材料驅(qū)動(dòng)，助推學(xué)生空間觀念的發(fā)展

胡夢(mèng)迪

［摘 要］發(fā)展學(xué)生的空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，其有益于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。以一類長(zhǎng)方體體積的練習(xí)題開始思考，從提供平面素材、增加操作環(huán)節(jié)、重視經(jīng)驗(yàn)積累、延伸知識(shí)結(jié)構(gòu)四個(gè)角度出發(fā)改造習(xí)題，有效發(fā)展學(xué)生空間觀念。

［關(guān)鍵詞］空間觀念；長(zhǎng)方體體積；練習(xí)題

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）11-0052-04

什么是空間觀念？孔凡哲教授認(rèn)為空間觀念是學(xué)生主動(dòng)、自覺或自動(dòng)化地“模糊”二維和三維空間之間界限的一種本領(lǐng)，是一種可以把握的能力；《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出空間觀念是“核心素養(yǎng)”的主要表現(xiàn)之一，是幾何課程改革的一個(gè)核心概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，空間觀念主要涉及圖形與幾何領(lǐng)域，下面，筆者就對(duì)該領(lǐng)域內(nèi)“長(zhǎng)方體的體積”（人教版教材五年級(jí)下冊(cè)）這一課的習(xí)題進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的教學(xué)目標(biāo)。

一、教材習(xí)題

習(xí)題1（教材第31頁(yè)）：一塊長(zhǎng)方體肥皂的尺寸如圖1所示，它的體積是多少？

習(xí)題2（教材第33頁(yè)）：建筑工地要挖一個(gè)長(zhǎng)50 m、寬30 m、深50 cm的長(zhǎng)方體土坑，一共要挖出多少方的土？

學(xué)生反饋（見表1）。

習(xí)題1和習(xí)題2是一類在簡(jiǎn)單情境下考查長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式的練習(xí)題。這兩題都是提供線段長(zhǎng)度，讓學(xué)生求體積。根據(jù)題目信息，學(xué)生很快就能想到套用公式V=abh來解答問題。從學(xué)生較高的解題正確率來看，學(xué)生對(duì)公式掌握得很扎實(shí)，偶有出錯(cuò)也是計(jì)算過失，或是沒有進(jìn)行單位換算，只要仔細(xì)審題，這些錯(cuò)誤是完全可以避免的。因此，用這類練習(xí)題來幫助學(xué)生鞏固對(duì)公式的記憶和應(yīng)用是非常合適的。然而對(duì)立體圖形的教學(xué)，不能僅僅止步于學(xué)生對(duì)公式的熟練應(yīng)用，更應(yīng)該發(fā)展學(xué)生的空間觀念，讓學(xué)生看到線段長(zhǎng)度后頭腦中就能構(gòu)造出長(zhǎng)方體的形狀，再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。

二、策略探索

五年級(jí)學(xué)生的抽象思維和空間想象能力正在逐步發(fā)展，習(xí)題訓(xùn)練的重點(diǎn)應(yīng)是立體圖形在頭腦中表征過程的經(jīng)驗(yàn)積累。重新設(shè)計(jì)習(xí)題，即在提供平面素材的基礎(chǔ)上增加動(dòng)手操作和想象環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷用若干個(gè)平面構(gòu)造成立體圖形的抽象思考過程，以“模糊”二維和三維空間之間的界限，對(duì)長(zhǎng)方體與其他立體圖形的“面”“體”關(guān)系的探究進(jìn)行拓展延伸，實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生空間觀念的教學(xué)目標(biāo)。

1.提供平面素材，培養(yǎng)信息分析能力

如何讓學(xué)生重新組織材料，經(jīng)歷構(gòu)建長(zhǎng)方體的過程？筆者設(shè)計(jì)了一道開放性習(xí)題。

學(xué)習(xí)要求：（1）獨(dú)立思考。通過剪、拼、畫、想，你得到的長(zhǎng)方體是什么樣的？體積是多少？（2）討論交流。（3）成果分享（以表格的形式呈現(xiàn)，見表2）。

