數學文化融入高中三角函數的教學設計研究

蔡雪慧

【摘要】近幾年高中數學的教學工作中，數學文化一詞的使用頻次越來越高，教師對數學文化越來越重視，體現出數學人文價值的創新認識以及數學課程教學觀念的創新變化.將數學文化融入課堂的教學活動中，體現了文化的教育價值，體現了數學文化的生命力.從數學化的角度關注數學教學的內容創新，挖掘數學文化的教育價值，這為高中數學教師的教學活動開展開啟了一個特殊理解數學的角度和窗戶.特別是在高中新課程標準中，也體現了數學文化教育的重要思想和理念，強調了數學與生活以及其他學科之間的聯系.將數學文化和教學結合起來，可更好地讓學生感悟數學的文化價值、應用價值、審美價值.本文圍繞著數學文化和三角函數課堂融合的相關問題進行探討，希望能夠給教學工作人員帶來一定的借鑒價值.

【關鍵詞】高中數學；三角函數；教學設計

三角函數是高中數學教學的重要內容之一，在高考中依然占據著重要的位置.學生在學習三角函數過程中存在較多的困難，需要教師深度挖掘三角函數的教學創新模式，了解三角函數的解題教學方法，進一步給學生講解三角函數的發展歷史故事，豐富課堂教學的內容，提升學生的學習興趣.教師應結合數學文化的相關教育思想理念，將數學文化與三角函數教學之間有效融合起來，讓學生對三角函數的學習有一個清晰的認識，提升課堂效率.

1 縱觀數學發展歷史文化，體會數學思想變遷

在漫長的歷史發展過程中，數學家們的智慧和汗水凝聚了數學的發展歷史，數學教科書的編制與學生的認識發展、學科發展的關系密切相關.從數學的發展和思想的變化來看，把數學的發展和知識有機地結合起來，既能使學生更好地了解數學，又能引起學習的共鳴，還能使數學的歷史和文化在教育領域廣泛流傳.三角函數章節是高中第一章關于循環函數的系統性研究，也是高中數學學習的重要組成部分.但由于學生對三角函數的認識，不能很自然地跨越到圓弧和任意角度的三角函數，這就是三角學的起源和發展過程，以三角學的歷史為載體，讓學生了解三角學的發展和思想的變化，激發學生的學習興趣，為接下來所學內容打破認知壁壘.

最早的三角函數是因為天文觀察的需要，古希臘天文學家依巴谷（又譯喜帕克斯）在地球上建立了一個坐標系，他畫出了有史以來的第一張弦表，他還是首位把圓圈和對弦的數值用圖表表示出來.依巴谷又被譽為“三角之父”.

到了15世紀，在文藝復興時期，三角學也出現了.德國數學家雷格蒙塔努斯首先把三角學與天文分離開來，他于1464年出版了5冊《論各種三角形》，第一次完整而獨立地闡述了三角學.奧地利數學家哥白尼的弟子雷蒂庫斯，把傳統的弧和弦的關系改成了角的三角關系，從而對正弦的概念進行了修改.這是一個重大的突破，它使三角學的定義不再局限于一個給定的圓周的長度.16世紀，三角學與天文學科正式分開，成為一門獨立的數學學科.

隨著數學的發展和微積分的產生，函數方法，如三角函數等，逐漸受到重視.法國數學家阿爾伯特·吉拉德首先用字母sin、cos和tan來描述三角函數.角度的60進制與10進制相比，在計算功能上不太方便，所以有人提出了一種新的測角方法，弧度法就這樣誕生了.英國數學家羅杰·柯特斯首先提出了“弧度”這個概念，他并沒有給出rad這個標志，而是指出了“分數”可以代表任意角度，可用1r表示.瑞士數學家歐拉明確地提出了弧度系統的概念，1748年，在歐拉所著《無窮小分析概論》中，提出了用圓的半徑作為測量弧長的單位，即圓周角度等于2π弧度，1弧度等于周角的12π，這樣就可以將曲線和曲線的測量結合在一起.

2 引導學生感受數學之美，發現數學魅力

在三角函數的學習過程中，教師可以引導學生感受數學的魅力，可以感受圖形變化的美妙，而這些教學內容的引入都離不開數學文化的融入.首先是弧度制，體現出數學的簡潔美.在平面的度量單位中，公共角的度量單位包括弧度、角度、百分制等等，弧度的出現可以簡化計算，可以方便建立數學模型，教師可以給學生展示相關的三角函數弧度制的文化和發展過程.

比如：扇形弧長公式（弧度）：I=αR；

扇形面積公式（弧度）：S=12αR2=12IR.

當函數的參數以弧度表示時，受單位“1”的一致性影響，三角函數的平移、伸縮變換都能在形式上體現出數學的簡潔性.

例如 函數y=sin（x+1）+2的圖形，可通過將正弦函數y=sinx向左平移1個單位之后，再向上平移2個單位所得到.

當函數的參數以弧度表示時，由于單位“1”的一致性，三角函數可以和其他函數簡潔地在同一平面直角坐標系下展現圖象關系，如圖1所示.

