“雙新”背景下數學建模融入高中數學的探究

敖羚峰

［摘? 要］ 隨著教育理念的不斷更新，以及新課改的推進，新課標、新教材、新高考越來越重視對學生數學應用意識的培養與考查，數學建模作為一種重要的數學思想與學科素養，它也變得越來越重要. 但目前中學階段的數學建模課程建設才剛剛起步，缺乏實際案例. 中學應該如何開展數學建模活動呢？對此，研究者從課堂、活動兩個方面做了思考，設計了兩個案例并進行實踐，最后提出了教學策略.

［關鍵詞］ 數學建模；高中數學；案例研究

研究背景

隨著新一輪課改的推進，新的課程標準發生了較大變化，其中最大的變化就是：將數學建模上升為六大核心素養之一，并將其提煉為一條單獨的知識主線. 它指：將現實問題抽象為數學問題，再用數學方法構建模型，從而解決問題.

為了更好地落實數學建模素養，新教材中耗費了大量篇幅來講述數學建模，甚至還以專欄的形式開辟建模領地. 例如人教A版必修一教材第162頁，設計了一個“建立函數模型解決實際問題”專欄，要求學生結合數據，建立函數模型，計算茶水的最佳泡制時間. 再例如人教A版選擇性必修三教材第141頁，設計了一個“建立統計模型進行預測”專欄，要求學生結合數據，應用所學的統計模型，對城市的空氣情況進行預測，提出優化方案. 這在國內教材發展史上，從來沒有過.

新高考也呼應了“雙新”（新課程、新教材）的要求，近幾年的高考中，涌現了大量的數學建模試題. 例如2021年全國Ⅰ卷中的剪紙模型，全國Ⅱ卷中的北斗衛星導航系統模型，全國甲卷（理科）中的三角高程測量法模型；2020年全國Ⅰ卷（理科）中的埃及胡夫金字塔模型，全國Ⅱ卷（理科）中的北京天壇模型，全國Ⅲ卷（理科）中的Logistic模型；2019年全國Ⅰ卷（理科）中的斷臂維納斯模型，全國Ⅱ卷（理科）中的鵲橋模型和印信模型等. 由此可見，數學建模在新課改中，占據著越來越重要的地位.

現狀分析

數學建模在教學中實施得如何呢？事實上，不太理想. 張思明教授在一次報告中談到他們團隊在全國范圍內做了一次大數據調研，調研從兩個方面展開. 一方面是學校與教師方面，目前各中學對數學建模的重視度不夠，教師對數學建模課程的建設落實不到位，要么是課時配置不夠，學生一學期只能上一到兩次數學建模課程，遠遠達不到新課標要求的10課時的標準；要么是落實過程中有一些走樣，通過其他方式替代數學建模課程. 其中最為突出的，就是將傳統的解數學應用題與數學建模畫上了等號，即通過傳統的數學應用題的講解與練習替代了數學建模過程. 這種處理方式，并未組織學生經歷從現實情境中抽象出數學問題與模型的過程，因此學生很難體會到數學的應用價值. 另一方面是學生方面，在調研中他們發現，學生在課堂中學習課本知識的能力是很強的，這表明學生的數學思維能力并不弱. 但是，一旦接觸到現實情境問題時，學生就會感覺陌生，無從下手，因為他們還不具備將現實情境與數學情境相結合的能力. 所以，加強數學建模課程的建設以及學生數學建模素養的培養是十分有必要的.

教學案例

中學階段究竟應該如何開展建模活動呢？筆者依據自己參與建模活動與競賽的一些經驗，從兩方面談談自己的思考.

1. 立足教材知識，建設研討課堂

數學建模無處不在，可以說貫穿整個高中數學知識體系. 教師講授完某個知識后，可以專門用一到兩節課的時間，針對該章節知識，開展課堂研討活動，在活動中培養學生的數學建模素養. 上海市紀雪穎老師曾開展了“菠蘿中的數學”［1］課堂研討活動，本文在此基礎上豐富與完善數學建模.

案例1 菠蘿中的數學.

步驟1 提出問題.

