核心素養導向下的高中數學解題研究

申磊

【摘要】解題教學是高中階段數學教學中的重要環節，通過有效解題教學的開展，能夠促進學生思維能力的提升，幫助學生掌握運用所學知識解決實際問題的技能.在核心素養視域下，如何培養學生的解題能力已成為廣大教師所共同關心的問題.基于核心素養內涵，本文細致分析高中數學解題教學中亟待解決的問題，并結合實際教學情況提出優化路徑，通過革新觀念、注重創新、豐富手段、加強實踐等方式，促進高中數學解題教學質量的提升，幫助學生在良好的生態學習環境下，掌握解題技巧、發展自身思維能力，實現核心素養的全面提升.

【關鍵詞】高中數學；核心素養；解題教學

數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分.教師應緊密圍繞著核心素養內容，改善當前解題教學中所存在的弊端，促進學生思維能力的發展，掌握解題關鍵步驟及技巧，切實提高學生解題能力，幫助學生在良好的學習氛圍下通過解題完成數學知識的內化與鞏固.

通過對影響高中數學解題教學因素分析可知，教師應以激發學生思維活力為抓手，以核心素養為導向，優化解題教學內容，向學生傳授解題技巧及方法，幫助學生在潛移默化中形成系統化的知識體系，提高自身解題能力.筆者結合多年實踐教學經驗，對核心素養導向下的高中數學解題教學策略進行總結，以供廣大教師借鑒參考.

1 革新觀念，強化學生抽象建模意識

數學語言主要表現為：數據意識或數據觀念、模型意識或模型觀念以及應用意識，是核心素養中的重要組成部分.在實際教學中，為培育學生的創新思維能力，教師應有意識地在解題過程中滲透模型思想，幫助學生將抽象知識轉化為直觀印象，建立良好的建模意識，順利解決相關問題.

例如 以蘇教版高一數學必修1“函數模型及其應用”一課的解題教學為例，有典型例題如下：已知x2+y2=4，求2x+y的取值范圍.

這一問題是高中階段最令學生頭疼的范圍型問題.首先，教師應引導學生閱讀題干信息，回憶所學知識，明確題目中的重點信息以及所求內容.通過閱讀，學生可知本題目要求的是2x+y的取值范圍，且有兩個未知數，并且二者是具有等量關系的.進行到這一步驟時，許多學生表示這兩個未知數很難用一個表示另外一個來實現同一變量.就此問題，教師可以鼓勵大家嘗試轉變思路，構建模型思想，將這兩個未知數的等量關系轉化為“平方相加為定值”的形式，從三角換元或圓的參數方程進行考量，令x=2cosθ，y=2sinθ，θ∈0，2π，則有2x+y=4cosθ+2sinθ=25sinθ+φ，由此可知：2x+y∈-25，25.與此同時，教師也可以帶領學生運用建模思想探尋多種解法，在班級內開展討論與交流，指導學生嘗試運用數形結合的方式解決此類問題，將求2x+y的取值范圍這一問題轉化為線性規劃問題，令Z=2x+y，其中點（x，y）為圓x2+y2=4上的點，即直線y=－2x+Z，求截距Z的最大值和最小值.根據教師的解題思路提示，學生嘗試繪制圖象，并通過直觀的圖象立馬做出分析，求截距Z的最大值和最小值只需要求取兩條切線的截距即可，通過圓心到直線的距離等于半徑這一理論可推導：d=Z12+22=2，并與剛才所計算的結果相對比，確定一致后整理解題步驟.在指導學生運用建模方法解決數學問題后，教師可在黑板上呈現建模主要過程，幫助學生理解數學建模思想，從而提升學生的建模思想水平.

如上，通過建模思想的有機滲透，能夠切實提高學生的模型意識，幫助其掌握運用模型思想的解題技巧，在長期訓練中提升自身思維能力，實現解題效率、準確率的提升.

2 注重創新，激發學生創新思維能力

新課程標準下要求教師由傳統的知識講授者轉變為引導者、組織者，在解題教學中，教師應將培養學生的創新意識、創新精神作為首要任務，改變傳統一言堂、機械性的講授模式，為學生提供良好的學習生態環境以及自主實踐平臺，鼓勵學生積極探索，挖掘其內在潛能，幫助學生在解題過程中逐步形成舉一反三的能力.

例如 以蘇教版高二數學必修4“三角函數的圖象和性質”一課的解題教學為例，本章內容是三角函數一單元中最后一部分學習任務，結合三角函數相關知識，教師為學生提供了這樣的一道例題：函數y=sinx5+4cosx0≤x≤2x的值域為？

本道題目是一道較為經典的三角函數的值域求解題，考查學生對三角函數相關知識的掌握以及運用方程思想解題的意識.首先，教師應引導學生觀察并分析此題，談一談自己的解題思路，由于本題并非常見的三角函數解析式，許多學生在此階段會陷入思維誤區.因此，教師應為學生提供適當指導，鼓勵學生將其嘗試轉化為方程問題，將原函數解析式兩邊平方得y2=sin2x5+4cosx，化正弦為余弦，通過整理得出：cos2x+4y2cosx+5y2－1=0，這時教師可以鼓勵學生應用方程思想，通過對cosx的一元二次方程分析，設t=cosx，令ft=t2+4y2t+5y2－1，所以Δ=4y22－45y2－1≥0，－1≤－2y2≤1，即4y4-5y2+1≥0，－1≤－2y2≤1，最后解得y2≤14，所以函數的值域應為y∈-1212（解法1）.通過方程思想的應用能夠輕松解出此道較為經典的值域求解問題.在此基礎上，教師鼓勵學生充分發揮自身創新性思維，基于教師所提供的思路解法進行探索，并提出不同方案.部分學生通過思考與分析，總結：解決數學問題要注意等價轉化，轉化cos2x+4y2cosx+5y2－1=0在-1，1上有實根，求y的取值范圍，可以列出：Δ=4y22+45y2－1=44y4－5y2+1≥0，cosx1+cosx2，=4y2≤2，并解得y2≥1，y2≤14，y2≤12.與剛才教師所提供的解法1答案相同.在學生解題的過程中，教師應進行巡回指導，幫助大家及時發現題目中所蘊含的“陷阱”，如在轉化求解的過程中要關注到cosx的一元二次方程在-1，1上有實根，使學生避免疏忽.