當函數的參數以弧度表示時，產生極限公式：limx→0sinxx=1.

根據大眾的審美來看，具有各個方向上的中心對稱圖形，可以給人和諧簡潔的美感.三角函數在很長的一段時間研究內都是在單位圓中進行的，因此也被稱之為圓函數.三角函數給人以簡潔自然的美感，通過單位圓定義任意角的正弦函數、余弦函數可以將單位圓上的弧投影到坐標軸上，使整個函數運動起來.而這樣的運動過程就能體現出動軌跡以及函數的幾何美.

3 引導學生領會數學文化之用，形成數學解題思維

《普通高中數學課程標準》（2017年版，2020年修訂）提出，要加強數學與生活、其他學科的關系，提高學生運用數學的能力，使學生認識到數學的實用價值.高中學生已有主觀能動性，可以在某種程度上對事物做出價值判斷.通過對數學應用價值的認識，可以使學生更好地理解數學，更好地理解數學在各個方面的滲透和實用，從而提高學生的學習興趣.三角函數是一門獨立的數學分支，在測量、天文學、物理學等方面都具有很大的應用價值，這也是數學三角函數的起源.自希臘以來，數學已經與人們的日常生活融為一體，許多數學知識都是從日常生活中汲取和運用到日常生活中去的.數學教育應貼近實際和社會，使學生了解到數學是無處不在的.在課程中，數據計算、概率統計、生活測量、運籌規劃，這些都是與生活息息相關的.為了實現“生活化”的數學課堂，必然會引起教師的行為模式的改變和改變.在教學方式上，教師要采取多種教學方式，引導學生從生活中引進生活題材，向現實問題提出相應的知識，使學生能夠更好地把生活問題變成數學問題.通過建立模型來提高學生應用數學知識解決問題的能力，從而提高學生的學習興趣和積極性.

例如 弧度制在軍事方面的應用如圖2所示.

在融入數學文化的教學活動中，教師可通過設計良好的教學情境，調動學生學習的積極性.在教學過程中，教師給予更多教學文化內容的展示.讓學生主動參與到教學活動中，有利于引導學生進行積極思考，把握住學習的內容本質.比如，在關于三角函數概念的相關情形教學活動中，教師可以引入弧度制的歷史發展故事，將實數和角的集合建立起一一對應的關系，也為學生學習單位圓、建立三角函數概念提供了重要的基礎，這是后續數學學習函數、微積分中最重要的角度量單位.教師可以以三角學的發展為背景，通過問題解決和三角學的歷史相交融為教學的情景.

比如 以不等式sinx＜x為例進行分析：

在教學目標方面，需要引導學生理解弧度的概念，掌握弧度制和角度制之間的換算方法，能掌握任意角的正弦函數、余弦函數的定義，培養了學生數學抽象思維邏輯思維的推理能力.能夠在感受三角函數數學發展歷史的同時，掌握弧度的概念以及角度的換算.

在教學中，教師引入初中所學習的三角函數知識，比如，sin30°=12，然后引出問題：能用30°和12做比較嗎？學生開始思考，發現兩者之間的關系，一個是60進制，一個是10進制，進而引入數學文化.在早期，正弦值并不是大家所熟知的sin30°=12形式.教師在白板中展現古希臘天文學家托勒玫在其著作《天文學大成》中繪制的弦表.

然后展示60進制計算的復雜性，給學生引入10進制的計算方法和歷史發展，比如，教師展示計算40°的正弦值步驟（圖3）：

步驟：①在弦表中找出弧長為80°角，和對應的弦長值：77°8′5″，圖3中的AB弦長對應的角∠AOB =80°和弦AB=77°8′5″；

②將弦長AB轉化為10進制：

AB=77+860+8602≈77.13472222；

③列出算式計算40°的正弦值：

sin∠BOG=0.5AB60≈0.64278935.

4 借助數形結合，活躍理性思維

教師在關于三角函數的集體教學活動中，可以引入數形結合的教學方式，讓學生掌握更多數據學習的解題技巧和方法.數形結合的思想方法也屬于數學文化的重要部分組成內容，在培養學生推理能力和解決三角函數的實際問題方面發揮著重要的作用.

例如 利用數形結合證明不等式：

sinx＜x＜tanx，x∈（0，π2）.

首先，考慮構建三角形和扇形的面積關系，這樣可簡潔表達出不等式的關系，主要重點內容是弧度制、三角函數線、面積的巧妙構建，如圖4所展示.

接下來，教師借助三角函數線和弧度建立“形與數”的對應關系（如圖5所示），角α與AB與等長線段OB′與自變量x與正弦線BG與函數值y的關系.

5 結語

總之，數學文化不僅關系到學生的數學素質教育培養，還關系到學生的文化素質.因此，在高中數學教育中，應用多元的教育策略，可以改變學生的學習態度，調動學生的學習興趣，促進他們對數學的認識，提高他們的學習效率.教學中，形成一套動態的、立體的數學思維系統，讓學生能夠從容應對高考的壓力，也能受益一生.

參考文獻：

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