師：同學們，菠蘿是我們喜歡的水果，吃菠蘿前要削皮去籽兒，去籽兒的方法有很多，能否舉例呢？

經過短暫思考，有學生說豎著切，有學生說一圈一圈橫著切，這是最容易想到的；還有一個學生很細心，他說有的水果店是斜著切的.

師：那問題來了，為什么水果店會選擇斜著切呢？難道它比其他兩種方法更優秀嗎？能否從數學角度進行解釋呢？

步驟2 分析問題.

此時，學生的新奇感油然而生. 教師再將這個問題細致化分析如下：在去籽兒的過程中，必然會削掉一些果肉，我們當然希望削掉的果肉越少越好，因此我們關注的對象即為果肉損失量. 故原始的實際問題可以提煉為：如何去籽兒才能減少果肉損失量？

步驟3 建立模型.

有了問題，接下來就是建立模型. 教師引導學生從剛剛學習過的立體幾何知識出發進行思考，很快就有學生反應到：哎，這不就是立體幾何中的最短路徑模型嗎？為了簡化問題，假定切的厚度不變，則削掉的果肉量正好與刀痕的長度成正比，長度越短，損失量也就越少，反之亦然. 此時，學生已經初步具備了建模意識.

為了進一步簡化問題，教師將菠蘿抽象為圓柱體（如圖1所示），其中“點”代表籽兒，“線”代表刀痕. 要解決的問題，進一步轉化為了學生熟悉的數學問題：怎樣切，才能使線段長度最短？學生經歷從生活語言過渡到文字語言的轉化過程，逐步養成了數學建模素養.

步驟4 求解模型.

接著教師提問：怎么計算呢？學生立即想到幾何體的表面展開圖，將立體問題轉化為平面問題. 可以看到，學生的幾何基本功還是很扎實的. 教師再提問：通盤考慮比較復雜，能否對其進行簡化呢？接著學生采用了“特殊化”思想，選取了圖形局部進行思考，并繪制了數學圖象（如圖2所示）. 其中，BD代表橫著切，AC代表豎著切，BC代表斜著切. 將線段總長度的計算轉化為了兩點之間距離的計算（兩點之間距離越短，線段總長度也就越短），即比較BD，AC，BC的長度. 在這個過程中，學生應用了平面化、特殊化這兩個數學思想，順利將立體問題轉化為了局部平面問題，從文字語言過渡到了圖形語言，進一步發展了數學建模素養.

步驟5 回答問題.

最后，學生利用平面幾何知識進行了計算，得出結論：對于常見的菠蘿，斜著切是果肉損失最少的切法.

設計意圖 這節課，從一個生活小實例出發，通過課堂研討的方式，讓學生經歷“從生活中提出問題，再轉化為數學問題，接著建立數學模型，然后求解模型，最后解決問題”的過程. 在整個過程中，學生直觀感受到了生活中處處有數學，體會到了數學的應用價值，培養了數學建模素養.

2. 取材校園環境，建設實踐課堂

數學建模不僅存在于課本之中，還大量存在于課堂之外. 在學生學習生活的校園中，處處有數學建模身影. 建筑物的高度、消防演習疏散方案、運動會3000米的跑法，都可以成為數學建模素材.

案例2 應用所學知識，測量名人塑像的高度.

由于學生第一次正式接觸數學建模，因此筆者選了一個容易操作的模型，給學生布置了一個課題：測量學校名人塑像的高度. 學生實踐后撰寫了相應報告，下面選取其中兩份，對其進行分析.

（1）應用三角知識，構建相似模型.

學生小齊利用的是三角形幾何學知識，實踐測量后撰寫報告，探究過程共六個步驟.

步驟1 構建模型.

小齊利用人高構建了相似三角形模型：找準一個A點，使得A點與人的頭頂（即點E）、名人塑像的頭頂（即點C）在同一直線上，再利用△AEF與△ACD相似計算出名人塑像的高度.

步驟2 采集數據.

