新課程背景下培養數學邏輯推理能力的策略

饒惠瓊

【摘要】邏輯推理是數學學習最基礎的思維，旨在根據命題和事實按一定的邏輯規則推導數學問題.教師要在新課程背景下，關注學生的邏輯推理能力，讓學生能夠基于實踐和建模樹立科學的思維方式，并學會從本質探究問題的本源.

【關鍵詞】高中數學；邏輯推理；培養策略

在高中階段的學習和生活中，常常會使用到邏輯推理能力，但教材中的邏輯推理較為抽象，邏輯關系以及條件都不易于察覺，致使學生在學習時由于畏難而產生抵觸心理.針對這一現象，教師可以通過抓關鍵信息、結合教材知識、構建數學模型以及關聯生活現象等方法，幫助學生透過表象摸索問題中的規律，進而內化邏輯推理的常用解題技巧.

1 抓住關鍵信息，尋求隱含條件

數學表述都是經過嚴密的邏輯推導所產生的，并不是空穴來風、沒有理論依據的.而邏輯普遍隱藏于問題的數量關系與已知條件中，此時學生能否抓住命題中的切入面進而求解隱含條件就成為影響數學邏輯推理過程的關鍵點.教師應為學生多多講解不同命題類型的邏輯規律，便于學生挖掘潛在的邏輯條件.

例如 在“對數”這一節課的學習中，教師可以通過為學生剖析具有代表意義題目的求解過程，讓學生了解對數函數的性質，并能夠將其用于解決問題當中.上課時，教師可以先為學生講解對數函數的定義以及對數運算的性質，在學生有基礎了解之后，再將例題寫在黑板上，如“定義正對數：ln+x=0（0< x<1）；lnx（x ≥1），現有兩個命題：①若a >0，b &gt;0，則ln+（ab）=bln+a；②若a >0，b >0，則ln+（ab）=ln+a+ln+b，求證這兩個命題是否為真命題”.學生由題目可以看出該題目為新定義的函數問題，需要用新定義的解題方式進行求解，對于第一個命題的求解需要分為兩種情況，分別要考慮“0< a <1，b >0”以及“a >1，b >0”.不僅如此，學生在求解時要善于捕捉題目中的隱藏條件，并學會聯系命題中與之相關的信息，例如，當“0< a <1，b >0”時，可以關聯出“ab >1”；當“a >1，b >0”時，可以得出“0< ab <1”.學生唯有運用邏輯思維聯系命題條件與命題之間關系，為后續命題的求解提供突破點，才能有效推導出命題是否恒成立.而第二個命題的求證同樣需要捕捉關鍵信息，教師可以在學生求解時帶領學生明晰在面對該類型命題的求解時，應當以哪個信息為切入點進行命題恒等式的運算，以這樣的教學方法提醒學生如何緊密聯系命題信息中的邏輯條件，而后進行推理論證.

學生在求解命題時要注重邏輯的嚴密性，使得推導過程有理有據，這樣才能快速有效地掌握關鍵信息.在這一過程中，教師也要關注學生的推導思路，逐步滲透邏輯推理的技巧與原則，使學生的數學邏輯推理能力得到質的提升.

2 結合數列等知識，探索規律

數列問題的求解是具有顯著規律的，要想熟練掌握數列關系的變化規律就需要學生優先培養數學思維和邏輯推理意識.基于此，教師要針對學生的學習漏洞對癥下藥，指導學生如何通過探索數列相關知識的規律進而做題時能夠自主探索、主動構建數量關系的橋梁.

