輔以教師講授，使探究式與講授式兩種重要的教學方式相輔相成、互為補充、和諧共存，極大地增強課堂活力，優化數學課堂教學，不僅兼顧傳統教學的優勢，而且充分發揮探究教學的作用，促進學生知識、能力以及數學素養共同發展.

下面，筆者以“立體幾何初步”的教學為例，淺談如何對數學概念、定理等知識開展微型探究.

精心設計概念微型探究，感受概念自然形成的過程，發展直觀想象、數學抽象等核心素養

“數學根本上是玩概念的”. 在概念教學中，有的教師為了趕進度，往往照本宣科，直接敘述教材上的定義，然后就是大量練習. 這種以解題教學代替概念教學的行為，沒有讓學生親身經歷概念形成的過程，學生對概念的理解停留在一知半解的層面上. 概念教學要講清楚概念的來龍去脈，通過微型探究，分析透徹概念的本質與內涵，使學生積極參與自我探索、自我發現的反思建構活動，充分經歷直觀感知、觀察發現、抽象概括等思維活動，獲得良好的數學素養.

案例1 棱柱的結構特征.

（1）直觀感知，抽象概括.

問題1 觀察圖1中的①②③④，它們各自有什么特點？又有什么共同特點？

設計意圖 引導學生觀察圖片或實物模型，在充分分析這些棱柱各自的特點以及共同特點后，歸納出棱柱的結構特征及其概念.

（2）變式探究，深化理解.

問題2 一個長方體ABCD－A′B′C′D′（如圖2所示）被截去一部分，其中 EH∥A′D′，那么截去的幾何體是否為棱柱？剩下的幾何體呢？

設計意圖 通過改變棱柱的放置位置，引導學生關注棱柱的概念，深化學生對棱柱概念的理解，培養學生用概念思考問題的習慣.

問題3 觀察長方體ABCD－A′B′C′D′，共有多少對平行的平面？其中能作為棱柱底面的有幾對？

問題4 圖3所示的是一螺桿模型，觀察它的頭部有多少對平行的平面？其中能作為棱柱底面的有幾對？

設計意圖 問題3、問題4借助變式探究，結合具體空間圖形明確棱柱底面、側面的結構特征，深化學生對棱柱概念的理解.

問題5 有人認為，如果某一個幾何體有兩個面互相平行，其他各面都是平行四邊形，那么這個幾何體一定是棱柱. 這對嗎？請你舉例說明.

設計意圖 引導學生嘗試構造反例（若有困難，可以引導學生動手制作模型，如圖4所示），通過概念辨析，進一步深化學生對棱柱概念的理解.

上述關于棱柱概念的微型探究，先引導學生充分觀察圖片或實物模型，然后通過問題驅動探究，使學生在直觀感知、觀察發現、抽象概括、反思建構等思維過程中，形成對棱柱深刻的體驗與感悟并內化為知識結構，最終遷移、升華成創新思維，對棱柱的理解也由感性上升到理性，提升直觀想象與數學抽象等核心素養.

精心設計定理微型探究，挖掘定理產生的背景與歷程，發展數學抽象核心素養

定理也是高中數學中的重要內容. “立體幾何初步”的定理教學的基本途徑是，讓學生充分觀察空間圖形和動手實驗，經過直觀感知、操作探索，最后歸納概括出相應定理，并應用定理去證明關于空間基本圖形位置關系的簡單命題. 在定理教學中進行微型探究，教師可以通過創設生活情境或借助實物模型，引導學生開展自主探索活動，使學生了解定理產生的背景，經歷定理自然形成的過程，并體會蘊含其中的數學思想，提升數學抽象素養.

案例2 直線與平面垂直的判定定理.

（1）創設情境，引導觀察.