如上，通過方程思想的引入，能夠喚醒學生的思維能力，激發學生的創新熱情與勇氣，在訓練中逐漸形成獨立思考的意識，進而提高自身問題解決能力.

3 豐富手段，促發學生推理解題潛能

在傳統解題教學之中，部分教師為節約課堂時間，通常是以板書的應試謄寫解題步驟，忽視了對學生思維能力以及興趣愛好的考量.久而久之，將會使學生出現盲目抄寫、缺乏思考意識的問題，嚴重阻礙其解題能力的發展.基于核心素養背景，教師應緊密圍繞高中生的最近發展區間，在講解解題步驟時，適當引入生動、立體的圖畫形式，運用多媒體技術，將抽象的數學知識轉化為直觀印象，從而調動學生的學習熱情，激發學生的內在潛能.

例如 以蘇教版高二數學選擇性必修1“橢圓”一課的解題教學為例，教師選取2019年福建高考一模試卷中的這樣一個問題：

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1、F2.過點F1的直線與橢圓相交于M、N兩點，△F2MN的周長為8，直線y=x被橢圓C所截得的線段長為4427，求橢圓C的方程.

在解決本題時，教師可以利用多媒體技術手段，繪制圖象，如圖1所示：

并邀請學生認真審題，在教師所提供的圖形之中標記處點M、N以及F1，F2.在直觀的情境下，學生的學習興趣得到充分激發.然而，許多學生卻止步于“△F2MN的周長為8”這句話，不知應當如何翻譯，使之轉化為數學語言.發現學生所存在的問題后，教師及時帶領大家回顧橢圓概念，明確“橢圓到兩定點的距離之和等于定長（長軸長，即2a）”，所以△F2MN的周長為NF1+NF2+MF1+MF2，即NF1+NF2=MF1+MF2=2a，故4a=8，a=2.接下來，教師帶領學生再次分析“直線y=x被橢圓C所截得的線段長為4427”這段話.首先，教師指導學生設直線與橢圓的兩個交點坐標為Ax1，y1Bx2，y2，得出：

AB=x2－x12+y2－y12，并將y2=x2，y1=x1代入.隨后，引導學生運用韋達定理由方程組代入，解出b=3.通過上述解題案例不難發現，幫助學生掌握良好基礎的概念知識至關重要，只有找準題目線索，才能夠成功解決問題.

如上，在解題教學之中，教師應結合高中生的基本學習情況，優化解題教學方法，引入信息技術手段，為課堂注入全新生機與活力，幫助學生開闊學習視野，在潛移默化中提高核心素養.

4 加強實踐，幫助學生掌握解題技巧

不登高山，不知天之高也；不臨深溪，不知地之厚也.空有理論知識的講授而缺乏必要的實踐，也會影響解題教學的質量.因此，教師應在完成基礎教學任務后，應有意識地結合生活實際提出與數學相關的問題，鼓勵學生運用所學解題思想，提出教師所設計的問題，實現知識的遷移與運用，獲得解題能力以及核心素養的提升與發展.

例如 以蘇教版高三數學必修5“數列”一課的解題教學為例，在課堂中，教師向學生列舉了其在解題過程中所易出現的錯誤，如：用錯基本公式、通項an與前n項和Sn之間的關系無法及時理順、對等差等比數列的性質模糊等.基于學生的實際學習情況，教師可以結合生活中的常見實例設計應用練習題目，引導學生自主作答，并寫出解題步驟.

例題提供：假設本校內新引進一批桌椅，總價值為220萬元，而桌椅的價值會隨著使用年限的提升而下降，每一年所下降的金額為d萬元，已知d為常數，而此批桌椅的使用年限為10年，十年之后其價值將會低于購進價的百分之五.請同學們運用所學知識，計算d的取值范圍.

此道問題能夠通過與學生生活貼合的事件提高學生運用等差數列知識解決實際問題的能力.教師可以邀請學生前往講臺進行作答，并在其思維滯留時適當提供指導，給出：an=an-1-dn≥2這一提示，鼓勵學生轉換思想，結合題意列出不等式組：220-10d≥11，220-11d<11，最后經過求解得到的范圍就是d的取值范圍.與此同時，在學生完成題目解答后，教師也可以鼓勵大家創造性地提出問題，與同桌之間進行交換，促使學生活學活用，進一步強化解題思維.

如上，通過與生活貼近的數學問題，能夠喚醒學生的探究熱情，幫助學生在實踐的過程中掌握良好的解題技能，實現自身思維能力的發展，逐漸在不依靠教師指導的情況下自主完成題目解答，提升數學成績.

5 結語

紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.在高中數學解題教學中，教師應以核心素養為基礎，結合高中生的認知能力設計多樣化的解題訓練，在開闊學生解題學習視野的同時，培養學生的解題能力，幫助學生實現個人核心素養的全面發展.相信在廣大教師的共同努力下，高中數學教學將會重新煥發生機，幫助學生在良好的生態環境下，夯實基礎知識，掌握解題技巧，在高考中取得更加優秀的成績.

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