從畫數學到思維化

馮麗萍

【摘 要】“幾何直觀”是小學數學關鍵能力之一，“畫”是學習數學的常用技能。本文以蘇教版小學數學低年段教學為例，分析“畫數學”的教學現狀，研究畫數學對兒童數學思維尤其是幾何直觀發展的價值，探索多種畫數學的策略以期提升兒童數學思維。

【關鍵詞】畫數學 數學思維 幾何直觀

一、現狀

1.教師缺乏“畫數學”的培養意識

“掌握測量、識圖和畫圖的技能”是小學階段數學課程目標之一。而掌握技能需要階段性和連續性地練習和鞏固，光憑課堂上的教學是不夠的。蘇教版小學數學教材中設計了許多貼近生活的情景圖，教師可借助直觀的事物或操作幫助學生理解知識。對比“畫數學”的畫圖技能目標，多數教師停留在正確畫出幾何圖形的標準，沒有充分挖掘“畫圖”背后的思維價值。如低年段教材中的示意圖，學生在分析數量關系時，從借助表象到形成抽象過程中，教材中也相繼呈現從可視化到思維化的解題要求，可教師往往以示范畫為主，并沒有讓每個學生嘗試并學會繪制，受課時因素與教學方法的限制，很難有效培養學生畫示意圖的能力等。

2.學生缺乏“畫數學”的運用意識

在小學數學日常教學中，學生對于明確要求的“畫圖”掌握相對較好，可對于一些抽象知識點的學習存在較大難度，導致理解知識點時經常出現各種各樣的偏差。學生沒有“我要畫”的意識，因而教師常講常演，學生常練常錯，已經形成錯誤的思維定式。采訪發現，有的學生不會用畫圖準確表達題意，有的學生想不到用畫圖的方式去解決問題，從而沒有路徑去有效地開展思維活動。

二、研究意義

（一）多維理解畫數學對教師數學課堂教學的意義

1.學科特點

數學教學在幾何教學、數的認識與運算、問題解決和認識的深化方面要用到圖形。圖形的應用，尤其是直接動手畫圖有助于學生更好地理解題意，準確找出數量關系。圖形的使用十分利于學生元認知能力的提升，從而更有效地解決問題。而數學中的“畫圖”不只是指由抽象向具體的回歸，也與抽象分析密切相關，包括我們應如何通過適當的抽象建構出一種新的圖形、一種與簡單的直觀圖完全不同的抽象圖形。

2.課標指向

課標指出，在數學課程中，應當注重發展學生的幾何直觀。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。所以，教師應引導學生運用圖形直觀地表征各種思想方法，經歷從“畫數學”到“思想化”逐步抽象的過程，借助幾何直觀把復雜的數學問題變得簡明、形象，進而在探索解決問題的思路中，更好地掌握“數形結合”“假設”等數學思想。

（二）充分認識畫數學對兒童幾何直觀發展的啟示

直觀想象是數學核心素養之一，對標的關鍵能力是直觀感知、空間觀念和幾何直觀，幾何直觀的表現水平有以下三點：水平一是能用圖形表示數或簡單情境中的數量關系；水平二是能用圖形表達和分析稍復雜問題情境中的數量關系；水平三是能用圖形表達和分析非常規情境中的數量關系。有學者指出：“任何表征都能夠表達部分但不是全部的信息，凸顯其中的一些方面而隱藏另一些，所以說，單一的表征形式不利于學生對知識的全面理解。”所以，引導學生掌握“畫數學”的能力，可以進一步發展學生的幾何直觀，培養學生的數學思維。

三、教學策略

（一）激發學生“畫數學”的內需力

1.畫出“看不見”的數學信息，突破難點

小學低年段數學教學中，學生常通過數一數、擺一擺、撥一撥的方式理解數量、數量間的關系和計算算理等，但遇到數量關系較為抽象的問題，學生在解決問題時發現難度較大。如圖1（蘇教版小學數學一年級上冊第106頁思考題），從圖中可以看到“從前往后數，第5只是小鹿”；而“從后往前數，第8只是小鹿”中部分小動物被大樹遮住了，無法通過數一數的方式知道“一共有多少只小動物”，這時教師可以引導學生用簡畫圖表示題中的條件及問題，如圖2，用小棒表示其他動物，用圓圈表示小鹿，我們可以清楚地看到小鹿前面和后面的數量，突破題中部分條件“看不見”的難點。