問題1 某校要安裝一根8米長的旗桿，如圖5所示，可以先從旗桿的頂端引兩條10米長的繩子，再拉緊繩子，使繩子的下端剛好落在地面上兩點（與旗桿底端不在同一直線上）. 若這兩點與旗桿底端的距離都為6米，就知道旗桿和地面垂直，為什么？（繼續投影如跨欄、掛物架等生活中的示例圖片）

（2）折紙實驗，形成猜想.

折紙實驗：學生拿出一張事先準備好的三角形紙片，過頂點A將紙片翻折，如圖6所示，形成一條折痕AD，然后將翻折后的紙片豎立在水平桌面上（保持BD，DC與桌面緊密接觸）.

問題2 ①折痕AD是否與桌面垂直？②要如何進行翻折，才能使得折痕AD與桌面所在的平面α垂直？

問題3 ①紙片翻折前后，雖然紙片的形狀發生了變化，但保持不變的是什么？（考慮線與線的位置關系）②將紙片繞直線AD（點D始終在桌面上）轉動，若直線CD，BD不在桌面所在的平面α內，則直線AD與桌面所在的平面α垂直嗎？（引導學生明確：若直線AD與平面α垂直，則直線CD，BD都必須在平面α內.）

設計意圖 在定理關鍵點處設計有助于學生發現結果的問題串，使學生通過構造反例、實驗操作，理解直線與平面垂直的判定定理成立的條件（注意突出關鍵句：平面內的兩條相交直線）.

（3）抽象概括，形成定理.

問題4 ①將圖6的折紙模型抽象成圖7①所示的圖形，那么直線l與平面α垂直的條件是什么？②將圖7①中的兩條相交直線m，n的位置改成圖7②所示的位置，仍滿足l與m，n垂直，則直線l還與平面α垂直嗎？根據以上分析，請你敘述直線與平面垂直的判定定理，并結合圖7用符號表示.

設計意圖 鼓勵學生嘗試用文字、圖形、符號三種數學語言表述直線與平面垂直的判定定理，培養學生的數學語言交流能力，發展其數學抽象素養.

（4）反思建構，深化理解.

問題5 直線與平面垂直的判定定理與直線與平面互相垂直的定義相比較，具有什么優越性？

設計意圖 引導學生感悟判定定理“將空間問題轉化為平面問題”“將線面垂直轉化為線線垂直”“將無限轉化為有限”的數學思想.

問題6 請大家回答問題1中的安裝旗桿的原理. 為什么必須保持兩條繩子的下端在地面上的兩點與旗桿的底端不共線？

設計意圖 回扣情境，用學到的數學知識解釋實際生活中的現象，增強學生應用數學的意識，深化學生對直線與平面垂直的判定定理的理解.

上述微型探究，引入了生活情境、折紙活動、問題串，學生經過觀察發現、歸納猜想、分析綜合、抽象概括等思維活動，完成由感性認識上升為理性認識的思維抽象過程，有效發展了直觀想象與數學抽象等核心素養. 根據史寧中教授的研究，數學抽象按程度不同可分為三個階段：簡約階段、符號階段、普適階段. 本案例先將復雜的線面垂直判定問題簡潔化，抓住問題的本質特征，以實際生活例子和有趣的折紙活動，啟發學生直觀感知并形成猜想，完成簡約階段的抽象過程；接著對折紙活動得到的認識進行反思，依托逐步深入的問題系列，創設有利于學生發現結果的探究氛圍，使學生不斷純化結論，形成判定定理，完成符號階段的抽象過程；最后回扣情境，用線面垂直的判定定理解釋旗桿安裝的原理，完成普適階段的抽象過程.

在概念、定理等知識應用過程中精心設計微型探究，促進學生深度學習，發展邏輯推理與數學運算等核心素養

數學概念和定理有著豐富的內涵與外延，其形成和應用是一個循序漸進、逐步深化的過程. 因此，在經歷概念、定理的形成過程后，還要進行有針對性的實際應用以及適當拓展才能進一步深化學生對它們的理解. 在概念、定理等知識的應用過程中精心設計微型探究，深入挖掘數學思想方法，使學生在應用概念、定理解決問題的過程中進行反思與再建構，可促進學生深度學習，進一步完善知識結構，提升數學素養.

