2020—2022年新高考卷函數試題分析與教學啟示

賴婷婷　楊燕　毋曉迪

【摘要】本文從核心知識、關鍵能力、數學思想、數學學科核心素養等四個維度統計和分析2020—2022年的新高考數學卷Ⅰ和卷Ⅱ共6套試卷中考查必修部分函數知識的試題，發現它們具有堅持立足基礎、巧設問題情境、聚焦數學學科核心素養等特點，提出：突出必備知識，引導教學回歸基礎；創新試題情境，引導學生學以致用；注重本質探究，體會轉化與化歸思想；優化函數教學，提升邏輯推理與數學運算素養等教學建議。

【關鍵詞】新高考 試題分析 核心素養 高中數學 函數

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）08-0100-05

函數作為高中數學的四條主線之一，其思想方法貫穿高中數學課程的始終。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）提出將研究函數的對應關系作為數學研究的重要內容，強調函數相關內容之間的銜接，其學習過程涵蓋觀察、分析、抽象、概括等方法。隨著新課程、新教材、新高考的推進，課程與教學評價方式變革的實現面臨著高考改革有待深化的問題。函數命題設計圍繞著讀懂題目、作出圖象并觀察、用數學語言分析與表達、通過邏輯推理進行求解論證等四個環節進行，通過閱讀題目，理解題意，抽象概括，建立刻畫函數的數學模型，借助圖形和空間進行分析、推理與論證，加強了對數學學科核心素養的考查。

如表1所示，本文結合《課程標準》，從核心知識、關鍵能力（邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創新能力）、數學思想（函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、轉化與化歸思想、特殊與一般思想）、數學學科核心素養等四個維度統計和分析2020—2022年的新高考數學卷Ⅰ和卷Ⅱ共6套試卷中考查必修部分函數知識的試題，探索命題的多樣性。

一、數學新高考卷命題特點

筆者以條件、問題和一般解法涉及的知識點、關鍵能力、數學思想以及核心素養為統計對象，統計與分析2020—2022年數學新高考卷考查函數知識的試題，具體內容如表2所示。

可見，試題設計的基礎為核心知識，載體為問題情境，特征為關鍵能力，它們依托思想方法落實數學學科核心素養的培養。

（一）突出核心知識，體現創新性與綜合性

根據表2，試題考查的函數知識點相對穩定，核心知識覆蓋較全，主要涉及函數的概念、函數的基本性質（如奇偶性、單調性）、指數運算、對數運算、指數函數及其性質、對數函數及其性質、同角三角函數的基本關系、誘導公式、三角函數的圖象與性質等內容。函數的基本性質中的奇偶性和單調性、函數圖象考查頻率居高，幾乎每年每套試題都有涉及，而且這6套新高考卷函數部分考題的創新性與綜合性在不斷提高，與高中數學其他模塊內容融合，對學生基礎知識的掌握情況要求更高，如2020年新高考卷Ⅱ第17題、2022年新高考卷Ⅰ第18題融合了正弦定理、余弦定理，2021年新高考卷Ⅰ第10題融合了平面向量，2021年新高考卷Ⅱ第14題融合了導數。

（二）巧用問題情境，綜合考查關鍵能力

根據表2的統計與分析結果可以發現，每道題平均考查1—2個數學關鍵能力，并且這些關鍵能力的考查并不是獨立展開的，而是緊密聯系的。試題的設計以函數知識為基礎，考查學生提取、組織題目條件的能力，以及對函數知識的抽象、記憶、理解、應用、分析與創造的能力。以函數思想方法為引領，通過運用函數思想與函數模型，考查數學建模能力；通過運用數形結合思想，考查空間想象能力；通過應用轉化與化歸、特殊與一般思想，考查邏輯推理能力。例如，2020年新高考卷Ⅰ第6題，以新冠疫情為背景，考查的知識點集中于指數模型、指數函數的性質、冪指運算，在關鍵能力上體現綜合性。學生首先需要運用數學建模能力，將試題中的生活情境轉化為數學問題，然后運用邏輯思維能力，對新冠疫情初期病例感染數變化規律進行預測分析，最終運用運算求解能力，求解出累計感染病例數加倍所需的時間；2021年新高考卷Ⅱ第14題給出三個條件，求同時滿足這三個條件的一個函數解析式，考查知識點集中于函數的奇偶性、可導性，學生需要首先運用邏輯思維能力，分析、列舉、推導出分別符合題干三個條件的函數解析式，然后運用創新能力，整合所列出的函數解析式，最終得出同時滿足三個條件的函數解析式。學生只有同時掌握上述關鍵能力，才能夠解決復雜情境下的問題。