小齊在理論分析框架的基礎上，到實地采集數據. 但采集數據時，小齊遇到了困難：如何準確找到A點呢？經過思考，小齊想到了相機定位的方式，逆向尋找A點的位置：先粗略估計A點的位置，再通過相機拍攝，在一定角度下，移動相機的位置，當相機中人的頭頂與名人塑像的頭頂恰好重合時，即可視為三點共線. 這個方法相當優秀，充分展現了學生的創新能力.

找到A點后，接著需要測量AF的長度，但是小齊手上沒有米尺可以使用，怎么辦呢？經過思考，小齊想到了人體測量法，即利用手臂與腳步來估測長度，多次測量后，得到AF=28×7=196（cm）.

測量DF的長度時，小齊又遇到了阻礙. 由于名人塑像位于一座平臺上，人體測量法只能到達G點，無法得到DG的長度. 但小齊細心地發現，該平臺有地磚，數一下磚塊的數量，再乘上單個磚塊的長度，便可以得到DG的長度. 最終，小齊測量得到DF=836 cm.

步驟3 計算模型.

小齊計算得到tan∠CAD=0.89，故CD=tan∠CAD×AD=918.48 cm. （如圖4所示）

步驟4 分析誤差.

這個結果與實際高度950 cm相差31.52 cm，有一定的差距，但差距不是很大. 誤差主要源于以下兩方面：①角度的測量. 逆推A點時，只是通過相機粗略估計，不能保證三點（A，E，C）共線，會有一定的偏差. ②距離的測量. 測量AF與DF的長度時，使用的是人體測量法，在行走的過程中，不能保證走的完全是直線，可能會有一定的偏離，產生一定的偏差.

步驟5 改進方案.

從誤差分析來看，后續可做如下改進：①角度的測量：使用激光筒來確定A點的位置，可使數據更加準確. ②距離的測量：使用標準米尺進行測量，并且多測量幾次，然后取平均值.

步驟6 心得體會.

實踐后，學生感悟如下：①數學存在于我們的日常生活中，因此我們的數學學習要與實際生活聯系起來. ②起初覺得這個任務挺簡單，所以本次測量活動的準備不夠充分. 但在實際操作過程中發現，原來會有很多意想不到的事情發生，以后一定要提前做好充足準備.

（2）應用物理知識，構建豎直上拋模型.

除了上述幾何方法外，還有一位學生小李采用的是物理學方法.

步驟1 構建模型.

小李從物理學的角度構建了豎直上拋模型：由一人拿著小球從身前向上拋出，拋至名人塑像頭部上方（在同一水平面上，A點與塑像頂部同高，M點高于A點），再由另一人記錄小球拋出后第一次到達A點的時間和拋至頂點M的時間，然后運用豎直上拋模型進行計算.

步驟2 采集數據.

小李興致勃勃地購買了彈力小球，并到實地開展實驗. 但在實踐過程中發現，第一次到達A點的時間與拋至M點的時間十分接近，很難同時記錄.? 為了保證觀測數據更加接近真實值，小李坐在地面上向上拋出彈力小球.

步驟3 計算數據.

利用采集到的數據，計算得到h=9.28 m.

步驟4 分析誤差.

上述數據與真實數據之間存在一定差距，該差距主要來自以下幾方面：①重力加速度的值. 本實驗采用的重力加速度g=9.8 m/s2，與實際數據有一定差距. ②忽略了空氣阻力的影響. ③人工操作存在誤差. 本實驗為純人工操作，無法保證每次拋出的點一致，而且由于身高，拋出點與落地點不可能在同一水平面上. ④人工測量存在誤差. 每次實驗的時間數據由人工觀測與記錄，實驗數據會受到人工影響.

步驟5 改進方案.

從誤差分析來看，后續可以做如下改進：①查閱真實的重力加速度，讓實驗數據更加精確. ②多人測量：單人測量會受到單人觀測習慣的影響，多人同時進行觀察，求取平均值，可使獲得的數據更接近真實值.

步驟6 心得體會.

