高中數學教學中逆向思維的培養路徑

連秋喬

摘 要：數學是一個特別注重學生思維能力與思維邏輯的學科，學生在學習數學知識和思考數學問題時必須時刻保持清晰的頭腦，將對現實問題的思考與對數學定理的學習融合到一起，順著既定或未定的思維鏈條來展開整體視角下的解讀與分析，才能夠真正實現數學知識的內化與遷移。因此，有關思維的培養和訓練永遠是數學學科教學中十分重要的一個模塊，尤其是在高中階段的數學教學中，高中生雖然已經形成了相對成熟的思維認知體系，但其思維能力還沒有得到完全開發，本文就圍繞高中數學教學中逆向思維的培養來展開分析，在簡單介紹逆向思維融入高中數學的定義及其對教學的價值以后，綜合學生實際學習情況與學習需求提出一些具體的策略，以求能夠從思維鍛煉和培養出發為學生提供更加全面的學習指導，讓學生收獲知識、能力、思維等多個層面的發展與提升。

關鍵詞：高中數學；逆向思維；培養路徑

進入新時代以后，教師的教育就不再止于教材中知識的教學，還包含對學生思維的調動與開發，數學學科核心素養中包含的“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析”都是學生在學習數學過程中需要建立的基礎數學思維，而對學生數學逆向思維的針對性培養則更能幫助學生明確數學知識的應用路徑，讓學生真正掌握靈活應用所學數學知識思考與解決現實數學問題的能力。站在核心素養的教育視域下，教師應當從實際出發，結合課標內容與教學經驗來對高中數學教學進行更深層次的研究與探討，有意識地對學生未來的成長和發展做出新的思考，探尋解決學生思維能力發展與知識水平提升不匹配這一現實問題的有效路徑。有關逆向思維的培養是高中數學教學中教師尤其需要關注并完成的任務，而在此之前教師還需要對數學逆向思維展開更加全面且細致的研究。

一、數學逆向思維概述

顧名思義，逆向思維實際上就是一種反過來思考的思維方式，即從相反的視角出發對平時司空見慣或已成定論的事物、觀念等展開新的思考，“司馬光砸缸”這一經典寓言故事中的“把缸砸破，讓水離人”就是逆向思維的一種體現與應用，在某些正向思維容易遇到瓶頸或受到阻礙的特殊情況下，對逆向思維的合理運用就能夠有效且高效地解決問題。普遍性、批判性和新穎性是逆向思維的三大特點，反轉型逆向思維法、轉換型逆向思維法、缺點逆向思維法是逆向思維的三大類型，正向思維與逆向思維一同組成了線性思維，為人類向一個領域延伸的深度思考活動提供了理論支持和方向指引，高中數學教學中對學生逆向思維的培養滿足了培養學生多種數學思維的需求，也為提升學生數學學習效率和效果提供了助力。

（一）逆向思維融入高中數學教學的定義

數學是一門研究數量、結構、變化、空間及信息等概念的學科，其知識概念和定理除了具有很強的抽象性與理論性以外，還呈現出了一種雙向、互通的趨勢，在知識難度更高、知識復雜性更強的高中階段尤為明顯。將逆向思維融入高中數學教學的基礎就是數學中存在著的各種涉及“互為”的關系概念，如“互為相反數”等，而在理解“互為”一詞的概念和定義時，教師就需要結合雙向思維來引導學生從多個不同的角度出發展開思考，借數學體系中的一些相反或相對的概念來幫助學生實現思維方式的轉化，這一方面是為了借正逆兩個方向上的定義來加深學生的數學理解，另一方面是為了打破學生思維的定式與局限，進一步培養學生全面思考的能力。

（二）逆向思維培養對高中數學教學的價值

1.開發學生智力

正向思維是學生在學習數學知識和解決數學問題時常用的思維形式，通過已知的條件來進行推導和求證，以得到正確的結論和計算出準確的結果，實際上這種正向思維方式也確實能夠解決大部分數學題目和大部分現實問題。但在長期的正向思考慣性下，學生的思維方式會變得非常單一，進而在完成某一個層次的提升和突破以后出現智力開發的瓶頸，在遇到正向思維不太能快速解決的問題時陷入思維怪圈，浪費大量的時間與精力，而高中數學教學中對學生逆向思維的培養更有益于扭轉學生的思維方式，為學生智力的開發提供更大的助力。

2.激發學生興趣

興趣是學生自覺參與學習活動最大也最有用的動力，雖然這種動力會隨著年級和年齡的增長而逐步降低存在感，但學生學習興趣是否被激發及學生學習興趣被激發到了什么程度仍然是能夠決定學生實際學習效果的關鍵，順向的思維方式容易讓學生產生疲勞，反方向的逆向思維則更加新穎，能為學生帶來一種眼前一亮的感覺，進而達到激發學生興趣與主觀能動性的目的。實際上教師也可以通過對學生逆向思維的培養來鍛煉學生的觀察能力，為學生的數學學習和數學解題提供新的靈感。