（三）借助三角函數，運用轉化與化歸思想

根據表2，轉化與化歸思想是近三年新高考卷集中考查的數學思想，其次是數形結合思想、分類與整合思想，最后是函數與方程思想、特殊與一般思想。作為高中函數必修部分的重要內容，三角函數知識幾乎每年每套題中都有涉及，充分體現了轉化與化歸思想的應用。例如，2020年新高考卷Ⅰ第17題、新高考卷Ⅱ第17題，2021年新高考卷Ⅰ第6題和第10題，2022年新高考卷Ⅰ第18題、新高考卷Ⅱ第6題，以基本公式sin²x+cos²x=1，sinx/cosx=tanx以及三角恒等變換為考查要點，要求學生充分理解它們的內在聯系，體會轉化與化歸思想的應用；2020年新高考卷Ⅰ第10題、新高考卷Ⅱ第11題以函數y=Asin（ωx+φ）的圖象為考查要點，2022年新高考卷Ⅰ第6題、新高考卷Ⅱ第9題以正弦函數的周期性、對稱性、單調性為考查知識點，要求學生能夠理解參數變化對函數圖象的影響，根據三角函數的圖象與性質建立知識之間的聯系，滲透轉化與化歸思想，領會數形結合思想。

（四）突出數學運算與邏輯推理素養的滲透

新高考卷試題中每道題平均考查2—3方面的數學學科核心素養，尤其重視對數學運算與邏輯推理這兩大核心素養的考查，特別是作為解決數學問題基本手段的數學運算素養，幾乎每道題都有涉及，其次是考查直觀想象、數學抽象以及數學建模素養，而較少考查數據分析素養。例如，2020年新高考卷Ⅰ第11題、新高考卷Ⅱ第12題，2021年新高考卷Ⅱ第7題以及2022年新高考卷Ⅰ第7題，雖然試題考查的是指數運算、對數運算、基本不等式等基礎知識，但學生需要理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路與論證過程，才能求得運算結果，從而促使數學運算、邏輯推理等素養的培養落到實處；2022年新高考卷Ⅰ第12題，要求學生在抽象函數的背景下，理解函數的奇偶性與對稱性、導數等概念以及它們之間的聯系，要求學生具有數學抽象、邏輯推理等核心素養。

二、教學建議

（一）突出必備知識，引導教學回歸基礎

新高考卷以《課程標準》提出的學業質量標準和課程內容為命題依據，將函數的概念、性質作為解決數學問題的起點，強調對函數概念、性質、運算法則的理解和應用，突出基礎性。試卷中基礎題占比穩定，讓大多數學生都能正確解答，增強學生的解題信心，著重考查學生對數學基礎知識和基本技能的掌握情況。根據對近三年新高考卷試題和《課程標準》的分析，一線高中數學教師應處理好基礎知識、基本技能與核心素養之間的關系，建立三者之間的銜接路徑，引導教學回歸基礎。在教學過程中，教師要通過開展認知活動，引導學生掌握數學必備知識和基本技能，體會其中蘊含的數學思想方法。新高考卷加強對基本函數概念和性質、基本方法與法則、基本技能、基本函數模型的考查，增強考試內容的基礎性，引導教學夯實學生基礎。

例1（2021年高考數學新高考卷Ⅱ）14.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數f（x）：_________________。

①f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）；②當x∈（0，+∞）時，f（x）>0；③f（x）是奇函數。

本題屬于結論開放性問題，試題設計是“結構不良問題”，答案開放，但考查的并不是很偏、很難的知識點，而是函數和導數的基礎知識。因此，在教學過程中，教師可以通過創設問題情境引導學生構建數學知識之間的聯系，注重引導學生感悟數學通性通法，夯實數學必備知識，使得教學回歸基礎。

（二）創新試題情境，引導學生學以致用

近年來，情境化試題成為新高考試題的主要呈現方式，體現出數學學科考試由“知識立意、能力立意”向“素養立意”的轉變。情境教學讓學生在情境中感受、在情境中思考討論。創設情境為培養學生數學探究與數學思維提供了支持，能夠有效地激發學生的學習熱情，使學生能夠在教師引導下運用所學知識和已有的生活經驗解決現實中的問題，從而加強數學與現實的聯系。因此，教師在教學中要注意通過實際例子抽象相應的函數概念，將現實情境轉化為數學情境，以數學問題來支持函數概念的學習。