2.畫出“易混淆”的數量關系，理清思路

低年段數學的數量關系涉及“一部分數+另一部分數=總數”和“份數×每份數=總數”這兩個基本模型及其變式，學生比較容易混淆。如 “一共有21盆花，送給幼兒園一些后還剩7盆，送給幼兒園多少盆？”（蘇教版小學數學二年級上冊第75頁第8題中的第2小題），有學生用除法“21÷7=3（盆）”來解決，原因是學生不能厘清“平均送給”和“送給一些”之間的區別，這時可以嘗試用畫圖來整理題意，如圖3，先用大括號表示一共有21盆花，再用虛線框表示送給幼兒園一些，用小棒表示“還剩7盆”，這樣就可以明顯地看出送走的盆數是總數的其中一部分，要用減法求送走的盆數，而不是把總數平均分，用除法求出平均分的結果，從而厘清“易混淆”的數量關系。

3.畫出“難理解”的思考過程，抓住關鍵

劉曉玫學者研究了我國小學數學幾何直觀能力規律及水平劃分，其中，二至三年級適合較少概念并只與空間想象有關的問題情境，屬于水平1——（完全）直觀想象階段。低年段學生對一些單一概念的疊加操作，如“鋸木頭”“間隔栽樹”“來回一趟”“對折2次”等理解不到位，往往把“對折2次”認為是“平均分成2份”，這時教師不僅要通過實物演示幫助學生理解“把一根繩子對折1次就是把它平均分成2份，把一根繩子對折2次就是把它平均分成4份”，還需要引導學生在積累了操作經驗的基礎上把對折的過程想出來，把對折的結果畫下來，如圖4所示，從而抓住解決問題的關鍵。

（二）鍛煉學生“畫數學”的實踐力

1.豐富“畫”的經驗值

很多學生常用畫小棒的方式來表征簡單的數學問題，遇到較為抽象或者與生活經驗密切相關的實際問題時，學生畫圖的水平還有待提高。教師要喚醒學生的生活經驗，開展實踐操作活動豐富學生的直觀經驗，積極滲透畫圖技巧。如 “路的兩邊一共插了16面彩旗，平均每邊插多少面彩旗” （蘇教版小學數學二年級上冊第97頁第17題），學生對“路的兩邊”有一定的常識了解，但理解“16面彩旗”時想成“每邊都有16面”，用“16＋16=32（面）”來解決。教師需要引導學生用畫圖還原插旗的過程，從而更好地理解題意，幫助學生正確分析數量關系。

2.增強“畫”的理解力

低年段學生的看圖能力相比畫圖能力更強，在試卷評析時，看圖列式的得分率相比解決實際問題高出許多。教師在日常教學中要引導學生認識、理解和善用“大括號、實線框、虛線框、豎線、斜線、一一對應符號、問號”等有特定數學含義的構圖要素來表達題中的有效條件和問題，使復雜的數學問題變得簡明、形象，促進學生的幾何直觀。如“先估一估是多少，再數出來”（蘇教版小學數學一年級上冊第83頁第4題），學生在數的時候需要通過“滿十個圈一圈”的方法讓人一眼看出物體的數量，如圖5，這就需要學生充分理解“10個一是1個十”，進而掌握“圈十法”，并運用到計數單位的學習中。

3.完善“畫”的整體性

畫圖過程中，教師還要指導學生完善“畫”的整體性，如準確描述題中的有效條件及問題，在圖上標出數據和單位，養成數形結合共同表征問題的習慣，還要關注隱蔽條件的表征，如“同樣多”“每條邊一樣長”等。

3.提升學生“畫數學”的思維力

1.有序思考

“畫數學”其實就是把靜態的文字和動態的數據變化用簡潔的數學語言表達的過程，它能反映學生的思維狀態和水平。低年段學生大都按“從所給條件想起”或者“從所提問題想起”兩種有序的思考方式來解決問題，無論是哪一種，都能建立各個數量之間的層級關系。如 “把24本書平均分給3個小組，每個小組分得多少本？你還能算出平均每人分得多少本嗎” （蘇教版小學數學二年級上冊第86頁第4題），按題目要求先求“每組本數”，再求“每人本數”，通過畫圖可以幫助學生理清總數和份數分別是多少，如圖6所示。

2.構建模型

“畫數學”的結果除了理解題意和理清關系，更有助于建構數學模型。如“小英做了11朵花，小華比小英多做3朵，小華做了多少朵” （蘇教版小學數學二年級上冊第8頁例4），根據題意用圓形表示花朵，先畫出小英的花朵數量，再通過一一對應，把小英做的朵數加上小華比小英多做的3朵就能求出小華做的朵數，如圖7所示，從而得出該類問題的一般模型：較少的量＋相比多出的部分=較多的量。

總之，“畫”是學習數學的常用技能之一，教師在教學過程中應引導學生“畫”數學，以提升學生的數學思維。

【參考文獻】

[1]吳賢.數學表征與兒童數學思維發展——基于中美比較視角[J].教育研究與評論（小學教育教學），2018（2）.

[2]劉曉玫. 小學生空間觀念的發展規律及特點研究[D].長春：東北師范大學，2007.