以思啟思 學習概念 提升素養

［摘? 要］ 在小學數學概念教學中，教師要重視新概念的認知根源——前概念。在教學中教師要適時結合數學學科本質和兒童思維水平，妙用數形結合、喚醒學生抽象經驗、提升分類理性等數學思想方法，引導學生進行概念學習，有效轉化“前概念”，提升學生數學核心素養。

［關鍵詞］ 以思啟思；前概念；數學核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確了數學教學應以培養學生核心素養為統領。義務教育階段學生的數學核心素養植根于數學學科的特點，與數學思想方法密切相關。學生總是帶著“前概念”來到課堂，對新概念的學習常常會基于“前概念”的理解。核心素養導向的背景下，教師應將數學思想方法融入學生的學習過程，以思啟思，推進學生的學習進階，提升學生的數學素養。筆者以“數與代數”的教學為例，以概念教學為重點，談談具體的做法。

一、妙用數形結合，探索概念

數形結合就是在研究數學問題時，由數思形，見形思數。數形結合是學生思考數學問題時常用的數學思想方法。小學生的邏輯思維能力比較弱，因此，教材在編排時常常采用數形結合的方式予以呈現。在教學實踐中，數形結合方法是教師幫助學生修正“前概念”認知的常用利器，能很好地培養學生幾何直觀的意識和習慣。

在“因數和倍數”教學中，不少教材采用矩形排列的實物圖或方格圖，讓學生列乘法算式來揭示因數和倍數的概念，這種矩形圖在一定程度上能幫助學生理解概念。不過，筆者在學生預習后，與學生的交談中發現這樣的數形結合并未消除學生頭腦中的“前概念”造成的困惑。比如，同樣是“倍”，過去叫“倍”，現在為什么叫作“倍數”？同樣是乘法，過去叫作“因數”和“積”，現在為什么叫作“因數”和“倍數”？學生們尤其困惑的是過去的因數可以是小數、分數，現在為什么只限于自然數？

“因數和倍數”單元是數論中最基礎的部分，它們的產生源于數的內部發展，“因數和倍數”的學習意味著學生將再次走進“數的認識”。在以前的學習中，學生對自然數已經有了深刻的理解：即“1”是組成自然數的最基本的元素。而從本單元開始，自然數將基于新的運算（乘法）和新的構成元素（因數）進行重構，其中素因數是最基本的新元素，這樣的重構意味著更高層次的抽象。

為了幫助學生實現這樣的抽象，教材采用了數形結合的思想方法。不過筆者在教學時進行了適當的選擇和改進：在實物圖和方格圖中選用方格圖；在呈現矩形排列的方格圖之前呈現學生十分熟悉的十進制記數法方格圖，即呈現10和2的組合。接著，筆者引導學生思考：12個小方格還可以怎么擺？你能想到多少種不同的擺法？

不少學生很快有了想法，自主重構出3種不同的矩形圖：即排列成一行（1個12）、兩行（2個6）和三行（3個4），并借助乘法自主探索出了新概念。

相較于實物圖，矩形方格圖更貼近學生熟悉的“數的認識”場景。在矩形圖之前加入一個圖形“組織者”——同數不同形的十進制方格圖，便于教師引導學生打破舊的數結構，構建新的數結構。巧妙的數形結合方法讓學生的“前概念”困惑得到清晰修正：“數的認識”背景下的“因數和倍數”，本質上不是學生以前學過的乘法算式，也不是以前所比較的倍數關系，而是自然數重構的新元素。教師精巧的教學設計讓學生感受到數形結合的魅力和積淀了幾何直觀的素養。

二、喚醒抽象經驗，理解概念

數學最本質的特征就是抽象。抽象是對同類事物抽取其共同的本質屬性或特征、舍棄非本質屬性或特征的思想方法，抽象是形成數學概念的關鍵。教學中教師讓學生適度運用抽象思維，有利于“前概念”的修正，更有利于培育學生理性的數學素養。

在“分數的意義”教學中，對分數單位的教學常常被教師忽略，但這卻是學生學習的難點。筆者在課前調研中發現不少學生對分數單位的理解常常存在錯誤。比如分數5/8，有些學生認為分數單位是8，有5個這樣的單位；有些學生認為分數單位是1/8，有5個這樣的單位。這個學習難點并沒有得到高度重視，教師一般根據教材的編排，在歸納得出分數的意義后簡單化處理，直接揭示分數單位的定義。筆者在調研學生的后續學習時發現不少學生雖能說出分數單位，但并未把它與整數、小數的計數單位關聯起來視為“一家人”。究其原因，教師的簡單告知式教學讓學生缺少了抽象思維的參與。

最新修訂的數學課程標準增加了“計數單位”的概念，這個概念深度揭示了所有“數與運算”的本質一致性。分數單位的學習對分數的意義以及核心概念“計數單位”的學習至關重要。因此，筆者曾做過這樣的嘗試：讓學生聯系已學過的整數、小數的計數單位，思考分數是否有計數單位。筆者發現只有極少數學生對計數單位的認識相對準確，絕大多數學生仍然不明所以。如此看來，依靠從理性到理性的簡單化抽象教學，學生的“前概念”難以得到徹底的修正與轉化。

