聚焦問題驅動教學 發展數學核心素養

［摘? 要］ 文章以“數系擴充”的教學設計為例，聚焦問題驅動教學，具體從學情、教學內容與教學目標三個方面進行教學分析，并從“問題驅動，探究概念”“實際應用，揭露本質”“課堂小結，提煉方法”等環節展開教學，以發展學生的數學核心素養.

［關鍵詞］ 數學擴充；問題驅動；數學核心素養

問題驅動教學法又稱PBL教學法，是指以問題為主線規劃整個教學流程，將學生視為教學的主體，引發學生圍繞問題自主探究的教學方法. 問題驅動教學法能讓學生更清晰、準確地掌握知識與技能，能夠挖掘學生的潛能，拓展學生的思維，提升學生的數學核心素養. 本文以“數系擴充”的教學設計為例，探討如何開展問題驅動教學法.

教學分析

1. 學情分析

從教學內容來看，學生在接觸“數系擴充”這一章節內容之前，對數系的發展（從正整數集擴充到實數集的歷程）有初步了解；同時，學生在數學能力方面，具有一定的抽象邏輯思維能力、直觀想象能力和數學運算能力. 從思想方法來看，學生接觸過多種數學思想方法，如數形結合思想方法、類比思想方法、化歸與轉化思想方法等.

2. 教學內容分析

“數系擴充”蘊含的數學思想方法很多，教材編排這部分內容一方面是幫助學生回顧舊知，感知數的概念發展與數系擴充過程，另一方面讓學生明確數的形成源于數學內部矛盾與生活實際需要，感知數和生活有著密不可分的聯系. 本節課對促進學生各種數學能力的發展具有重要意義，也為發展學生的數學核心素養奠定了基礎.

實施教學

1. 問題驅動，探究概念

解決數學問題最基本的手段是數學運算，良好的數學運算能力是有效促進數學思維發展的基礎，也是促使學生規范思考問題的保障［1］. 本節課的難點是虛數單位的引入，因為虛數單位很難用生活實例來說明. 本節課通過復數發展史上兩個著名的方程問題，激發學生對的好奇心，并結合學生原有的運算知識體系，讓學生感知運算能夠產生新的數學對象，進一步了解數系擴充.

探究活動1 了解數系發展的歷史.

觀看視頻，了解數系發展的歷史.

探究活動2 了解復數產生的歷史.

問題1：社會發展初期，為了滿足計數的需要，出現了自然數；而后為了滿足測量與分配的需要，出現了分數；為了刻畫相反意義，又出現了負數；后來為了解決正方形對角線的長等問題，出現了無理數……由此可見，社會發展推動著數的發展. 同學們對此有沒有補充？

預設：數的發展源于數不夠用，比如無理數的形成，就源于邊長為1的正方形對角線的長無法用已有的數來表達，從而引發了“第一次數學危機”.

問題2：16世紀，很多數學家對負數和無理數還沒有完全接受，又有一個新的數出現了. 1545年意大利數學家卡爾丹的著作《重要的藝術》中提出了這樣一個問題：如何將10分為兩部分，讓它們的乘積等于40？這個問題其實就是解方程x（10-x）=40. 眾所周知，這個方程在實數范圍內無解，但卡爾丹依然用求根公式寫出了兩個根. 同學們也嘗試用求根公式寫出這兩個根，并把這兩個根分別代入原方程，按照實數的運算法則進行運算，看看這兩個奇怪的根是否滿足原方程.

預設：學生寫出5+，5-兩個根，代入原方程后發現這兩個根滿足原方程.

問題3：三次方程和二次方程一樣也有求根公式. 利用三次方程的求根公式，我們可以算出x3-15x-4=0的一個根為2++2-，如果我們承認這個數的話，按照實數的運算法則，這個根就可以化簡為4，而4確實是這個三次方程的根.

設計意圖 讓學生感受到加入運算，得到的答案竟然是正確的，一步步引導學生體會的合理性，并且激發學生的學習興趣.

教師繼續介紹：不僅剛才的兩個問題利用得到了正確答案，而且在整個18世紀，不管什么地方，在數學推理的步驟中用得到的結果都被證明是正確的. 萊布尼茨說道：“虛數是神靈循跡的精微而奇異的隱蔽所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物.”18世紀末19世紀初，韋塞爾、阿爾岡、高斯給出了復數的幾何表示. 正是這種直觀的幾何表示，揭開了復數的神秘面紗，確立了復數在數學中的地位.

設計意圖 讓學生感受虛數并非憑空臆想而來的，它有發展過程，有曲折、有迷茫、有徘徊、有抗爭. 滲透復數發展史，讓學生從根本上掌握復數的內涵與外延，體會數學家們在知識探索與創造中具有的數學精神.

探究活動3 數系的擴充.

教師介紹用i表示，將i稱作虛數單位.

問題1：把新引進的數i添加到實數集中，i和實數進行運算又可以產生一些新的數. 在實數的運算律保持不變的前提下，大家試一試、看一看i和實數運算會產生哪些新的數.