這道習(xí)題提供的素材都是長(zhǎng)方體的側(cè)面，學(xué)生需要先分析素材的信息，再建構(gòu)立體圖形。學(xué)生通過讀題，會(huì)發(fā)現(xiàn)習(xí)題提供的四個(gè)長(zhǎng)方體側(cè)面數(shù)量是不同的，其中1號(hào)長(zhǎng)方體給足了6個(gè)面，而其余3個(gè)長(zhǎng)方體只呈現(xiàn)了6個(gè)面中的若干個(gè)面。此外，根據(jù)側(cè)面的長(zhǎng)、寬這類長(zhǎng)度信息，學(xué)生要找出不同面上相同長(zhǎng)度的邊，分析哪兩個(gè)面上的哪兩條邊進(jìn)行拼接。經(jīng)歷了這個(gè)信息分析的過程，學(xué)生就能根據(jù)平面來建構(gòu)立體圖形了。

2.增加操作環(huán)節(jié)，培養(yǎng)推理想象能力

師：你得到的長(zhǎng)方體是什么樣的？

生1：我們小組用剪拼的方法。因?yàn)殚L(zhǎng)方體相對(duì)的2個(gè)面一樣，我們就把這6個(gè)面分成3組，將相同長(zhǎng)度的邊拼接就得到1號(hào)長(zhǎng)方體。

生2：我們把3號(hào)長(zhǎng)方體畫出來了。我們先畫一個(gè)長(zhǎng)方體，再把長(zhǎng)度標(biāo)上，就得到了長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，從而確定了它的形狀。

師：你們不用剪下來拼接就能得出長(zhǎng)方體，真厲害！

生3：我看一眼就知道1號(hào)和2號(hào)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高了。因?yàn)殚L(zhǎng)方體的面上共有三種不同的長(zhǎng)度，而這三種長(zhǎng)度正好就是長(zhǎng)、寬、高。

生4：我找不到4號(hào)長(zhǎng)方體的高。

師：其他人找到了嗎？4號(hào)長(zhǎng)方體的高到底是多少呢？這個(gè)疑問先留著，我們待會(huì)再解決。

從反饋中可以看出，學(xué)生的思維非常清晰。根據(jù)題目提供的側(cè)面，通過剪、拼、畫等操作，搭建了長(zhǎng)方體。有學(xué)生甚至能根據(jù)側(cè)面上的線段的長(zhǎng)度關(guān)系和位置關(guān)系直接想象出長(zhǎng)方體的形狀。在這個(gè)過程中，學(xué)生的推理想象能力發(fā)展過程如圖3所示。

3.重視經(jīng)驗(yàn)積累，培養(yǎng)歸納概括能力

經(jīng)歷了上一個(gè)環(huán)節(jié)的操作與想象，學(xué)生已積累了對(duì)立體圖形的推理和想象經(jīng)驗(yàn)，接下來依托這些經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生將能探究更深層次的空間位置關(guān)系，歸納概括新的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

（1）探究面的位置關(guān)系

確定長(zhǎng)方體的形狀，是否一定要知道一個(gè)長(zhǎng)方體的所有側(cè)面呢？如減少側(cè)面的數(shù)量，還能確定其形狀嗎？至少需要哪些面？由此，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比探究圖2中的四個(gè)長(zhǎng)方體。

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)知道了長(zhǎng)方體的側(cè)面中隱藏著長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。3號(hào)長(zhǎng)方體只給了2個(gè)面，你們也能找到長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，4號(hào)長(zhǎng)方體跟3號(hào)長(zhǎng)方體一樣，也給了2個(gè)面，為什么找不到長(zhǎng)方體的高呢？

生1：因?yàn)榻o出的4號(hào)長(zhǎng)方體的2個(gè)面是一樣的，是相對(duì)的面，所以不能確定高。

生2：我覺得不一定，如果這2個(gè)面是相鄰的，體積就有兩種情況，即15×15×8和15×8×8。

師：看來2個(gè)面的位置關(guān)系是關(guān)鍵，必須是相鄰的面，不能是相對(duì)的面。那只留1個(gè)面行嗎？

生3：不行！只留1個(gè)面就只能獲得長(zhǎng)、寬、高三者中的兩個(gè)信息。

師：研究到這里，誰能總結(jié)一下？

生4：只要確定了相鄰的2個(gè)面，長(zhǎng)方體的形狀就確定了。

從學(xué)生的回答中可以發(fā)現(xiàn)，他們不再依賴于畫圖，通過想象也能理解平面圖形和立體圖形之間的聯(lián)系（如圖4）。在這一階段，學(xué)生在頭腦中對(duì)長(zhǎng)方體的表象越來越清晰，他們能夠想象2個(gè)面的不同空間位置關(guān)系——相鄰和相對(duì)，再?gòu)闹斜鎰e出只有相鄰的面才能確定長(zhǎng)方體的形狀。

