高中數(shù)學(xué)大概念的提取探析

安樂樂 劉媚

摘?要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）提出“課程內(nèi)容聚焦學(xué)科大概念，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)”的理念。大概念是將素養(yǎng)落實(shí)到具體教學(xué)中的“錨點(diǎn)”，大概念提取研究一方面立足于對課程標(biāo)準(zhǔn)的深入理解，另一方面也是基于對大概念教學(xué)所面臨的現(xiàn)實(shí)問題的積極思考。文章嘗試以人教A版必修教材中的“概率”單元為例，通過對課標(biāo)、單元、每節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容的深入分析，從中提取大概念，并對其進(jìn)行簡明論證。希冀為我國基礎(chǔ)教育階段基于大概念的教學(xué)實(shí)踐做出有益探索。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)大概念；大概念提取；概率

大概念起源于國外，20世紀(jì)60年代初，美國著名教育家布魯納（J.S.Bruner）提出的“學(xué)科基本結(jié)構(gòu)”可以認(rèn)為是大概念的起源。布魯納指出：“學(xué)科基本結(jié)構(gòu)是指學(xué)科的基本概念、基本原理及其相互之間的關(guān)聯(lián)性”［1］。隨后，國際學(xué)界諸多研究者沿著這一思想不斷思考和探索，使得有關(guān)“大概念”的理論不斷發(fā)展、完善。通常來說，大概念是指處于重要地位，兼具認(rèn)識論、方法論和價(jià)值論三重意義的概念、觀念或論題。數(shù)學(xué)大概念包括數(shù)學(xué)的核心概念，主要的數(shù)學(xué)思想方法、重要的數(shù)學(xué)技能、解決問題的一般思路、數(shù)學(xué)觀念［2］。根據(jù)大概念提取路徑的現(xiàn)有研究成果，結(jié)合概率單元核心內(nèi)容的實(shí)際情況，本文將選用“自上而下”大概念的四條提取路徑：課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科核心素養(yǎng)、專家思維、概念派生來提取“概率”的大概念［3］。

一、概率單元分析

概率單元在新人教A版必修教材中的內(nèi)容包括：隨機(jī)事件與概率、事件的相互獨(dú)立性、頻率與概率［4］。其單元知識結(jié)構(gòu)如圖1所示。

概率單元的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生加深對隨機(jī)現(xiàn)象的理解與認(rèn)識；體會數(shù)學(xué)中常用的統(tǒng)計(jì)推斷、隨機(jī)、模型化、具體到抽象、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊到一般（歸納和類比）、分類討論等思想方法；形成探究概率的思路，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、單元知識的邏輯梳理

學(xué)生在初中對隨機(jī)事件、試驗(yàn)結(jié)果等可能條件下概率的計(jì)算及用頻率估計(jì)概率已有初步的認(rèn)識。新人教A版必修教材中本單元的知識邏輯如圖1所示。其中隨機(jī)事件與概率的研究路徑如圖2所示：

研究方法：觀察隨機(jī)現(xiàn)象的可能結(jié)果，構(gòu)建試驗(yàn)的樣本空間。根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的意義，抽象得到其是樣本空間的子集。根據(jù)概率的定義，類比函數(shù)的研究過程和方法來構(gòu)建概率的研究路徑，形成研究方法，得到相關(guān)結(jié)論。其中函數(shù)的研究路徑：預(yù)備知識—函數(shù)的事實(shí)—函數(shù)的概念及表示—函數(shù)的性質(zhì)—基本初等函數(shù)。容易發(fā)現(xiàn)，古典概型與函數(shù)中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)地位相當(dāng)，但考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平，為使其在理解概率的概念和性質(zhì)時(shí)有一個(gè)具體實(shí)例支撐，將古典概型提前安排至概率的性質(zhì)之前進(jìn)行研究。

兩個(gè)事件相互獨(dú)立性的研究路徑如圖3所示：

研究方法：一方面，明確積事件AB的意義的基礎(chǔ)上，判定積事件AB發(fā)生的概率與事件A、B發(fā)生概率相關(guān)的必然性。通過分析、尋找試驗(yàn)的共性中得到啟發(fā)，從而引入兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義；另一方面，類比事件A和B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B），研究事件A和B具有怎樣的關(guān)系時(shí)P（AB）=P（A）P（B）。從兩個(gè)事件非常特殊的關(guān)系：互為對立入手，探究兩個(gè)獨(dú)立事件的性質(zhì)。在實(shí)際應(yīng)用中，恰是逆過程，先根據(jù)實(shí)際情境直觀判斷獨(dú)立性，然后用定義簡化積事件概率的計(jì)算。

頻率與概率的研究路徑如圖4所示：

研究方法：從直觀認(rèn)識出發(fā)，通過設(shè)計(jì)重復(fù)試驗(yàn)，并利用計(jì)算機(jī)實(shí)施隨機(jī)模擬，探究頻率的特性及與概率的關(guān)系，從而得到：頻率具有隨機(jī)性、穩(wěn)定性等，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，即可用頻率來估計(jì)概率。最后將此運(yùn)用到實(shí)際需要中。

