例析幾何證明中邏輯推理的典型錯誤

顏胤豪

【摘要】推理與證明是數學活動中的重要組成，也是培養學生推理能力的重要途徑.但由于受到多種因素的制約，學生在解決幾何證明題目時常面臨諸多邏輯推理典型錯誤，阻礙學生邏輯推理能力的培養.本文結合全等三角形證明的題目，對其進行詳細的探究.

【關鍵詞】初中數學；全等三角形；幾何證明

在最新的《義務教育數學課程標準》中，不僅明確了“圖形與幾何”這一核心目標，還明確了“培養學生邏輯推理能力”要求.在數學學習中，全等三角形的證明不僅是中學數學的重要組成部分，也是培養學生推理與證明的典型內容.但是學生在解決這些問題的過程中，還存在不少問題，不僅制約了學生的解題效率，也阻礙了學生邏輯思維能力的發展.鑒于此，本文以學生在全等三角形幾何證明中邏輯推理典型錯誤作為課堂教學資源，分析其產生的原因，并提出相應的教學策略，旨在提升學生的解題能力，并在解題中培養和發展學生的邏輯推理能力和素養.

1 任意推理、引申定理

部分學生在“全等三角形”學習中，由于并未真正理解相關的幾何概念和定理，致使在證明相關題目的時候，對教材中的定理進行任意引申、推廣，進而得出“假判斷”，并將其作為證明的根據.在這種情況下，學生在證明題目時，常常因為“虛假理由”，出現各種各樣的錯誤.

例1 已知：如圖1所示，已知△ABC，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，求證：AD為EF的垂直平分線.

學生在對這一題目進行證明時，常常出現一定的錯誤：因為AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DF=DE（角平分線上的點到兩邊的距離相等），因此得出AD為線段EF的中垂線.從表面上來說，這一證明過程中則存在一定的錯誤，結合所學的定理，只能證明D僅僅是EF垂直平分線上的一個點，而過點D則可做出無數條直線.因此，從這一方面上來說，根本無法證明AD就是EF的垂直平分線.

在具體解題實踐中，這種錯誤尤為常見.其主要原因就是學生在證明題目時，無法跨越虛假命題的現象.鑒于此，在日常教學中，必須要引導學生關注幾何概念、定理解讀，真正將其“吃透、弄懂”，最大限度避免解題中出現的錯誤.

2 未挖掘題目中蘊含的條件

學生在對“全等三角形”相關題目進行證明時，常常會陷入到循環論證中.在這種證明模式下，學生常常是利用需要證明的命題本身，或者等價命題作為證明的根據，但在證明中并未對命題進行證明.

例2 如圖2所示，已知△ABC中，D是AB邊上的一點，且DF交AC于點E，DE=FE，AE=CE，AB與CF存在什么樣的位置關系？對其進行判斷且證明.

學生在證明這一問題時，常常會進入到循環論證中：因為DE=FE，AE=CE，所以AD=CF，學生直接將其作為命題的已知條件；又因為AD=CF，DE=FE，AE=CE，所以△AED≌△CEF；又因為∠AED與∠CEF為對頂角，所以AD∥CF，AB∥CF.這一證明題目雖然非常簡單，并且證明的思路比較清晰，但部分學生在證明時，依然會進入到上述的“循環論證”中，錯誤地將AD=CF作為已知條件，將其作為證明的根據，忽視了題目中∠AED與∠CEF是對頂角的隱含條件.在這種情況下，學生在證明的時候，難免會出現錯誤.

在日常證明教學中，為了避免這一錯誤，教師可充分發揮自身的引導作用，使學生在日常做題時逐漸養成認真審題的習慣，并結合典型的例題引導學生充分挖掘其中的隱含條件，進而順利解決幾何證明題目，降低錯誤的發生率.

3 偷換命題，運用特殊代替一般

部分學生在證明“全等三角形”時，為了降低證明的難度，常常會將“一般”進行轉化，使其成為“特殊”.但這就等于偷換了命題，違反了邏輯上的關系，致使學生在證明的時候，常常出現相關的錯誤.

例3 求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半.

部分學生在證明時，如圖3所示，△ABC與△A′BC是全等三角形.在這一過程中，學生就偷換了概念，將題目中的三角形進行了轉化，使其成為全等三角形.之后，連接AA′，與BC相交于D點，則AA′=2AD.在這一步驟中，就將AA′和BC的交點D視為中點；之后，證明出△ABC≌△A′BC，所以AC=A′B.又因為AA′＜AB+A′B，則AA′＜AB+AC，所以2AD＜AB+AC，即AD＜1／2（AB+AC）.學生在證明這一命題的過程中，雖然明確了運用“三角形第三邊小于兩邊之和”的定理，但在具體證明的過程中，則出現了“偷換命題”的現象，即將三角形偷換為全等三角形，將AA′和BC的交點錯誤地當作中點.在這種情況下，由于學生運用特殊代替了一般情況，致使其在證明的過程中，極容易出現各種各樣的錯誤.

鑒于此，教師在日常幾何證明題教學時，就可充分借助一些典型的例題，使得學生在典型例題分析中，認識到“偷換命題”的問題，使其在日后做題訓練中，能夠有效避免這一類的錯誤.

4 結語

綜上所述，在“全等三角形”的證明題中，學生在做題訓練過程中，常常會因為肆意引申定理、忽視題目中的隱含條件、偷換命題等，致使解題中出現各種各樣的錯誤.鑒于此，在日常解題訓練中，教師應通過日常教學引導、典型例題分析，使得學生逐漸掌握相關的解題技巧，并在解題訓練的過程中，發展自身的邏輯推理能力和素養.