值得一提的是，開始大部分學(xué)生都認(rèn)為4號(hào)長(zhǎng)方體不能構(gòu)成，但經(jīng)過討論和交流，得出了三種不同的情況：15×8×8，15×15×8，15×b×8（b不一定）。這是一個(gè)開放性的設(shè)計(jì)，促成了學(xué)生更為熱烈的討論，他們?cè)趯?duì)面的位置關(guān)系的假設(shè)和討論中，空間觀念得到了發(fā)展。

（2）探究立體圖形的平面化

在問題都已解決后，筆者借機(jī)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的、更抽象的三維到二維的探討。

師：同學(xué)們，學(xué)到這里，對(duì)于長(zhǎng)方體的形狀、大小，你有什么想說的嗎？

生5：根據(jù)公式V=abh，我知道了長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高決定了它的形狀和大小。

生6：做了這道題，我知道了只有相鄰2個(gè)面也能確定一個(gè)長(zhǎng)方體的形狀和大小。

師：從線的角度看，一個(gè)長(zhǎng)方體有12條棱（線），精簡(jiǎn)到3條線（長(zhǎng)、寬、高）也能確定一個(gè)長(zhǎng)方體；從面的角度看，一個(gè)長(zhǎng)方體有6個(gè)面，精簡(jiǎn)到相鄰2個(gè)面也能確定一個(gè)長(zhǎng)方體。我們剛才所講的“線”“面”“體”就分別代表了幾何空間里的“一維空間”“二維空間”“三維空間”。

師：一個(gè)長(zhǎng)方體可以精簡(jiǎn)到“3線”“2面”，你能畫一畫這樣的變化過程嗎？

（學(xué)生思考、討論、畫圖，得出圖5）

這道習(xí)題的目的是驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主地實(shí)現(xiàn)面和體之間的轉(zhuǎn)換。學(xué)生解決完這道習(xí)題后，他們的空間想象和推理能力已經(jīng)經(jīng)歷了一次跳躍，此時(shí)筆者趁熱打鐵，通過語言引導(dǎo)和思維導(dǎo)圖的梳理，助推他們對(duì)長(zhǎng)方體特征進(jìn)行跨維度的、深層次的把握：原本是三維的長(zhǎng)方體，畫在紙上就變成了二維，再通過“線”“面”“體”三維之間的轉(zhuǎn)化溝通，將長(zhǎng)方體精簡(jiǎn)成“3線”“2面”。這說明學(xué)生已經(jīng)抓住了畫長(zhǎng)方體平面圖形的精髓，學(xué)生的空間觀念正逐步發(fā)展完善。

4.延伸知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)空間思維能力

考慮到在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體之后，學(xué)生還要學(xué)習(xí)正方體、圓柱、圓錐這三類立體圖形，筆者又設(shè)計(jì)了系列題組。

（1）正方體

（2）圓柱

（3）圓錐

綜上所述，通過這幾道習(xí)題，學(xué)生經(jīng)歷了“線”“面”“體”三個(gè)空間維度之間的轉(zhuǎn)換過程，加深了對(duì)這類立體圖形的特征理解，教學(xué)也初步實(shí)現(xiàn)了要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生跨維度的空間觀念的目標(biāo)。在圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)中，教師要讓學(xué)生親身經(jīng)歷活動(dòng)，經(jīng)驗(yàn)積累多了，不同維度空間之間的界限就會(huì)越來越模糊，空間觀念就可以不斷生長(zhǎng)和發(fā)展。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 唐彩斌.能力為重的問題解決式復(fù)習(xí)：以“長(zhǎng)方體的表面積、體積復(fù)習(xí)課”教學(xué)為例 [J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013（12）：35-38.

[2] 孔凡哲.小學(xué)生空間觀念的發(fā)展對(duì)策[J].新教師，2019（10）：38-40.

（責(zé)編 覃小慧）