基于核心素養(yǎng)的初中生解題能力培養(yǎng)研究

李晨

【摘要】數(shù)學(xué)解題能力集中體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力的濃縮.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.文章以此為切入點(diǎn)，以相似三角形中常見(jiàn)題目出發(fā)，從審題、解題等方面展開(kāi)詳細(xì)探究，旨在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“落地生根”.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；解題能力；相似三角形

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，明確了“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的教學(xué)目標(biāo)，旨在促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.解題能力作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，不僅反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握情況，也反映了數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移與應(yīng)用、數(shù)學(xué)思維發(fā)展，以及學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力水平等情況.可以說(shuō)，從學(xué)生的數(shù)學(xué)解題水平即可窺見(jiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)體系中，相似三角形尤為重要，也是考查的重點(diǎn)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了更高的要求.鑒于此，加強(qiáng)相似三角形解題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生解題能力，是提升學(xué)生成績(jī)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要渠道.

一、制約初中生解題能力發(fā)展的主要因素分析

第一，審題能力低下，無(wú)法精準(zhǔn)理解題目含義.審題是解題的第一個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生唯有認(rèn)真審題，理清題目中已知條件和所求結(jié)論的關(guān)系，才能形成明確的解題思路.但在實(shí)踐中，由于一些學(xué)生缺乏教師的正確引導(dǎo)，致使他們?nèi)狈忣}技巧，常常誤認(rèn)為審題等同于閱讀題目，也有部分學(xué)生受態(tài)度的影響，審題中常常出現(xiàn)斷章取義、草草了事等現(xiàn)象.

第二，思維能力薄弱.許多學(xué)生關(guān)于“相似三角形”的學(xué)習(xí)依然停留在表層階段，僅僅掌握了基本的性質(zhì)與定理，至于知識(shí)之間的邏輯關(guān)系、聯(lián)系等依然處于混沌的狀態(tài).這就嚴(yán)重束縛了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，既無(wú)法發(fā)揮思維的靈活性，又制約了思維的深度.在這種情況下，學(xué)生的解題思維也會(huì)更加狹窄，難以應(yīng)對(duì)靈活多變的數(shù)學(xué)題目.

第三，運(yùn)算能力弱，難以精準(zhǔn)解答問(wèn)題.計(jì)算是數(shù)學(xué)解題中的重要組成，尤其是在“相似三角形”問(wèn)題中，存在一定的計(jì)算量，部分學(xué)生在解題時(shí)，由于運(yùn)算能力弱、粗心等，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，進(jìn)而影響解題正確率.

二、核心素養(yǎng)下初中生“相似三角形”解題能力培養(yǎng)路徑

（一）明確題目要求

數(shù)學(xué)解題建立在審題基礎(chǔ)之上，學(xué)生重視審題、掌握必備的審題技巧，才能通過(guò)科學(xué)審題，抓住題目關(guān)鍵點(diǎn)、深挖題目中隱含條件、理清數(shù)量關(guān)系，并由此形成明確的解題思路.鑒于此，面對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的要求，依托“相似三角形”培養(yǎng)學(xué)生解題能力應(yīng)從正確審題開(kāi)始.這就要求教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀題目，并融入一定的數(shù)學(xué)思想，將繁雜的問(wèn)題明朗化、清晰化，以便于學(xué)生在審題中找到解題的切入點(diǎn).

例1 如圖1，點(diǎn)G在平行四邊形ABCD的DC延長(zhǎng)線上，連接AG交BC，BD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求△AGD∽（ ）∽（ ）.

解析 在審本題時(shí)，學(xué)生不僅要分析題目中的已知條件，還應(yīng)關(guān)注公共角∠G，并挖掘其中“邊邊平行”的隱含條件，分析出圖形中的公共角、對(duì)頂角，以及平行線所產(chǎn)生的角關(guān)系：如圖1，因?yàn)锽C∥AD，由此得出∠1=∠2，結(jié)合公共角∠G，根據(jù)相似三角形判定定理得出△AGD∽△EGC；同時(shí)，結(jié)合題目分析，根據(jù)對(duì)頂角相等，得出∠1=∠3，又因?yàn)锳B∥DG，即可得出∠4=∠G，由此根據(jù)相似三角形判定定理得出△EGC∽△EAB，所以△AGD∽△EAB.可以說(shuō)，本題目難度系數(shù)比較低，學(xué)生認(rèn)真審題，深層次挖掘題目中隱含的條件，探尋圖形之間的關(guān)系，即可運(yùn)用相似三角形判定定理進(jìn)行解答.

（二）理清解題思路

在解答“相似三角形”問(wèn)題時(shí)，當(dāng)完成審題之后，學(xué)生還應(yīng)基于題目中已知條件和結(jié)論之間的關(guān)系展開(kāi)分析，并據(jù)此形成明確的解題思路.在實(shí)際解題中，由于一些題目難度系數(shù)高，已知條件和結(jié)論聯(lián)系比較隱蔽，需要經(jīng)過(guò)深入分析方能形成題目的解題思路，并在明確解題思路的引導(dǎo)下，將原本復(fù)雜的題目進(jìn)行分解，使其分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的目標(biāo)，最終通過(guò)小目標(biāo)的逐漸靠攏，完成最終的解答.

