提升高中數學解題能力的有效策略

朱小坤

摘?要：文章對高中數學解題教學中的問題進行了分析，并從四個方面對如何提升學生的解題能力進行了闡述：閱讀題目內容，掌握解題條件；開展變式訓練，拓寬解題思維；講述解題思想，掌握解題方法；做好錯題整理，反思解題過程，最后對提升解題能力的效果加以總結，力求給廣大教師以教學啟發，從多個方面考慮培養學生解題能力的措施，助力學生的數學綜合能力得到強化，數學教學的育人價值得以呈現，為社會培養綜合型人才.

關鍵詞：高中數學；解題能力；高中生；數學教學

《普通高中數學課程標準（2022年版）》中強調教學過程更要注重學生數學思想和數學思維方式的指導，而解題教學是學生數學思維拓展的重要渠道之一.然而一些學生對數學題目的理解存在問題，且邏輯思維、舉一反三能力以及空間想象能力存在一定的不足，解題方法欠缺，導致學生在解題的過程中存在困難，解題能力得不到提升，失去了數學學習的信心.為了解決這一問題，教師在解題教學時要注意對學生的薄弱環節進行分析，并改善解題教學的方法，引導學生對題目進行理解，并樹立正確的解題思想，掌握解題方法，最后在反思和錯題整理的過程中提升自身的解題技能和效率，樹立數學學習的信心.接下來，筆者將對自己在解題教學中采用的策略進行一一介紹，并對其中的精髓進行闡述，希望能夠為廣大數學教師提供一定的教學啟發，讓更多的學生高效解題，拓展學生的數學思維.

1?學生解題中出現的問題

1.1?題目理解易錯

縱觀高中生在作答數學題目時常常因為理解能力差，出現審題不嚴、讀題不清的問題，所以給出了錯誤的答案.再者，學生在題目的理解過程中由于忽視隱含的條件，因此也會作答錯誤，無法給出正確的答案.教師在解題教學時需要幫助學生對題目進行理解，讓學生能夠在理解的基礎上進行作答，以此提高解題正確率.例如，設A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}，若A∩B=B，求實數a組成的集合的子集有多少個？學生在作答這一題目時容易忽視隱含的條件，忽視空集是任何非空集合的子集，所以在求解滿足條件a值時會出現漏解的現象.

1.2?解題思維狹隘

很多學生在解題時思維受限，所以在解答習題時容易急躁，無法進行解答，最終選擇了不利于作答的方法導致作答出現錯誤，原因在于教師在平時教學中缺乏舉一反三的變式訓練，導致學生的思維狹隘，錯誤百出.例如題目：函數f（x）=log₂^2x-1/2x+1（x＜-1/2或x＞1/2）的反函數為f^-1（x），證明f^-1（x）是奇函數且在定義域上是增函數.由于學生們的思維狹隘，沒有考慮到原函數與反函數之間單調性與奇偶性的關系，因此在解答題目時出現了過程繁瑣的問題，再加上自己的粗心導致答案錯誤.

1.3?解題方法單一

數學習題的訓練是為了鍛煉學生的思維，讓學生將掌握的知識進行鞏固和應用，并用正確的方法中將問題解決，從而提高解題的正確率.然而學生們的方法單一，且找不到高效、合理的方法，導致解題的正確率低.例如題目：已知數列{an}是等差數列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12.（1） 求數列{an}的通項公式；（2）令b_n=a_nx_n（x∈R），求數列{bn}的前n項和公式.學生在作答這一題目時由于未選擇錯項相減法所以解答得不到位，導致答案出現了問題.

1.4?一題多次出錯

錯題是難免出現的，而用心的學生會將錯題進行總結，在反思中做到查漏補缺，不斷地提升自身的解題能力.然而做到這一點的學生并不多，因為缺乏對錯題的反思和回顧，所以同樣的、類似的題目反復出錯，挫敗了學生的解題信心，對學生的成長很不利.例如，很多學生在面對錯題時只是當時修改，并未分析其中的原因，致使在未來遇到同樣的問題時依然出錯，漏洞百出，久而久之失去了學習的信心.

