探索壓軸題創新解法的教學設計

【摘 要】 數學解題教學是數學教學中的一項非常重要的內容.最為理想的數學解題教學應該實現這樣的結果：對于探究解題思路的某些非常疑難的環節，學生萌生操作行為指令的數學觀念，雖然是在教師的啟發或鼓勵下實現的，但是教師需要通過教學技巧，促使學生認為教師對于解題思路的發現沒有起到多少作用，而是他們自己想出來的.文章以2022年全國數學高考甲卷壓軸題為例，加以必要說明.

【關鍵詞】 數學高考；壓軸題；解題教學；教學設計

以函數知識為背景的高考壓軸題總是以函數的單調性、極值（包括最大值與最小值）、函數零點與不等式相結合等知識點為背景材料.在探究解題思路時，需要通過分析函數解析式或所要求解的問題特點，啟發學生萌生指令自己操作行為的數學觀念，重新構造一個新函數解析式，從而運用求函數的導函數來探究解題思路.這就要求考生與指導學生復習的教師認識到，依據問題及其解題環節的具體特點，考慮選擇函數解析式的形式，從中設出合適的新函數解析式，大多數情況下，能夠達到化難為易、化繁為簡的目的.

在平時的教學中，對于以函數知識為背景的高考壓軸題，絕大部分老師都會幫助學生總結出“三對矛盾”：其一，自變量與函數的矛盾；其二，一元與二（多）元的矛盾；其三，常量與變量的矛盾.根據問題條件與結論不同的具體特點，基于這“三對矛盾”與其他知識點（例如，不等式及其證明中所使用的“作差”“作商”與“放大或縮小不等號所連結的一邊”等具體方法）相結合，選擇其中的一對矛盾作為指令操作具體信息的數學觀念，就可以啟動探究解題思路的思維活動，再遇到相對疑難的環節時，還是要使用“三對矛盾”中的某對矛盾作為指令，才能萌生出突破這個疑難環節的數學觀念［1］.

為了說明幫助學生尋找“三對矛盾”中的一對合適矛盾所形成的操作信息的行為指令，從而圓滿地獲得具體壓軸題的解題思路，下面實錄筆者啟發學生探究2022年甲卷壓軸題解題思路的教學設計及課堂實施活動，并加以必要說明.

例1 （2022年全國甲卷理科·題21）已知函數f（x）=exx－lnx+x－a.

（1）f（x）≥0在定義域上恒成立，求a的取值范圍；

（2）若函數f（x）有兩個零點x1，x2，求證x1x2<1.

對于問題（1）的教學設計及其課堂實施實錄：

師：記函數f（x）=exx－lnx+x－a為①，則容易知道，函數①的定義域為x∈（0，+∞）.函數解析式①具有怎樣的特點呢？

生1：觀察函數①的解析式特點發現，利用對數運算的基本性質，函數①的解析式可以變形為f（x）=exx+lnexx－a②的形式.于是，設函數g（t）=t+lnt－a③，t∈（1+∞），知g′（t）=1+1t>0，由函數③單增，從而g（t）>g（0），但是g（0）沒有意義，……（省略號表示學生思維暫時中斷，下同）

師：生1看到了函數式①的項與項之間的關聯形式，獲得了函數式②，這是非常了不起的.但是，其后述的運算錯在了什么地方？

生2：對于函數式③的自變量t的定義域判斷成t∈（1+∞）而產生了錯誤.其實函數解析式③中的t=exx，可以看作是自變量為x且定義域為x∈（0，+∞）的函數，即t（x）=exx，于是t′（x）=xex－exx2=exx－1x2，因此當x∈（0，1）時，t（x）單減，當x∈（1，+∞）時，t（x）單增，從而知t（x）≥t（1）=e，即函數③的定義域為t∈［e，+∞），而g′（t）=1+1t>0，知函數式③單增，所以g（t）≥g（e）=1+e－a，即f（x）≥1+e－a，而f（x）≥0，知1+e－a≥0，知a≤1+e.

注 一方面，在探究解答問題（1）的過程中，獲得了已知函數①表達式的一種新的形式，即函數解析式③.在這里，需要學生養成關于更換自變量后，其相應的函數定義域也對應地進行改變這種數學觀念，否則不利于后面解題環節的實現，生1由于沒有意識到這一點，致使解答過程無以為繼，或者出現解題環節或結論中的錯誤.另一方面，函數解析式③及其定義域t∈［e，+∞）的確定，將有利于探究問題（2）證明不等式x1x2<1的思路，以及在簡化運算的環節中起到重要的作用.數學教師在源于問題（2）教學設計及課堂實施中，仔細思考如何發揮函數解析式③的作用.

對于問題（2）的教學設計及其課堂實施實錄：

師：如何探究問題（2）關于不等式x1x2<1的證明思路？

生3：我想采用分析法探究這個問題的思路，仔細考慮“若函數f（x）有兩個零點x1，x2，求證x1x2<1”的內涵，記不等式x1x2<1為④.過去探究證明不等式思路的經驗引導我產生了這樣的一種想法：由于不等號所連結的兩邊具有對等性，我想將不等式④的右邊轉化為含有自變量x1，x2的某個代數表達式的形式（因為，不等式④的左邊無法轉化為一個具體的常數——筆者注）.經由試探，將不等式④變形為x1<1x2（如此，達到了不等號所連結的兩邊都是變量，即實現了對等性的目的——筆者注），然后利用函數式①的單調性，尋找比較函數值f（x1）與函數值f1x2的大小（由“自變量與函數的矛盾”，將比較函數的兩個自變量大小，轉化為比較這兩個自變量對應的函數值的大小——筆者注）.但是我發現，如果通過這個環節，我們很難利用函數式②，或函數式③這種非常良好的解析式形式，所以不應該選擇這條解題通道.

