指向數學思維能力培養的小學數學教學實踐與反思

劉珍

【摘要】“會用數學的思維思考現實世界”是數學核心素養之一。數學思維是一種理解與解釋現實世界的數學思考方式，數學思維能力是學生應當具備的關鍵能力。數學思維能力培養應當立足現實世界，以數學概念為起點，以數學符號為語言，以思維導圖為工具，培養學生數學思維能力。

【關鍵詞】數學思維；數學概念；數學符號；思維導圖

數學思維是一種理解與解釋現實世界的數學思考方式。數學思維能力是學生應當具備的關鍵能力，培養學生數學思維能力是數學教學的重要目標。數學思維能力具體體現在以下幾個方面：一是對數學基本概念和法則的理解；二是對數學基本方法與結論的論證；三是對數學實際問題的分析與解決；四是發現情境中所蘊含的數學規律；五是具有質疑問難的批判思維；六是形成講道理、有條理的思維品質。

一、以現實世界為數學思維的起點

1.以實物模型為依托

數學是研究數量和圖形的科學，數和形都是從客觀事物中抽象出來的。小學生的思維以形象思維為主要方式，是以直觀形象和具體表象為支撐的思維過程。形象思維是學生數學抽象思維發展的基石，因此，在數學思維能力培養中，要發揮學生形象思維的優勢，借助直觀教學，引導學生逐步向抽象思維發展。

教師在數學教學中，首先要以實物模型為依托，引導學生去觀察、操作，形成直觀動作思維，在親身感知中體驗，了解物體的特征，抽象出事物的本質屬性。譬如，在教學“1-5的認識”一課中，筆者給學生準備了圓片、小棒等實物，讓學生擺一擺、數一數，增加感性認知，幫助學生形成表象，抽象出數，建立數感。在教學“觀察物體”一課中，筆者借助“投票箱”，引導學生從不同角度去觀察，認識“前面”“上面”“右面”，給學生提供小正方體，讓他們親手擺一擺、看一看，從實物中抽象出平面圖，實現物與形的有效對接。

2.用生活情境去點燃

情境是帶有情緒色彩的具體形象的場景，具有情感性與直觀性雙重特點，既有助于激發學生情感，調動學生學習積極性，又能使數學變得生動形象，幫助學生感知理解。生活是數學的源泉，情境創設需要生活化，生活情境真實性與可感性強，對于數學思維培養具有重要價值，教師可以創設生活情境，用生活情境去點燃學生情思，喚醒學生生活經驗，叩開學生思維的心扉。

在創設生活情境時，教師既要基于生活現實，又要升華生活內容。教師可以借助生活事物、生活現象等來創設教學情境，將生活與數學有機聯系起來。可以借助多媒體來呈現生活情境，采取游戲活動、實踐活動等方式來設置生活情境，提高數學知識的形象性、趣味性、思考性，以激發學生的數學學習興趣，點燃學生的數學思維火花。例如，在教學“簡單的周期”一課時，筆者借助多媒體課件，給學生展示了一幅生活場景圖：為慶祝祖國七十華誕，學校進行了精美布置，大門兩旁擺放了一盆盆鮮花，一面面彩旗迎風飄揚……筆者邊引導學生觀察場景圖邊提問：“這個場景美不美？”“美！”學生齊聲回答。“美在哪里？”筆者追問道。有的學生說：“色彩美！”有的學生說：“整齊美！”有的學生說：“規律美！”就這樣，形象生動的生活情境，不僅吸引了學生注意，而且誘發了學生思維，自然引入對“物體排列規律”的探究。

3.借實際問題來誘發

學起于思，思源于疑。數學學習始于問題，數學知識是問題之花結出的果實，在思維型數學課堂中，教師要善于借助問題進行教學，要引導學生發現問題和提出問題，在解決實際問題中獲得知識，發展能力。

好的問題應當具有探究性，能夠喚醒學生的思維；好的問題具有激勵性，能夠促進學生學習動力；好的問題具有真實性，是學生身邊的問題，而不是虛構的問題，是學生熟悉的實際問題。實際問題有利于引發學生好奇，驅動學生思維，實際問題有利于喚醒學生生活經驗，激發學生思維靈感。筆者在數學教學中，時常借助現實中的問題，創設教學情境，誘發學生思維，激發學生探究。例如，在教學“平均數”一課時，筆者創設了比較期末考試中第一、二小組哪一組數學成績好的問題情境，請學生幫助老師計算第一、二小組數學平均分以及全部平均分。該問題情境有效激發學生探究興趣，誘發學生積極思考。筆者趁機引導學生在問題解決中認識平均數，理解平均數代表整體水平，實際上是一種“移多補少”的結果，懂得計算平均分可以“先合后分”，先求出各組總分，再除以每組人數，就得到小組平均分。