三、單元大概念的提取

“自上而下”提取的大概念一般較科學(xué)、準(zhǔn)確，在很大程度上也是有章可循的。難點(diǎn)在于根據(jù)實(shí)際情況、適配教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)進(jìn)行細(xì)化或整合。

課程標(biāo)準(zhǔn)是國家課程的重要指導(dǎo)性文件。本單元可從其中提取出如下4個(gè)大概念：

（1）統(tǒng)計(jì)、概率的研究對象分別是數(shù)據(jù)和隨機(jī)現(xiàn)象，數(shù)據(jù)中的隨機(jī)性是聯(lián)系二者的橋梁。

（2）理解“樣本空間”的基礎(chǔ)地位與作用。

（3）重視“古典概”型的特征。

（4）注重“用頻率估計(jì)概率”思想方法的價(jià)值性。

確定其作為本單元的大概念的原因分析如下：

（1）統(tǒng)計(jì)學(xué)正是通過隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)事物的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在此基礎(chǔ)上認(rèn)識、把握客觀規(guī)律；而隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識可從統(tǒng)計(jì)理解（隨機(jī)抽樣、用樣本推斷總體等）角度展開。具體為：①統(tǒng)計(jì)（總體）—概率（樣本空間），統(tǒng)計(jì)中的總體無隨機(jī)性，但若采用隨機(jī)抽樣，則會表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性；②從概率角度體會抽樣方式對總體統(tǒng)計(jì)量的影響；③實(shí)際應(yīng)用中，通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出相應(yīng)的概率模型—利用統(tǒng)計(jì)方法，用頻率驗(yàn)證模型的正確性、科學(xué)性。

（2）引入樣本空間是很有意義的：①可利用集合工具（語言），用數(shù)學(xué)方法研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律；②有利于理解隨機(jī)事件的概念及其關(guān)系與運(yùn)算的意義等。

（3）一方面，實(shí)際問題的解決中了解構(gòu)建概率模型的一般方法，逐步形成模型化思想；另一方面，只有在符合古典概型的兩個(gè)特征下，才能定義其中事件發(fā)生的概率。

（4）實(shí)際問題中確有大量隨機(jī)事件發(fā)生的概率需要利用頻率來估計(jì)，且“用頻率估計(jì)概率”這一思想方法幾乎沒有條件限制，適用范圍更廣。

學(xué)科核心素養(yǎng)是其育人價(jià)值的集中體現(xiàn)。本單元可從其中提取如下兩個(gè)大概念：

（1）實(shí)際問題情境是數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系的來源之一，理想成果的獲得需有效發(fā)揮數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。

（2）不同語言（自然語言與數(shù)學(xué)語言）之間的相互轉(zhuǎn)化是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的重要手段，更是提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要途徑。

確定其作為本單元的大概念的原因分析如下：

（1）用樣本點(diǎn)表示隨機(jī)事件是把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵步驟，在此基礎(chǔ)上才可給出隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)刻畫（樣本空間的子集），進(jìn)而清晰地認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。

（2）運(yùn)用特殊到一般的推理，即歸納、類比推理，其不但有助于得到數(shù)學(xué)結(jié)論，更為重要的是有利于構(gòu)建數(shù)學(xué)體系。具體為：①樣本空間的概念（隨機(jī)試驗(yàn)的抽象）；隨機(jī)事件的概念（實(shí)際問題的抽象）；隨機(jī)試驗(yàn)的本質(zhì)特征（生活實(shí)例共性的抽象概括）；概率模型的建立（具備某些特征的隨機(jī)試驗(yàn)的抽象）；事件的獨(dú)立性（事件發(fā)生互不影響的抽象）。②根據(jù)概率的定義，構(gòu)建概率的研究路徑（函數(shù)—概率）；從事件的關(guān)系和運(yùn)算入手，發(fā)現(xiàn)概率的性質(zhì)（度量—概率）；事件的關(guān)系與運(yùn)算的理解（集合—事件）；運(yùn)用歸納的方式研究概率的性質(zhì)；從特殊試驗(yàn)入手得到頻率的特點(diǎn)的一般性結(jié)論等。

大概念是專家思維方式的反射。本單元可以此提煉出如下兩個(gè)大概念：

（1）對同一問題（對象的概念構(gòu)建）不同個(gè)體會有不同的角度、看法和想法，由直觀描述到數(shù)學(xué)刻畫，是一個(gè)嚴(yán)格化、精確化的過程。