3.提升學生創造力

相較于順向或者說正向的思維方式，逆向思維的創造性更強，與常規視角相反的思維方向往往更容易發現新的規律或新的事物，因而在順向思維與逆向思維的融合背景下，學生對數學概念、定理和問題的思考是更加開闊且更具有創造性的，這對學生創新意識與創造能力的提升來說具有極為重要的意義。

二、高中數學教學中逆向思維的培養路徑

數學是一門注重于理論學習和公式運用的學科，有著很強的應用性和實操性，也只有落實于實際問題思考與解決的實踐活動才能為學生能力與思維的發展提供實質上的幫助。高中階段的數學知識有著較強的復雜性，教師教學和學生學習起來的難度較高，正向思維邏輯下對現實數學問題的思考與解讀也容易遇到阻礙，尤其是在面對一些已有結論的事物或相對成熟的觀點時，學生常常陷入不明所以的尷尬境地，由傳統思維帶來的刻板印象更是可能對學生的數學學習和數學思考起到反作用。對此，教師需要在不脫離教材內容與課程標準的前提條件下，突破傳統思維的上限與局限，站在與傳統思維模式相反的視角下篩選教學內容和設計教學活動，引導學生打破經驗和習慣帶來的思考壁壘，為學生提供更多逆向思考的鍛煉機會，助力學生數學核心素養與綜合素質的發展與提升。

（一）基于數學概念的對比來生成逆向思維

概念教學是高中數學基礎教學的組成部分，主要教學的是數學課程中的基礎理論知識，而對這些基礎理論知識的學習與理解往往也是學生深層次思考的前提與基礎，同時也因為教師長期以來在概念教學環節中采用的都是填鴨式的灌輸教學方式，所以概念教學也是學生形成刻板思維與定式思維的主要誘因，對此教師須得本著一邊“疏”，一邊“通”的思維理念，從數學概念出發，借由對比式的教學來生成學生的逆向思維[1]。

以人教A版高中數學必修一中的函數教學為例，函數是數學學科中十分重要的一個教學模塊，學生需要學習各種不同函數的概念、性質、模型與應用，高中之前的數學教學中側重于“正函數”的教學，進入高中以后學生便要開始接觸到有關“反函數”的內容。而函數正、反概念的對比教學也是教師展開對學生逆向思維培養的切入點之一，對此教師可以在函數為主的教學活動中為學生設置諸如“所有函數都有反函數嗎？”“互為反函數的兩個函數在定義域與值域上體現出了什么樣的關系？”一類的探討課題，引導學生從自身原有的認知出發，結合正、反函數的圖像對比來進行多角度的思考，嘗試利用逆向思維來推導反函數的定義與性質。而在這種自主進行且難度遞增的逆向探討與逆向思考中，學生幾乎不受原有思維邏輯與思維定式的影響，思維品質與問題解決能力也能夠得到更大的提升。

（二）基于數學定理的逆推來培養逆向思維

在數學知識領域中，概念主要指的是反映數學事物本質屬性的思維產物，相對來說更加抽象，而定理主要指的是可以通過邏輯推理推導或驗證的公理依據，相對來說更加客觀。具體而言，定理指的多是基于既有命題證明出來的命題，而證明定理也可以說是數學的中心活動，基于數學定理的逆推是數學逆向思維的一種體現和鍛煉方式，因此教師也可以從數學定理出發，借由逆推式的教學來培養學生的逆向思維[2]。

以人教A版高中數學必修二中正弦定理與余弦定理的互變為例，正弦定理和余弦定理都是三角形中十分重要的定理，也是解三角形類數學問題中十分重要的切入點和突破口。而在實際的教學活動中，教師在帶領學生完成正弦變余弦的轉化以后，可以將余弦變正弦的轉化作為逆向思維的一個逆推任務布置給學生，要求學生先思考“余弦是否可以通過某種方式再轉化為正弦”，然后再嘗試結合課堂上所學的知識來驗證自己思考的結果。

（三）基于數學問題的代入來發展逆向思維

在高中數學課堂教學的實操解題環節，以果溯因和反向代入是培養和鍛煉學生逆向思維的兩種有效途徑，基于做題是提升學生數學運算能力和數學解題能力的主要路徑這一基礎認知，教師有必要將對學生思維的鍛煉和提升落實到實際的解題過程中，除了在講解習題的時候讓學生將計算出來的答案代入題目中進行反向驗證以外，對于“無法計算出結果”或“結果驗證不正確”這兩種情況，教師還需要引導學生學會在反向代入題干元素或轉化題干條件以后再進行求解與求證[3]。