二、以數學概念為數學思維的細胞

1.創建概念背景，播撒思維種子

俗話說得好：“萬丈高樓平地起。”新知以舊知為基石，新概念以舊概念為前提，抽象思維以形象思維為基礎。在數學概念教學中，教師要充分利用學生的原有知識，立足學生最近發展區，創建概念背景，淺化抽象概念，創設思考情境，播撒思維種子。

小學生的思維發展經歷了從具體到抽象，從簡單到復雜的過程。在創建概念背景時，要根據學生的學習特點，結合學生的思維特征，給學生提供感性資料，營造思維情境，豐富學生感知體驗，喚醒學生的主動思維、具象思維，引發學生通過對新舊知識之間的關聯，由淺入深地探究構建出新的數學概念。例如，在教學“從前面、上面和右面觀察物體”一課中，筆者借助投票箱、正方體木塊等實物，給學生提供視覺感知支撐，引導學生借助生活經驗，理解前面、上面和右面。同時，根據以前學習過的長方形、正方形等圖形知識，學會將觀察到的面轉化為圖形，有效培養了學生想象能力和空間觀念。

2.經歷概念形成，開出思維之花

概念的建構需要一個過程，是從外部到內部，從非本質到本質特征轉化的過程。概念的形成經歷一般包括“具體感知”“抽象化”“類化”“辨別”四個環節，每一個環節都需要思維的參與。在概念的形成過程中，學生動手操作、比較分析、抽象概括，學生的思維也隨之發展。

讓學生經歷概念形成的過程，是訓練學生數學思維的最好方法。在概念教學中，教師要激發學生思考的興趣，留給學生思考的時空，要依托實踐探究，引導學生逐步感知，有序思考，可以提出優質問題，用提問催開學生思維之花。實物表征是概念學習的初始環節，是數學思維的萌芽階段，該階段以感性認知與形象思維為主，在此基礎上，教師可以引導學生用圖形表達數學內容，進入圖形表征階段，形成一定的表象思維。最后，教師可以引導學生對比分析，抽象提煉，把握概念本質，用數學語言符號表達概念內涵，給出概念定義，建構出概念模型，該環節是符號表征的過程，促進了學生抽象思維能力的發展。例如，在教學“三角形的認識”一課中，筆者首先給學生出示三角板，讓他們觀察觸摸，然后讓學生拿出三根小棒，圍出一個三角形，接著，讓他們動手繪畫，用筆畫出一個三角形，就這樣，引導學生在操作中感知體驗，一步步認識三角形的特征，增強對三角形內涵的理解，最終提煉出三角形的概念：三條線段首尾相接圍成的圖形叫做三角形。

3.深化概念應用，締結思維果實

學生數學思維能力的發展如同植物的生長，遵循一定的規律，需要一定的時間，它既不可能一蹴而就，也不會停滯不前。需要經歷引入、形成、鞏固漫長的過程，需要在應用中理解，在應用中深刻。概念的應用是深化概念的過程，同時是締結思維果實的階段。應用概念的過程也是解決問題的過程，同時是知識和方法遷移的過程，學生的視野會在應用中開闊，思維會在應用中靈動發散。

概念應用實際上是從抽象化返回到具象化，將抽象概念應用到具體的情境中，用概念指導實際問題的解決，同時在解決問題的過程中，學會舉一反三，實現思維進階，提高思維能力與解決問題能力。例如，在教學“認識垂線”一課中，筆者引導學生在對情境圖的觀察中感知垂直，利用三角尺的直角的比較中認識垂直，在測量比較中懂得“垂線段最短”。在學生掌握了垂直、垂線、點到直線的距離等概念后，筆者設計了幾組練習：看圖判斷誰的家離學校最近？老師是怎樣測量跳遠成績的？如何修建一條最近的道路？學生應用概念解決生活實際問題，在生活化的應用中分析思考，辨析感悟，思維能力得以進一步提高。

三、以數學符號為數學思維的語言

1.感受數學符號的直觀簡約

數學符號化能力很大程度上影響學生的數學思維能力，學生掌握了數學符號及其應用，思維能力和解決問題能力自會提升，教師應當把數學符號教學作為數學思維能力培養的抓手，通過培養學生符號化能力提高學生的思維能力。

在數學符號教學中，教師不能直接將數學符號灌輸給學生，而要引導學生自主探究，主動分析加工，獲得數學符號建立符號模型。在教學中，教師首先要利用學生身邊的實物，結合學生生活經驗，引導在實物感知中與圖形建立聯系，引導學生感受數學符號的直觀性，以激發學生對數學符號的興趣，提高符號學習的效率，增強學生的符號感。數學符號不僅直觀，而且簡約，應用符號可以使數學概念、數量關系等變得清晰、簡單，教師可以在數學教學中引導學生感受符號的簡約魅力與價值，增強學生的符號意識。