2?提升高中數學解題能力的策略

2.1?閱讀題目內容，掌握解題條件

上文提到學生們在作答習題時由于理解不到位，忽視隱藏的條件導致答案錯誤.所以教師在解題教學時務必從閱讀題目內容出發，幫助學生挖掘隱藏的條件，提高學生的理解能力和分析能力，就題目給出的條件和隱藏的條件進行分析后再梳理解題的思路，提高解題的準確率.最終讓學生在解題的過程中重拾信心，為日后的發展奠定基礎.例如，函數y=1-log₃x的定義域為________.在作答這一題目時，筆者讓學生對題意進行了理解，并對給出的條件進行了分析，結果發現很多學生在解答此題時忽略了題目中函數為復合函數，x＞0這一條件.于是，筆者指出錯誤后讓學生們對題目進行了二次分析，將暗藏的條件進行挖掘，考慮到復合函數u=log3x的定義域為x＞0，而函數y=1-u的定義域為1-u≥0，于是得到：1-log3x≥0

x＞0得到函數y=1-log3x的定義域為（0，3］.這樣學生們就得到了更加正確全面的解答過程.縱觀這一題目，學生們在作答此題時給出錯誤的答案的原因是忽視了隱藏條件，所以筆者就要提醒學生關于這類題目在讀題和理解題時的注意事項，要求學生在多次訓練的過程中養成挖掘隱藏條件的習慣，進而保證答案的準確性和全面性.所以在作答完這一題目后，筆者又給學生展示了以下題目：已知函數f（x）=x2+2x（-2≤x≤1且x∈Z），則f（x）的值域是（??）.

A. ［0，3］

B. {-1，0，3}

C. {0，1，3}

D. ［-1，3］

此類題目是為了考驗學生在分析函數圖像時是否能夠考慮到x∈Z這一條件，是否能夠通過上面的教導而將題意中給的條件考慮全面，最終給出正確的答案.總之，此道題目的練習就是考驗學生在審題過程中，能否有意識地改正自己審題馬虎的行為，在不斷地訓練中提升自己的審題能力和理解能力.

2.2?開展變式訓練，拓寬解題思維

上文提到學生在做題時還經常出現一個問題，因為自己的思維狹隘，所以在作答習題時一旦題目稍作修改就不易作答，思維受限.所以在解題教學中教師要多加開展變式訓練，保證學生不僅能夠將題目吃透，還要對類似的題目以及拓展的習題都能應答，在舉一反三中拓展思維.為了達到以上目的筆者給學生展示了不同的題目：

例1?函數y=1-log3x的定義域為????.

例2?函數y=log12（x2-3x+2）的單調遞減區間為????.

例3?若2lg（x-2y）=lgx+lgy，則yx的值為????.

分析以上習題可以發現，在作答例1時學生需要考慮復合函數的定義域，通過雙面夾擊方可得出正確的答案.而上文提到由于學生們容易忽視x＞0這一條件而出錯，所以為了讓學生能夠在原有的基礎上得到提升，并拓展思維，于是筆者通過變式給出了例2.此題目的作答不僅讓學生要考慮函數的定義域，還要考慮在定義域下函數的單調遞減區間，從而讓學生在考慮復合函數定義域的同時將單調區間也進行分析，在例1的基礎上實現了拓展.而例3則與例1類似，在解答的過程中要考慮x-2y＞0這一隱藏條件.總之變式訓練的開展讓學生在層層遞進中加深對題目的印象，在變式中不斷地拓展思維，從而達到訓練的目的.為了檢驗學生對題目條件的理解程度，筆者還給學生展示了以下題目：

例4?雙曲線4x2-y2+64=0上一點P到它的一個焦點的距離等于1，求點P到另一個焦點的距離.

例5?雙曲線4x2-y2+64=0上一點P到它的一個焦點的距離等于17，求點P到另一個焦點的距離.

通過以上變式訓練的作答讓學生能夠對問題進行深度理解，并在原有的基礎上變式作答，達到觸類旁通的目的.

2.3?講述解題思想，掌握解題方法

解題思想和方法的講解是提高做題效率和準確率的關鍵，很多學生之所以在遇到題目時不知道如何下手，原因在于缺乏基本的方法和思路，因此教師在解題教學中務必給學生講述相關的方法，讓學生在遇到相關的題目時能夠快速地選對方法并進行解答.