以“已知，，，試證明，，是否成立”這一數學問題為例，學生在正向思維導向下的解題在很多時候并不能夠保證“，，”的結論成立或不成立，解題步驟的煩瑣和無序還容易讓學生陷入思維誤區，將簡單的問題變得復雜，將復雜的問題變得抽象，影響解題效率和準確率。而在逆向思維導向下，學生可以先假設、、其中一個不大于零，如“≤0，>0，>0”的結論成立，然后將其轉化為題干條件，代入問題反證“，，”這三個結論是否成立，如果學生得出的結論與問題條件相同，那么就證明原結論成立，反之如果學生得出的結論與問題條件相反，那么就證明原結論不成立。數學概念與定理本身的抽象性決定了數學問題的抽象性，學生在解題時需要站在多個不同的角度進行思考，以避免進入死胡同。

（四）基于數學公式的逆用來鞏固逆向思維

從某種意義上講，逆向思維可以被看作是一種思維的發散，但實際上又與常規意義下的發散思維存在一定的差異，發散思維指的是大腦在思考時呈現出來的一種擴散狀態的思維模式，而逆向思維本質上還是一種呈線性狀態的思維模式，是反視角下對思維深度的延伸而非對思維廣度的拓展。基于此，高中數學教師在設計和開展教學活動中還可以從數學公式出發，通過對數學公式的逆用來刺激和鞏固學生的逆向思維。

以人教A版必修第一冊中第五章《三角函數》為例，三角函數雖然在三角形和圓等幾何圖形性質的研究中能夠起到重要作用，但其在數學教學體系中通常會被歸類到代數模塊中，圍繞著“、、、、、”，三角函數可以被衍生出十組誘導公式，而教師在教學這一部分內容時就可以基于三角公式函數的逆用來鍛煉和鞏固學生逆向思維。如在講授“已知，求的值”這一問題時，教師就可以引導學生通過對原公式的逆用來計算結果，即=+

1-=-，然后借的值來推算和的值，最后將推算出的值再代入公式中進行計算，得出更為準確的結果。課堂上基于公式逆用的運算鍛煉不僅有助于深化學生對公式的理解，還有助于養成學生靈活逆用公式的意識和鍛煉學生靈活運用公式的能力[4]。

（五）基于數學結果的反證來延伸逆向思維

在高中數學課堂上的逆向思維訓練中，對數學結果的反證可以說是學生最容易理解也被教師最廣泛應用的一種思維訓練方式，尤其是在高中“幾何”模塊的數學知識教學中，立體幾何領域中存在著大量利用正向思維解起來十分麻煩，而利用反向思維解起來卻十分簡單的問題，反方向思考可以在很大程度上降低學生理解與解答立體幾何相關題目的難度，這一層面上針對學生逆向思維的訓練與延伸也可以說是高中數學立體幾何教學的剛需。

以人教A版必修第二冊第八章《立體幾何初步》為例，教材中針對立體幾何圖形中點、線、面位置關系的證明設置了大量的例題，借由結合例題來進行的推論幫助學生認識和理解幾何相關的概念、定理和解題方法。而學生在解題過程中十分容易出現只考慮一種情況或遺漏某一種情況的問題，導致最終得出的結果或結論不夠全面與準確，這時候教師就可以引導學生在得出結果或結論以后反推公式進行驗證，讓學生從結果出發去尋找解題過程中可能存在的問題，幫助學生建立新的數學解題思路。除此以外，教師還可以通過舉反例的方式來延伸學生的逆向思維，在講解例題時要求學生基于既定的命題來舉出一個新的條件來否定該命題，引導學生自覺進行多視角的思考。

結束語

綜上所述，本文以“逆向思維”為主要探討對象，借高中數學課程的課堂教學展開對“如何培養學生逆向思維”這一問題的思考，從逆向思維之于數學的重要性和作用價值出發，分別圍繞著數學概念、數學定理、數學問題、數學公式、數學結果等多個數學元素對高中數學教師教學活動的設計與開展提出了一些建議。實際上，針對學生數學逆向思維的鍛煉與培養符合新時代、新課標背景下社會對教育人才培養提出的要求，也更能滿足如今社會發展和學生成長的實際需求，為高素質實用型人才的養成提供更大的助力，而教師在此過程中需要借由對學生逆向思維的培養來同步達成兩個教育目標，一是拓寬學生數學解題的思路，二是突破學生思維發展的上限，為學生未來的成長和數學課程未來的發展奠定良好的基礎。

參考文獻

[1]段紀飛.核心素養視域下高中數學教學中學生逆向思維的培養策略[J].數理天地（高中版），2022（23）：52-54.

[2]朱函潁.論高中數學教學中學生的逆向思維培養[J].文理導航，2021（20）：9-10.

[3]緱艷，鄧國軍.高中數學課堂逆向思維教學策略探究[J].讀寫算，2021（16）：127-128.

[4]田建輝.高中數學教學應如何培養學生的逆向思維[J].家長，2020（27）：22-23.