2.感知數學符號的廣泛應用

數學符號作為思維的語言，不同于一般的日常語言，不僅形式簡約，而且內涵豐富。數學符號的應用廣泛，可以用于表示數學規律，用來概括數學概念，用以表達數學模型。數學符號可以作為思維模式。數學符號的應用，是培養學生數學思維的重要途徑，學生在應用符號化的概念、公式等解決問題過程中，實現形象思維與抽象思維的鏈接，促進數學思維的發展。

教師在數學教學中，應當為學生創設應用數學符號的機會，引導學生感知數學符號的廣泛應用，在應用中展開符號化思維，提高數學思維能力。教師可以在規律探討與符號化表達的過程中，發展學生數學思維。例如，教學“三角形三邊的關系”一課中，在引導學生探索出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一規律后，為了幫助學生更好地理解和記憶這一規律，筆者引導學生將規律符號化，用字母表示三角形的邊，用“a+b>c”表達三角形的三邊關系，使得這一知識點既抽象又形象，既簡潔又直觀。

3.提升數學符號的轉換能力

“用數學的語言表達現實世界”是數學課程的核心素養之一，數學符號作為一種高度抽象的數學語言，充分體現了數學的簡約性與精確性。數學符號的轉換能力標志著學生的數學思維能力水平，符號轉換是訓練學生數學思維能力的重要策略。

符號轉換主要是將語言表示轉換為關系式、表格、圖像等符號形式，用不同的形式描述和呈現數學對象。符號轉換可以幫助學生記憶數學知識，還能加深對概念或問題的深入理解，拓寬問題解決的路徑，實現數學解題策略的多樣化。符號轉換教學，可以訓練學生數學思維，讓他們用不同方式思考問題，培養學生思維的發散性與創造性。例如，在教學“三角形的面積計算”一課中，筆者在組織學生操作活動結束后，組織學生進行比較分析，根據平行四邊形與三角形各部分之間的關系，推導總結出三角形面積計算方法，引導學生將文字描述轉換為文字公式，并進一步將文字公式轉換為字母公式。

四、以思維導圖為數學思維的工具

1.利用思維導圖編織思維鏈條

思維導圖用途廣泛，可以用于數學知識的脈絡梳理，用于問題解決的思路設計，思維導圖還可以幫助學生深入理解知識的形成過程，完善知識的結構體系，以提高數學學習的深度。利用思維導圖梳理知識脈絡時，先要確定思維導圖的中心，然后逐級添加二級標題、三級標題等等，依次進行細分，形成若干分支。在文字表達時需進行精簡，要提煉出關鍵詞，并用線條、符號等將關鍵詞依次連接起來，形成樹形圖或網狀圖等形式，這樣可以將眾多分散的數學知識點有機串聯起來，形成直觀、系統、嚴謹的知識結構。

總結知識的過程，更是鍛煉思維的過程。用思維導圖梳理知識的過程，不僅幫助學生構建了完整的知識體系，而且幫助學生理清了知識間的邏輯關系。思維導圖將知識分層，讓知識具有層級性，思維導圖中的每一個分支都是一根思維鏈條，學生在編織這根知識鏈條的過程中，思維也變得更加富有邏輯。筆者在數學教學中，常常引導學生利用思維導圖編織思維鏈條，梳理知識脈絡，建構知識體系，發展數學思維。例如，在教學《多邊形的面積》一單元后，筆者就引導學生嘗試繪制思維導圖，將長方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積及相互關系表達出來，幫助學生厘清了它們之間的關系，促進了對每個圖形面積計算公式的理解和記憶。

2.利用思維導圖突破難點堵點

無論是在數學概念的建構中，還是在數學問題的解決中，學生的思考不會一帆風順，有時會產生思維盲點，遇到思維障礙，這就需要教師及時伸出援手，幫助學生疏通思維堵點，助力學生飛躍思維鴻溝。思維導圖可以讓學生插上有力的思維之翼，幫助學生突破學習中的難點堵點，飛躍思維的天塹。

思維導圖具有明顯的開放性，能夠讓學生思維變得發散，幫助學生走出定向思維，找到新的靈感，從而另辟蹊徑，發現新的解題方法。思維導圖將知識關聯起來，可以幫助學生快速找到新舊知識之間的關系，引導學生進行題型歸類，可以幫助學生明晰思路，提高學生解題思維，從而突破學習難點。

思維導圖是學生思維的結晶，為學生提供了問題解決的思路與框架，思維導圖有助于學生探究學習，有利于學生分析解題。

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