面對份數定義背景下帶有分割線的直觀模型——所分一物中的1份、所分計量單位中的1份、所分多個物體組成的整體中的1份等，在教學中筆者嘗試將學生拉回熟悉的“數數”活動中：你已經會數數了，現在你能數一數圖片上的這些分數嗎？

面對筆者的提問，不少學生愣了一會兒后，都激動地舉起了小手。在學生們磕磕絆絆的相互啟發中，很多學生都順利地從一個一個地數過渡到一份一份地“數”。“數”過之后，學生們會發現：“違背常理”的分數也是可以“數”的！分數跟整數、小數一樣也是有單位的！“單位1”被平均分成了幾份，分數單位就是幾分之一。

從分數定義直接揭示分數單位，這是從一般到特殊的強抽象，容易導致學生將分數單位窄化成一種特殊的分數，從而偏離了“單位”的本質。從整數、小數的單位遷移到分數單位，進而抽象到“計數單位”，這是從特殊到一般的弱抽象。這樣的弱抽象雖然也抵達數學本質，但不容易被學生感知，這種簡單告知、強拉硬拽式的教學難以達成教學目標。

筆者嘗試從肢體性的“數數”活動出發，喚醒了學生在“數的認識”學習中所經歷的抽象活動及其經驗，讓學生在分數單位的學習中經歷了“具象—表象—抽象”的過程，讓學生能夠清晰建立分數單位的認知，讓學生能夠領悟核心概念——“計數單位”。這種對抽象經驗的反復運用和拓展深化，能夠讓學生膚淺或不正確的“眼光”得到自主修正，促進學生思維走向深邃睿智。

三、提升分類理性，意會概念

分類是根據對象的相同點和差異點將對象區分為不同種類的思想方法。分類有現象分類和本質分類的區別，現象分類依據的是外部特征或外部聯系，而本質分類依據的是本質特征或內部聯系。分類是認識事物的基本方法。基于數學的學科特點，教師在數學教學中要努力應用本質分類的思想方法，推動學生轉化“前概念”，建立新概念，感悟概念表層下隱含的算法、模型等深層意蘊。

在“認識方程”教學中常常能看到教師應用分類思想：出示天平，讓學生寫出大量式子，包括等式和不等式、含有未知數和不含有未知數的式子。接著，大多數教師會引導學生進行多層次的分類：先分成等式與不等式，再將等式分為含有未知數和不含有未知數兩類。然后，教師在此基礎上揭示方程的定義：含有未知數的等式叫作方程。不過，在隨后的辨析練習中筆者發現學生被字母、符號等非本質的因素困擾，導致辨析練習的正確率不高。

其實在“認識方程”學習時，學生對方程并非一無所知。筆者在課前對學生的訪談中發現：學生判斷方程的依據主要是看式子中是否含有字母或符號，認為只要是含有字母或符號的式子，不管是否為等式都歸入方程。經過上述多層次的分類比較活動后，筆者發現非本質的字母和符號對學生來說是一個強刺激。這讓不少教師倍感困惑：為什么學生經歷了方程的兩級分類學習后，方程的本質內涵仍未被學生掌握？

“含有未知數的等式”只是字面上的說法，并非方程的本質含義。中國古代數學文化更強調“求未知數”的算法價值。張奠宙教授曾提出基于價值視角的方程定義——方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系。如此看來，常規性的兩級分類只是揭示了方程外在形式上的特點，并未彰顯方程的本質。方程的定義相對復雜，小學生面對的簡易方程難以體現必要性，最新的課程標準已經將“方程”的學習移入第四學段。不過，面對新老課程兩年的過渡期，教師該如何作為？

在“認識方程”的教學中，筆者基于“求未知數”的算法思想進行了相關教學探究。

在學生根據天平寫出多個式子后，筆者引導學生依據能否求出未知數將上面的式子分為兩類——能求出未知數的和不能求出未知數的式子。分類的標準直指本質后，可以看到分類活動的教學變得輕松。通過這樣的分類活動，讓學生意識到能求出未知數的式子有兩個特點：一是要含有未知數，這些未知數一般處于待求條件的位置；二是要為等式，如果不是等式，就不能確定這些未知數的數值，而只能確定一個范圍。借助這樣的分類活動，學生能自主歸納出方程的字面定義，并且在后續的辨析練習中表現良好：對似是而非的——含有字母的式子有了更敏銳的感知力；對似非而是的——過去學習中用圖形（如括號、方框等）表示未知數的式子也能初步體會方程的含義；對有爭議的算術化方程也能給出自己合理的解釋等。

基于本質的分類活動，不僅層級減少了、效率提高了，還讓學生體會到方程這種新模型、新算法的魅力，自主消除了很多錯誤理解。雖說還不能讓學生全面理解方程的本質內涵，但筆者能從學生的眼中看到他們對這種獨特的模型充滿了好奇和期待。

總之，落實《義務教育數學課程標準（2022年版）》的相關要求需要教師把“學”的諸多因素充分考慮進來。在數學概念教學中，教師需要探尋學生學習新概念的認知根源——“前概念”。數學概念教學中教師對數學思想方法的及時應用，能引導學生素樸的認知根源向上生長。教師唯有瞄準數學學科本質和學生數學前概念的精巧化、創新性應用，才能推進學生的學習進階，達成培養學生核心素養的目標。

作者簡介：朱潔芬（1966—），本科學歷，教育碩士，中小學高級教師，江蘇省小學數學特級教師。