預設：學生通過運算得到了新的數，比如a+i，a-i，ai，（a∈R）.

追問：這些新的數還可以繼續運算產生其他新的數嗎？這些新的數有統一的形式嗎？

預設：新的數運算后還可以產生其他新的數，新的數都可以寫成a+bi（a，b∈R）的形式.

設計意圖 讓學生經歷由虛數單位i引起的數系擴張過程，提出復數概念水到渠成.

教師板書復數的定義，介紹與復數有關的概念（實部、虛部、復數相等……）

問題2：引入虛數單位i后，實數集擴充成了復數集. 復數集是由哪些數組成的？

預設：復數集由實數集和虛部不為0的復數組成.

教師介紹虛數和純虛數的概念.

追問：可以用韋恩圖表示復數的分類嗎？

設計意圖 讓學生通過思考，自己分類復數，嘗試用圖形語言直觀表示出各種數集之間的關系.

2. 實際應用，揭露本質

例1 判斷正誤.

（1）復數一定是虛數；（2）復數的虛部是虛數；（3）純虛數一定是虛數；（4）z=a+bi（a，b∈R）是虛數；（5）在z=a+bi（a，b∈R）中，若a=0，則z為純虛數；（6）i是純虛數，也是虛數，還是復數；（7）若a∈C，則a2≥0；（8）3i>2i.

設計意圖 通過這組判斷題，加深學生對復數概念的理解.

例2 當實數m取何值時，復數z=m（m-1）+（m-1）i分別為實數、虛數與純虛數？

例3 若（x+y）+（x-2y）i=（3x+y）i+（2x-5），則實數x，y的值分別是多少？

例4 若關于x的方程3x2-x-1=（10-x-2x2）i有實數根，求實數a的值.

設計意圖 例4是例3的深入延伸題，通過這道例題，讓學生體會利用復數相等的充要條件可以把復數問題轉化為實數問題，體現了化歸與轉化數學思想.

3. 課堂小結，提煉方法

要求學生說一說本節課學了哪些內容，獲得了哪些知識，是通過什么方法獲得的；在知識形成與發展的過程中，獲得了什么啟示.

學生通過對課堂教學流程的回顧，自主用思維導圖梳理并總結了知識結構. （如圖1所示）

教師趁學生成就感滿滿，開展課堂總結：今后，在我們的學習與生活中，難免會遇到各種各樣的挫折與困惑，不論前路多么艱難，我們都要像數學家們一樣想方設法克服困難，闖出一片新天地，這是一種創新，也是自我價值的體現.

設計意圖 課堂總結對于一節課來說，屬于收口環節，它具有承上啟下、畫龍點睛的作用. 因此，教師不僅要引導學生總結知識、方法等，還要引導學生從“四基與四能”“三會”以及六大素養等方面提升元認知能力，發展高階思維［2］.

4.布置作業，拓展評價

略.

教學思考

1. 問題是探究的載體

問題是數學教學的靈魂，正因為有了問題的存在，才能順利激發學生的學習熱情，開啟學生的思維大門，為探究活動提供載體. 本節課教學的每一個環節都從問題中來，又回到問題中去，學生在一個個問題的引導下，逐步認清數學運算的本質，總結出數系擴充的主要原因和所遵循的一般規律.

2. 尊重學生的主體地位

新課標一再強調學生在課堂中的主體地位，問題驅動教學法同樣將學生放在教學的首要位置，每一個問題都基于學生已有的認知基礎，根據學生的最近發展區而創設［3］. 學生通過自主思考、合作交流等方式，不僅逐個突破了問題，還進一步發展了數學思維. 同時，隨著問題的解決，學生從中提煉出了類比思想、整體思想等，這些都是發展數學創新意識的關鍵.

3. 以史為鑒滲透數學文化

數學文化不僅體現了人類的發展與進步，還彰顯了人類在探尋真理道路上的務實與開拓精神. 在本節課中，教師在各個環節都有機地融入數學史，一方面滿足了教學需求，另一方面提升了學生的數學核心素養. 在數學文化的熏陶下，學生開啟了自主探究模式，揭露了隱藏在知識背后的真理.

參考文獻：

［1］ 鄭毓信. 中國數學教育的“問題特色”［J］. 數學教育學報，2018，27（01）：1-7.

［2］ 江琦. 利用問題驅動? 發展數學理解力——以蘇教版“解決問題的策略：轉化”教學為例［J］. 福建教育學院學報，2022，23（08）：93-94.

［3］ 唐劍嵐，周元. “授人以魚”的同時“授人以漁與欲”——以《等差數列的前n項和》公式推導片段為例［J］. 數學通報，2016，55（09）：41-46+49.

作者簡介：何永麗（1984—），本科學歷，中學一級教師，廣東省中小學骨干教師，從事高中數學教學工作，榮獲第二屆廣東省中小學青年教師教學能力大賽高中數學學科一等獎第二名，深圳市中小學青年教師教學能力大賽高中組數學學科一等獎第一名.