例如 在“數列”這一章節的學習中，教師可以為學生指出數列推導的規律，讓學生感悟推導的過程，從而有意識地培養學生的邏輯推理思維.等比數列和等差數列屬于特殊數列，教師組織學生主動推理、逐步摸索各項的變化規律能夠讓學生身處邏輯推理的良好學習氛圍中，有助于學生深入理解數列的概念以及形成過程.上課前，教師可以提前收集關于數列的經典例題，題目要有針對性，不能流于形式，要將數列的高頻考點凸顯出來，以便于學生在得到一定強度的訓練后能夠舉一反三，熟練掌握數列的求解方法.上課時，教師可以先由一些趣味題目引出數列的概念，如，用三根火柴拼接成一個三角形，將其作為第一個圖案，再添置六根火柴在原三角形的基礎上繼續拼接三角形作為第二個圖案，第三個圖案是在第二個圖案的基礎上繼續添加九根火柴拼接更大的三角形，那么，依此類推，第四個圖案需要幾根火柴呢？學生可以在草稿紙上寫一寫、畫一畫，用最簡單的方法得出問題的答案.然后，教師繼續提問“那第100個圖案需要幾根火柴呢”，此時學生就會察覺這種簡便的方法并不適用于復雜的數學條件下.教師就可以借助這一問題講解如何用通項公式表達按特定順序排列的數量關系.在學生掌握到數列的規律后，教師就可以將提前收集好的題目做成一份隨堂測驗的試卷，要求學生在二十分鐘之內進行求解，進一步鞏固學生的基礎知識.

新課程背景下更注重對學生自主探究學習習慣的培養，恰恰數列知識具有邏輯性強、呈規律性遞推的特點，能夠為學生的邏輯思維培養提供可靠的機會與平臺.教師要善于利用數列問題的特點，并依據學生的認知水平和思維特點加強對學生邏輯思維的鍛煉.

3 設計變式練習，指導科學猜想

猜想是推理的前提，合情推理卻又是解決問題的前提，三者環環相扣，構成問題推導的重要步驟.變式作為數學教材中的重難知識點，要求學生能夠靈活地進行變式轉換.教師要注重變式練習在數學課堂中的應用，指導學生合情合理猜想、科學分析問題.

例如 在“三角函數的圖像與性質”這一節課的學習中，教師可以結合教材內容自主設計變式題目以供學生練習.上課時，教師應當先在黑板上畫出三角函數的圖像，為學生講解圖像的周期性、奇偶性和單調性，指導學生了解周期內的函數圖像以便于求解變式命題.然后，教師再將提前準備好具有代表意義的變式題目書寫在黑板上.例如，已知函數f（x）=2 cos2x－ sin2x+2，則f（x）的最小正周期為多少，最大值為多少？學生在面對該類變式問題時，應當首先思考如何將三角函數關系式化繁為簡，觀察此題可知，化簡可以從余弦的倍角公式著手，將解析式化簡為f（x）=23cos2x+25，再根據余弦函數的性質即可求得結果.在學生思考問題的推導過程中，教師要注重對其引導而非直接告訴其答案.類似于這種考察三角函數性質的題目，教師可以指導學生進行科學猜想，尋求多種解題技巧.如最小正周期的解法有三，其一是利用定義去探求；其二是運用公式法，將函數解析式化解為y=Asin（ωx+y）；其三是依據三角函數的圖像去判斷.在學生求解出答案后，教師還可以鼓勵學生自主設計考察三角函數性質的相關題目，鍛煉學生發散的邏輯思維，在問題的設計中明晰三角函數的高頻考點和重難知識點.設計變式練習的主體不固定，可以以教師為主，也可以由學生動手設計，這樣的教學方法不僅能夠鍛煉教師的專業素養，還提升了學生獨立思考的能力，讓學生的推理能力得到間接發展.

變式練習題的設計要具有一定的開放性和趣味性，能讓學生在過程中發散邏輯思維，并加強學生的積極性.與此同時，學生在推導和猜想的過程中，教師要時刻把控學生的思維導向，注重理論之間的相互貫通與聯系，使學生在解答變式類型的數學問題時能夠游刃有余.

4 梳理建模，經歷推導過程

數學課堂作為教學的主要場所，是學生進行邏輯培養的重要途徑.教師可以依托教材中知識點的概念、定理、定義，從中挑選出能夠培養學生邏輯推理意識的相關知識，通過指導學生感受命題的梳理以及推導過程，從而構建專業的知識體系.