實踐后，學生感悟如下：①感受到了所學知識在生活中的運用和學科之間的相互融合，體會到了數學的魅力. ②學到了數學建模過程和基本思路. ③由衷地感謝教師的指導和幫助，正是因為教師對教學有獨特體會和創新，學生才有了開展此次活動的機會，并有希望在今后的教學活動中加以推廣.

（3）案例分析.

通過本次實踐活動，讓學生“做中學”，體會數學建模的實踐過程，滲透數學建模素養. 從上述兩份案例中，我們認識到，學生具備以下素質：

嚴謹的科研態度. 縱觀整個數學建模過程，對方案的設計，學生經歷了多次修改與調整. 為了獲得真實、準確的數據，學生到實地并開展了多輪實驗，通過求平均值的方式減小誤差. 撰寫報告時，學生查閱了相關文獻，按照標準格式進行撰寫. 在整個活動過程中，學生都秉承嚴謹的科研態度.

靈敏的數學思維. 兩位學生在實踐過程中，都遇到了意外：學生小齊發現未攜帶米尺等測量工具，而且無法達到塑像底座，所以轉而采用了人體測量法；學生小李發現無法同時記錄預想的時間點，于是轉化為記錄小球的落地時間. 可以看到，學生的思維很靈活，沒有因為無法完成測量而放棄，而是思考替代方案. 這正是開展數學建模實踐活動的意義所在.

較強的實踐能力. 實踐方案由學生自主設計，實驗由學生到實地開展，數據由學生采用多種方案后采集. 由此展現了學生較強的實踐能力.

由此可見，學生的能力超乎我們的想象，給學生一個機會，學生將展示無窮的潛力. 因此，在中學階段開展數學建模活動具有可行性，也相當有必要.

數學建模融入高中課程的思考

除了上述兩種方式外，數學建模還可以什么方式融入高中課程呢？筆者認為可從以下幾個方面進行.

（1）舉辦校園數學建模競賽. 高校之間開展了較為豐富的數學建模競賽，例如“全國大學生數學建模競賽”“美國大學生數學建模競賽”“‘認證杯數學建模挑戰賽”等. 競賽以現實題材為背景，設計兩三道試題要求參賽學生三人一組，通過設計模型、編寫程序、運行程序、生成數據、獲得結果、形成論文等步驟，參與競賽活動. 教研組可以借鑒這種模式，圍繞中學數學知識，開展建模活動. 例如學習函數知識后，可以“探究茶水泡制的最佳時間”為題設計數學建模活動；學習排列組合知識后，可以“怎樣包裝小包紙巾最省材料”為題設計數學建模活動. 類似的案例還有很多. 學生報名參加活動，組隊設計方案，撰寫提交論文，最后由教研組評審，再給優秀隊伍頒獎，以此鼓勵學生積極參與.

（2）開設數學建模選修課. 除了競賽外，還可以開展數學建模選修課. 選修課的開展方式可以分為三種：①呈現理論知識與案例. 由授課教師主講，傳授數學建模的相關理論知識，以及論文撰寫方法，并以具體案例的方式呈現建模方案. ②課堂研討. 給出一些實際問題，如“探究A、B系列復印紙大小之間的關系”“教學中使用的粉筆采用哪種形狀更好”“購置新房，選取哪種貸款方式更合算”［2］，等等. 圍繞這些實際問題，分小組運用所學知識，開展研討活動. ③實踐活動. 提供實際問題，如“如何描述中學生的投籃水平和發展潛力”. 組織學生利用網絡資源、圖書資源等，設計描述模型，并通過實地采集數據、生成論文報告、課堂交流分享等步驟，培養學生的建模素養.

結語

數學建模對培養學生的應用能力、開發學生的數學潛力、發展數學的學科價值具有十分重要的作用. 但目前數學建模融入高中課程的案例較少，因此需要一線教師積極探索，結合所在學校的實際情況，開展相關研究.

參考文獻：

［1］ 紀雪穎. 考察“菠蘿中的數學”，培育學生數學建模能力［J］. 數學教學通訊，2008（05）：26-28.

［2］ 賴嘉輝. 數學建模融入高中數學教學的案例［J］. 中學數學研究（華南師范大學版），2020（14）：14-16.