案例3 空間角的計算.

（1）回歸概念，把握本質.

問題1 請同學們回顧并辨析兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角以及二面角的概念，敘述這三種角的計算方法.

設計意圖 對空間角的概念進行回顧并辨析，弄清疑點、易錯點，厘清計算思路.

（2）遷移應用，深化理解.

問題2 在正方體ABCD-A′B′C′D′中，①求下列異面直線所成的角的大小：CD′和BC′；AC和B′D. ②求下列直線和平面所成的角的大?。篋′C和平面BCC′B′；D′C和平面A′B′CD. ③求下列二面角的余弦值：二面角A′-BC-D；二面角A′－BD－A.

設計意圖 空間角的計算要遵循“一‘作（利用平行轉化或輔助線作出相應的角）”“二‘證（根據空間角的概念，利用立體幾何中的判定定理、性質定理證明所作的角即為相應空間角的平面角）”“三‘算（利用解三角形的知識或相關的平面幾何知識計算求解）”的步驟. 通過設計簡單的三種空間角的計算問題，進一步鞏固學生對空間角的認識.

（3）拓展訓練，深度學習.

簡析 如圖9②所示，過A作AF⊥PB交PB于F，連接EF. （一“作”）

由已知可證AE⊥平面PBC，故AE⊥PB. 又AF⊥PB，故PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF，故∠AFE是二面角A－PB－C的平面角. （二“證”）

變式題：若H在線段PB上運動，求AH與平面PBC所成最大角的正弦值. 結合問題3，有什么發現？

設計意圖 二面角是高中數學十大難點概念之一［2］. 除定義法外，還能用“三垂線法”作二面角的平面角求解（有時更方便，如問題3）. 在解題后通過變式拓展，啟發學生深入探索空間角的內隱規律（比如，在二面角的一個平面內的任意一條直線與另一個平面所成的角，最大等于該二面角的大小），把握空間角問題的本質，進一步感悟求解空間角問題的基本策略，體會立體幾何動點問題的處理方法，熟悉數形結合思想方法的應用，實現數學不同板塊知識的融會貫通.

上述關于空間角概念應用的微型探究，由易到難，由靜到動，層層遞進，凸顯概念、定理在解題中的基本作用. 突出本質，注重探究，構建空間角問題“一‘作”“二‘證”“三‘算”的基本求解策略，通過變式探究，有效訓練學生的基本知識與基本技能，并適度拓展學生思維的深度和廣度，在學生想圖、畫圖及用圖的過程中發展直觀想象、數學抽象、邏輯推理以及數學運算等核心素養.

設計微型探究教學時，教師首先要樹立“為理解而教”的思想，把學生的理解視為重要關注點，在概念、定理的教學過程中自然滲透數學思想方法，強調數學本質，適當融入數學文化，并深入挖掘概念、定理等數學知識的教育價值，促使學生深度學習的發生［3］.

基于核心素養的微型探究教學在理解學生、理解數學、理解教學的多重視角上開展，為學生思維能力的發展營造良好互動的氛圍. 返璞歸真、凸顯本質、以小見大、見微知著，有效突破教學重難點，解決疑點和易錯點，使學生深刻理解數學知識，促進學生能力與素養和諧發展.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 阮曉明，王琴. 高中數學十大難點概念的調查研究［J］. 數學教育學報，2012，22（05）：29-33.

［3］ 李鋒. 注重課堂學習評價 發展數學核心素養——以一節微專題復習課的教學為例［J］.中國數學教育，2022（20）：16-20+28.

基金項目：2020年度福建省基礎教育課程教學研究課題“指數函數與對數函數課堂學習評價的實踐研究”（MJYKT2020-032）.

作者簡介：李鋒（1974—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教育與教學研究工作.