例如 在“立體幾何初步”這一章節的學習中，教師可以通過指導學生觀察空間內的物體形狀或位置來了解立體幾何的抽象含義，減少學生的畏難情緒.在學習立體圖形的直觀圖時，教師可以先提問學生“你們可以觀察一下陽光透過矩形的窗戶照射在教室地板上的影子是什么形狀的”“眺望遠處的矩形農田透過光線反射到眼睛里是什么形狀的”，由這兩個問題展開課程的講解.也可以由教師組織學生小組合作，制作不同物體（圓柱體、球體、圓錐體）的平行投影模型，便于學生的抽象邏輯思維具體化，然后將數學模型匯總成小組優秀作品放置在教室的展示柜內以供觀賞.在學習空間點、線、平面之間的位置關系時，教師可以借助教室的環境幫助學生了解立體圖形的結構特點以及點、線、面的位置關系.例如，講臺側面（面）與燈管（線）相垂直，教室與地面相接的線（線）與黑板下邊線（線）相平行.教師可以要求學生在草稿紙上寫出教室墻面、地面、講臺、燈管之間多種可能的位置關系，并在草稿紙上畫出不同物體之間的位置關系.空間想象需要有一定的邏輯知識儲備，那也就是說，邏輯思維對于學生在立體幾何中的學習是必不可少的.教師要思考出可行的教學方法來提升學生的空間感，讓學生能夠在空間想象出得出物體之間的邏輯關系.

邏輯推理離不開空間的構建，空間感是進行邏輯推導的有效手段.教師可以聯系空間結構的線面關系來幫助學生感知命題的含義以及性質，幫助學生在過程中感受，在感受中得到結論的啟發.梳理建模能夠讓學生更便捷地感知邏輯關系，使抽象概念轉化為具體形象.

5 結合生活實踐，辨識拓展

新課改要求讓學生作為課堂的主人公，教師的職責重在引導而非書面傳授.因此，生活實踐的教學日益成為數學課堂的主流，教師要遵循新課程改革的背景，順應新課改的政策，將教材內容與生活實踐相結合，使學生的邏輯辨識能力得到拓展.

例如 在“函數的基本性質”這一節課的學習中，教師可以通過靈巧的課堂組織模式，為學生提供活躍的教學環境，讓學生的熱情帶動其學習動力，提高數學課堂的教學質量與水平.在學生已對函數的性質及概念掌握的基礎上，教師可以借此開展數學知識競賽，將全體學生分為六人一組，在教師給出競賽題目后，小組合作共同探討，相互交流解題思路，激活邏輯思維的運轉.該競賽的目的主要是為了考查學生對函數性質的掌握程度，教師所選競賽題目要高于教材內容，具有一定的特點，并設計一些誤導學生犯錯的“坑點”，確保競賽能夠高質高量.例如，老師給出一個定義在R上的函數f（x），甲、乙、丙、丁四位同學各說出了一個函數的性質，其中甲同學說“在－∞，0上函數單調遞減”，乙同學說“在0，+∞上函數單調遞增”，丙同學說“函數f（x）的圖像關于直線x=1對稱”，丁同學說“f（0）不是函數的最小值”，老師說“你們四個人中有三位同學表達正確”，那么表達錯誤的那位同學是誰.數學競賽時間限制為三十分鐘，設置為八道大題比較適宜，哪個小組用時最快、正確率最高即可獲得競賽的獎品.競賽過程中，教師要仔細觀察每組學生的表現狀況，對于積極性不高的同學，教師要予以關注，分析影響其參與感的因素并開導學生主動融入到競賽氛圍當中.結束后，教師也要指出每位小組競賽答案的錯誤之處，為其答疑解惑，疏通學生在解題時碰到的疑難之處.

實踐是檢驗真理的唯一標準.實踐的性質已經決定了其對于教學過程的必要性，教師要把握好實踐的開展過程，組織學生更精準地辨識數學概念，并讓學生在實踐中更加清晰地感受知識的意義，在交流和互動中掌握推理的技巧.

6 結語

隨著素質教育的展開，教學過程將重心更多地放在學生的自主探究與主動學習上.唯有學生從內部產生學習的動機，才能使數學教學達到事倍功半的效果.因此，教師要積極引導學生的思維方向，多方面關注學生的邏輯思維能力，并運用適宜的教學方式為學生提供邏輯交流與推理猜想的思考空間，充分借助問題提升學生的邏輯水平.

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