例6?已知sinx+siny=13求siny-cos2x的最大值.在作答這類題目時筆者讓學生們將題目中的某個式子或者函數看做一個整體，利用換元法將其代替，將題目中的問題進行化簡，如令t=sinx-23≤t≤1，這樣就可以將復合函數變為以t為自變量的函數，簡化了求解過程.這一方法的講解讓學生在看到類似的三角函數題目時都能想到換元法這一解答技巧，進而提高了解題效率.

例7?求適合下列條件的橢圓的標準方程，兩個焦點的坐標分別為（-2，0），（2，0），并且橢圓經過點52，-32.在解答這類題目時，由于給出的具體坐標滿足標準方程，所以直接采用待定系數法代入方程即可，就能得到準確的答案，減少錯誤的出現.

數學習題的解答方法還有很多，在此不再一一列舉，只要教師在平時將具體的解答方法都能講到，那么學生的做題效率就會提高，且正確率也會提升.所以解題方法的講解是提升學生解題能力的關鍵，教師務必將這一教學內容加以重視.

2.4?做好錯題整理，反思解題過程

學生在作答習題時難免會出錯，但是很少有學生會分析為什么出錯，是馬虎或者粗心，還是解答方法不對，又或是基礎知識沒有掌握牢靠等等.學生應當對于出錯的原因都要進行分析，所以錯題的整理與反思是提升學生解題能力的關鍵，教師在解題教學中要注意指導學生對錯題的分析，并要求學生能夠在錯題本中寫出解題的思路以及自己的不足，從而避免同類錯誤的發生.例如，在作答“已知函數f（x）的定義域為［0，1］，求函數f（x+1）的定義域”這一題目時，很多學生是這樣作答的：由于函數f（x）的定義域為［0，1］，即0≤x≤1，∴1≤x+1≤2，∴f（x+1）的定義域為［1，2］.之后筆者讓學生回憶自己的理解思維和解題過程，分析自己出錯的原因并寫在錯題本上，其中一位學生這樣寫道：由于自己沒有理解和掌握已知原函數定義域求復合函數定義域的方法，所以給出了錯誤的答案.正確的解答過程如下：由于函數f（x）的定義域為［0，1］，即0≤x≤1，∴0≤x+1≤1，∴-1≤x≤0，∴f（x+1）的定義域是［-1，0］.總之，經過這個錯題的分析讓學生能夠做到查漏補缺，能夠找到自己的短板，加以改進和完善后得以提升.

3?提升高中數學解題能力的效果

3.1?學生的數學思維得到拓展

學生在解題教學的指導下，開始反思自己的行為，能夠主動在課堂中做到舉一反三，他們的學習能力和思考能力得到了提升，自己開始對題目進行深度思考，在變式中不斷地拓寬思路，活躍解題思維，從而進一步地提升自己的綜合水平，為強化個人的數學綜合能力奠定基礎.

3.2?學生的學習態度得到轉變

學生在解題教學課堂中開始不斷地對錯題、難題進行整理，邊整理邊回顧自己在初次作答時的思路，之后在糾正中將問題解答.再者，學生們開始關注自己的弱項，如自己的理解能力差，容易忽視題目中暗藏的條件，那么就專門挑選一些這樣的題目進行作答，在不斷地練習中將弱項變為強項.因為自己的方法單一使得解題步驟繁瑣，于是學生們開始搜集多種方法對不同的題目進行解答，如換元法、數形結合法等，做到以高效、合理的方式解題，提升自己的做題速度.總之，學生們在教師的指導下對數學的學習態度得以轉變，主動對數學教學重點進行探究，自身的學習能力得到了提升.

3.3?學生的數學素養得到培養

學生們在解題教學課堂中不斷地參與習題的訓練，在題目的作答中樹立模型意識，學會運用數學模型解決生活中的實際問題，并且在習題的解答中使數學運算能力得到了進一步的提升，學生可以不斷地發展自身的空間思維，將抽象的題意以形象化的方式進行表達，在數形結合的過程中強化自身的數學抽象素養，培養自身的數學核心素養.

綜上所述，高中數學解題教學的開展是提升學生數學綜合能力的關鍵，教師在開展教學活動時務必從學生的角度出發，解決本質問題，讓學生能夠在老師的指引下消除對解題的恐懼，在掌握解題方法的過程中能夠不斷地思考和總結，攻克數學解題這一難關，在不斷地積累和反思中提升自身的解題能力，樹立數學思維，培養數學核心素養.

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