例2（2020年高考數學新高考卷I）6.基本再生數[R0]與世代間隔[T]是新冠肺炎的流行病學基本參數。基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：[I（t）=ert]描述累計感染病例數[I（t）]隨時間[t]（單位：天）的變化規律，指數增長率[r]與[R0]，[T]近似滿足[R0=1+rT]，有學者基于已有數據估計出[R0=3.28]，[T=6]。據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需的時間約為（ ）。

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

本題以新冠疫情為背景，將學生現實生活中遇到的熱點問題嵌入試題中，有助于學生將學到的函數基礎知識、思想方法與生活實際問題聯系起來。因此，教師在教學過程中要從函數的基礎知識出發，挖掘其在不同背景、不同學科中的應用內容和形式，創設多樣化的問題情境，引導學生在掌握基礎知識的基礎上，拓展與遷移知識，最終實現聯系實際、學以致用。

（三）轉化與化歸，注重本質探究

數學思想是數學知識的本質體現，數學知識又是數學思想的具體呈現。函數相關試題重點考查了轉化與化歸的思想。作為高中數學重要的函數模型，三角函數當中蘊含著轉化與化歸思想，因此，教師在教學時，不僅要充分利用單位圓幫助學生理解三角函數的定義、公式推導等知識，更要在教學誘導公式、函數y=Asin（ωx+φ）等知識的過程中，注重對其本質進行探究，將轉化與化歸思想貫穿始終。

例如，在誘導公式的教學中，教師借助單位圓，在任意角的三角函數定義的基礎上，建立任意角的三角函數值與跟該角終邊具有對稱關系的角的三角函數值之間的關系，從而將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，體會轉化與化歸的思想；運用誘導公式求三角函數值時，先將負角三角函數轉化為正角三角函數，再進行0—2π內的三角函數的轉化，最后將其轉化為銳角三角函數，體會轉化與化歸的思想。

（四）提升邏輯推理與數學運算素養

近年來，新高考命題以學科核心素養為導向，體現育人功能。從表2可以看出，函數相關試題不僅考查學生對基礎知識的理解，還側重對學生學科核心素養的考查，特別是對邏輯推理素養與數學運算素養的考查，強調知識的遷移與應用。因此，邏輯推理素養與數學運算素養應成為教師在函數教學中需要著重培養的內容。

一方面，教師要重視鍛煉學生的數學思維，提升學生的邏輯推理素養。在教學函數的過程中，教師以問題為載體，通過問題串的形式，逐層遞進，步步探索，不僅重視學生對知識的理解，還重視推導過程，從“如何激發學生思維”出發，引導學生主動探索，嘗試解釋原因、機理，理解知識的內涵。在發現和探討的過程中，教師引導學生理解知識，明白數學的嚴謹性，形成嚴密的思維邏輯鏈條，突出以學生為主體的教學理念。通過探究一般性結論，引導學生把握事物的本質屬性，形成條理清晰、論據明確的數學思維習慣，從而提升邏輯推理素養。

另一方面，教師要注重開展思維訓練，提高學生的數學運算素養。如通過例題和適當練習，加深學生對所學函數知識的理解與應用，使其深刻體會函數知識的內涵。在練習的過程中，學生從函數知識的簡單應用出發，不僅鞏固了所學知識，而且拓展數學思維，從而發展數學運算素養。

函數不僅是現代數學基本概念，還是高中數學內容的主線之一，貫穿在整個中小學數學教學過程當中。高考數學新高考卷函數部分試題既立足于《課程標準》，考查函數基礎知識，又具有一定的創新性，指向數學學科核心素養的考查。試題聚焦數學學科核心素養，有效突出數學學科特色，體現高考選拔功能。在廣西實施新高考的背景下，一線教師非常有必要深入研究已有新高考試題，找準教學方向，從而更從容地迎接新高考帶來的機遇與挑戰。

參考文獻

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注：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2021年度專項課題“基于高中生數學核心素養發展之研究性學習的開展策略與實踐研究”（2021ZJY1814）的研究成果。

作者簡介：賴婷婷（1997— ），廣西南寧人，主要研究方向為數學教育；

楊燕（1990— ），廣西南寧人，講師，主要從事中小學數學課程與教學研究；

毋曉迪（1992— ），碩士，講師，主要研究方向為數學教育。

（責編 劉小瑗）