（三）多維度分析、靈活解題

1.基于輔助線解答問(wèn)題

在解答“相似三角形”問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常常會(huì)遇見(jiàn)條件不夠的現(xiàn)象，致使解題逐漸陷入困境中.這時(shí)，即可構(gòu)建輔助線，在原有條件的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的條件，以滿足解題需求.

例3 如圖3，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑，求證：AB·AC=AD·AE.

解析 在本題目中，單純依靠題目中現(xiàn)有的條件是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，唯有構(gòu)建輔助線，構(gòu)建出兩個(gè)相似的三角形，以此找到解題的“突破口”：

如圖3，連接BE.

根據(jù)圓周角定理，得∠E=∠ACB.

又AD⊥BC，所以∠ADC=∠ABE=90°，

即△ABE∽△ADC，

所以AD∶AB=AC∶AE，AB·AC=AD·AE.

可見(jiàn)，本題構(gòu)建出一個(gè)與已知三角形相似的新三角形后，借助相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建其邊與邊之間的關(guān)系，最終完成題目的解答.經(jīng)實(shí)踐證明，在解答相似三角形問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以靈活構(gòu)建輔助線，構(gòu)建出一種全新的相似關(guān)系，旨在簡(jiǎn)化解題步驟，提高解題效率.

2.基于“A”字模型解題

“A”字模型是解決相似三角形的基礎(chǔ)模型，主要包含“A”字模型和反“A”型兩種.尤其是在A字模型中，常常需要借助平行線進(jìn)行解題，如果題目中沒(méi)有給出，則需要借助輔助線達(dá)成這一條件.

所以∠EAF=∠MAC，

則∠MAC=∠ABE.

又AB=AC，

則△ABE≌△CAM，即CM∶AB=1∶2，

根據(jù)“X”模型，得△ABD∽△MCD，

則有BD∶DC=2∶1，即BD=2DC.

本題解答思路與例4相同，都是通過(guò)添加必要的輔助線，構(gòu)建出一個(gè)全新的模型，構(gòu)建出相似三角形這一基本條件.不同的是，在本題目中“兩條相交直線被兩條互相平行直線相截”，即可聯(lián)想到“X”字模型，進(jìn)而運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解答問(wèn)題.另外，在實(shí)際解題中，針對(duì)一些復(fù)雜的問(wèn)題，“X”字模型也逐漸變得復(fù)雜，常常出現(xiàn)“A+X”型、“X+X”型等，學(xué)生必須要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行針對(duì)性的分析，才能高效解答題目.

4.基于射影定理解題

在解答相似三角形相關(guān)問(wèn)題時(shí)，如果所求的問(wèn)題是“一條線段長(zhǎng)的平方等于另外兩條線段長(zhǎng)的積”時(shí)，即可選擇射影定理的角度進(jìn)行解答，尤其是當(dāng)三線共線的情況下，應(yīng)優(yōu)先考慮利用了射影定理，將原本毫無(wú)聯(lián)系的幾條線段聯(lián)系起來(lái)，并借助相似三角形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題解答.

在初中平面幾何中，射影定理尤為重要，雖然并未列入教材中，但卻在幾何證明題、計(jì)算中得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是在解答相似三角形問(wèn)題時(shí)，當(dāng)學(xué)生面臨直角三角形時(shí)，應(yīng)首先聯(lián)想到攝影定理，并基于題目中已知條件進(jìn)行靈活解題.

5.基于共邊共角模型解題

共邊共角模型在相似三角形解題中尤為常見(jiàn)，常常是兩個(gè)三角形存在一個(gè)公共角、一條公共邊，還存在一對(duì)相等的角，由此即可判定出兩個(gè)三角形相似.在面對(duì)一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，共邊共角模型常常是解題的“鑰匙”.

本題中借助“共邊共角”模型，迅速打開(kāi)了解題思維.在初中幾何相似三角形解題中，“共邊共角”模型常常被應(yīng)用到綜合性題目中，尤其是在壓軸題目，出現(xiàn)頻率相對(duì)比較高.學(xué)生唯有熟悉該解題模型，并結(jié)合題目中所給出的三角形邊乘積關(guān)系、比例關(guān)系，迅速構(gòu)建模型，找到題目中相似三角形，并由此形成明確的解題思路.

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，解題能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要構(gòu)成，也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的精準(zhǔn)體現(xiàn).因此，初中數(shù)學(xué)教師不僅要重視解題教學(xué)，還應(yīng)根據(jù)不同的知識(shí)點(diǎn)，精心挑選高質(zhì)量的例題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷審題、構(gòu)思解題思路、多角度解題等過(guò)程中，逐漸形成更加嚴(yán)謹(jǐn)、完善的解題思路，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，真正達(dá)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的教學(xué)目標(biāo).

【參考文獻(xiàn)】

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[3]吉婷.心中有型，釜底抽薪———利用模型探究相似三角形中的問(wèn)題[J].初中生世界，2021（Z3）：57-59.