師：生3分析的結果很有道理，但是需要足夠的耐心進行試探，這種解法也是能夠達到目的的，只是可以預料環節比較復雜.那么，我們如果通過使用函數式②，或函數式③來達到證明不等式④的目的呢？

生4：對于不等式④的形式，利用不等號所連結的兩邊具有對等性的數學觀念，我通過函數式②，或函數式③及其相關條件，希望直接將不等式④的右邊常量1，轉化為含有變量x1，x2所表達成的代數式形式.據此想法，展開相應的操作檢驗活動過程，由于x1，x2是函數f（x）的兩個不同的零點，于是，不失一般性，可設0<x1<x2，由函數解析式②，或者函數解析式③的形式能夠知道，f（x1）=ex1x1+lnex1x1－a=0，f（x2）=ex2x2+lnex2x2－a=0，得ex1x1+lnex1x1－a=ex2x2+lnex2x2－a⑤，得ex1x1=ex2x2⑥，得ex2－x1=x2x1，因為0<x1<x2，知x2－x1=lnx2x1，得x2－x1lnx2x1=1⑦.由④⑦，知期待證明不等式x1x2<x2－x1lnx2x1⑧成立（據此認識到，生4的想法得到了技術中的具體實現——筆者注），即需要證明lnx2x1<x2－x1x1x2⑨成立.但有些可惜的是，我目前還沒有找到證明不等式⑨的有效方法.

師：生4的想法非常好.但是還存在瑕疵，在這些論證過程的環節中，從等式⑤過渡到等式⑥存在邏輯上的問題；還有一點，在證明不等式⑨時出現了疑難，那就必須要分析不等式⑨的具體特點.那么首先如何彌補從等式⑤過渡到等式⑥所存在的邏輯漏洞呢？

生5：記t1=ex1x1，t2=ex2x2，由函數式g（t）=t+lnt－a③，t1，t2是函數③的兩個自變量，且t1，t2∈［e，+∞），由生4的分析結論，知f（x1）=ex1x1+lnex1x1－a=0，f（x2）=ex2x2+lnex2x2－a=0，知ex1x1+lnex1x1－a=ex2x2+lnex2x2－a，這就是g（t1）=g（t2），而g′（t）=1+1t>0，知函數③在t∈［e，+∞）內單增，知必有t1=t2，即ex1x1=ex2x2成立.由此，堵住了從等式⑤過渡到等式⑥所存在的邏輯漏洞.

師：非常好.那么現在如何證明不等式⑨成立呢？

生6：我們知道，不等號所連結兩邊的內容應該具有對等性，但是不等式⑨的左邊可以看作是自變量的0次方，即一個常量，而不等式⑨的右邊卻是自變量的-1次方，因此，從自變量的指數上看，這個不等號所連結的兩邊內容是不對等的.因此，首先從自變量的指數這項內容出發，尋找使不等號兩邊“對等”起來的條件及操作活動，這是可以辦到的.我的想法就是將不等式⑨的不等號右邊分母x1x2的自變量的指數降成1次，這只要將x1x2取算術平方根，即x1x2就可以達到目的，于是希望證明不等式x1x2<x2－x1lnx2x1成立，即期待證明不等式2lnx2x1<x2x1－x1x2B10成立.為了證明不等式B10成立，可設u=x2x1，因為0<x1<x2，知u>1，所以希望證明不等式2lnu－u+1u<;0B11（u>1）成立就達到目的了，于是設f（u）=2lnu－u+1uB12，則f′（u）=2u－1u2－1=－u－1u<0（u>1），知函數B12單調遞減，于是f（u）<f（1）=0，這就是說，不等式B11成立.

注 雖然這里將代數式x1x2轉化為代數式x1x2并不是一件容易的事情，但是生6使用了不等號所連結兩邊的內容具有對等性的數學觀念予以解釋，便形成了一種非常好的啟動思維活動的心理內驅力［2］.從生6的這種思維過程中，可以清晰地認識到，這種選擇使用代數式x1x2替代代數式x1x2并不是“神來之筆”，而是在探究解體思路的過程中，不斷地通過分析與綜合、選擇合適數學觀念指導的自然結果.

由于這道題是壓軸題，需要具有較高的區分與選拔功能，因此對于不少學生來說，這道題具有一定難度，選擇其他的解題思路，也會出現較大的運算量.如當學生發現了所設定的函數解析式①的結構，可以轉化為函數解析式②的結構，從而利用不等號所連結的兩邊具有“對等性”或“對稱性”的數學觀念，從而將不等式④，通過不等式⑧，轉化為不等式⑨，進一步在期待出現代數式x2x1的情況下，將不等式⑨通過不等式B10轉化為不等式B11，如此，為最終解決這個問題設出的函數解析式B12鋪平了具體的道路.

參考文獻

［1］ 張昆，羅增儒. 數學解題教學設計研究——指向萌生數學觀念的視點＼[J＼]. 中學數學雜志，2017（11）：15-18.

［2］ 張昆. 整合數學教學中設計問題的取向——透過“觀念性問題”與“技術性問題”的視點＼[J＼]. 中小學教師培訓，2019（06）：53-56.

作者簡介 張昆（1965—），男，安徽合肥人，中學高級教師，副教授，博士；主要研究

數學教學論、數學史、數學教師培訓；發表教育教學論文300余篇，其中26篇被人大復印資料全文轉載.