（2）信息技術(shù)變“無窮”為“有窮”，使“不可能”成為“可能”。

確定其作為本單元的大概念的原因分析如下：

（1）數(shù)學(xué)對象的概念、定義通常被視為教學(xué)的重點(diǎn)，其是后續(xù)相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)。就概率單元而言，隨機(jī)事件、事件相互獨(dú)立、概率等的定義均是教學(xué)的重點(diǎn)，某種程度也可以說是教學(xué)難點(diǎn)。而從其直觀意義上升到數(shù)學(xué)刻畫有重大意義。具體為：①隨機(jī)事件的描述性定義：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，同時(shí)將必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件看成是并列的關(guān)系；隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)刻畫：樣本空間的子集，而將前兩者看作是后者的兩個(gè)極端情形。②概率的描述性定義：隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的量度。其無法確定具體隨機(jī)事件的概率。概率的數(shù)學(xué)刻畫根據(jù)實(shí)際的需要不斷發(fā)展：古典概率定義—概率的頻率定義—幾何概率定義—概率的公理化結(jié)構(gòu)。其均有利于確定具體隨機(jī)事件的概率，且逐趨嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)。

（2）依據(jù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)，信息技術(shù)使大量重復(fù)試驗(yàn)成為可能。利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生整數(shù)隨機(jī)數(shù)、模擬某些隨機(jī)試驗(yàn)，不但能提高數(shù)據(jù)處理的效率，而且有利于更好地體會概率的意義。

大概念之間定是具有非平行關(guān)系的，比如關(guān)聯(lián)、派生等。本單元以此提取如下1個(gè)大概念：

2個(gè)事件及2個(gè)事件的關(guān)系是事件關(guān)系研究的主要方向，且2個(gè)同類事件的關(guān)系不一定能夠推廣到2個(gè)同類事件的關(guān)系。其是由“2個(gè)事物及2個(gè)事物之間的關(guān)系是事物關(guān)系研究的主要方向，且2個(gè)同類事物之間的關(guān)系不一定能夠推廣到2個(gè)同類事物的關(guān)系”這一跨學(xué)科大概念派生而來。它是一條高位的大概念，可以用于幾乎各門學(xué)科，而且在實(shí)際生活中也非常適用。

確定其作為本單元的大概念的原因分析如下：首先，數(shù)學(xué)對象關(guān)系的研究有助于宏觀地、更高位的理解、把握數(shù)學(xué)對象。隨機(jī)事件關(guān)系的研究價(jià)值：有助于更好地理解隨機(jī)事件的內(nèi)涵；可以用簡單事件表示復(fù)雜事件，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)用簡單事件的概率推算復(fù)雜事件概率，最終簡化某些復(fù)雜概率的計(jì)算。其次，數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)的研究可從兩方面入手：一方面，從定義出發(fā)研究其自身的性質(zhì)；另一方面，從與其他對象的關(guān)系出發(fā)研究其在關(guān)系、運(yùn)算等中的性質(zhì)。具體為利用集合的知識對2個(gè)事件關(guān)系的研究發(fā)現(xiàn)，其主要存在如下幾種關(guān)系：包含、并事件、交事件、互斥事件、互相對立事件。在概率性質(zhì)的研究過程中，關(guān)注到具有上述關(guān)系的事件的概率的關(guān)系，研究結(jié)論之一：若事件A和B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B）。以其為基礎(chǔ)可得出：若事件A1，A2，……，An兩兩互斥，則P（A1∪A2∪……∪An）=P（A1）+P（A2）+……+P（An）；同時(shí)催生出新問題及與之對應(yīng)的新結(jié)論：事件A和B具有怎樣的關(guān)系時(shí)P（AB）=P（A）P（B），若事件A和B相互獨(dú)立，則P（AB）=P（A）P（B）。但是與上面有所不同，A1，A2，……，An兩兩獨(dú)立的條件下，P（A1A2……An）=P（A1）P（A2）……P（An）卻一般不成立。

綜上所述，筆者先依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)做單元（內(nèi)容、知識邏輯、目標(biāo)）分析，再依照教材編排，分節(jié)逐次分析研究內(nèi)容、研究路徑和方法、思維方法等。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用大概念提取的4條路徑提取得到概率單元的9個(gè)大概念，同時(shí)做了簡明論證。大概念提取是大概念教學(xué)的基礎(chǔ)和前提，本文以期為教育工作者理解、轉(zhuǎn)化并在實(shí)際教學(xué)中科學(xué)有效地提取大概念提供借鑒。

參考文獻(xiàn)：

［1］Bruner?J?S，Lufburrow?R?A.The?Process?of?Education［M］.Harvard?University?Press，1960.

［2］夏繁軍.“數(shù)學(xué)大概念”的提取與論證［J］.基礎(chǔ)教育課程，2022（Z1）：8794.

［3］劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學(xué)構(gòu)型——兼論素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂變革［J］.教育研究，2020，41（06）：6477.

［4］普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

基金資助：寧夏高等學(xué)校“西部一流”學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目（NXYLXK2017B11）；寧夏師范學(xué)院高水平本科教育“新師范”教育專項(xiàng)

作者簡介：安樂樂（1997—?），女，漢族，陜西彬州人，專業(yè)碩士，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。