人教版初中數學教材“統計與概率”內容的分析

潘禹辰 徐文彬

［摘? 要］ 研究者以統計活動過程為主要依據，對人教版初中數學教材“統計與概率”內容進行了分析，了解了“統計與概率”內容在統計活動過程各環節的編排情況，“統計與概率”內容在統計活動過程上的呈現度和學生參與度的情況，以及教材上“概率”內容的編排情況等. 分析發現，統計活動過程各環節的編排較好地貼合了2011年版課標的要求，知識目標明確卻有些局限；統計活動過程的教材呈現度和學生參與度一般，輕視數據收集和表示；統計與概率分開編排，以“用頻率估計概率”簡單融合收尾. 因此，教材編寫與實施應兼顧完整的統計活動過程各環節，重視統計與概率之間的關系，并培養學生的統計推斷能力.

［關鍵詞］ 統計活動過程；統計與概率；統計推斷；內容編排；教材分析

基金項目：全國教育科學“十三五”規劃2018年度國家一般項目“中小學STEM教育基本理論與本土實踐問題研究”（BHA180126）.

作者簡介：潘禹辰（1998—），南京師范大學教育學碩士研究生，主要從事數學教育研究工作.

通訊作者：徐文彬（1966—），南京師范大學教授，博士生導師，主要從事數學教育研究工作.

問題提出

目前，國內關于“統計與概率”的分析與研究多關注教材內容和結構，其中，對統計內容的研究主要聚焦于知識點的廣度和深度. 雖然有些研究以發展學生的統計素養為宗旨，但是較少從統計實踐的角度出發考慮學生是否經歷了完整的調查實踐過程. 正是因為統計學是在實踐中使用的，關注從數據中獲得理解，專注于解決問題，所以統計素養的培養是通過“做”（doing）統計（即統計實踐），而非單純的“學習”實現的［1］. 同樣，《義務教育數學課程標準（2011年版）》（簡稱“2011年版課標”）對“數據分析觀念”的解讀強調了許多生活問題應做調查研究、數據蘊含著信息，以及根據背景選擇分析方法，也暗含著對統計調查完整性的重視［2］. 這種要求在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（簡稱“2022年版課標”）中得以強化，并在小學和初中階段分別定義了“數據意識”“數據觀念”兩大核心素養［3］.

隨著初中“統計與概率”對調查方法、數據表征方法和統計量等知識的深入講解，調查過程的多樣性和數據分析的復雜性逐漸提高，作為教學載體的教材能否將這些知識有機結合起來促進學生統計素養的提升，是本研究的主要關注點.

研究設計

研究對象是人民教育出版社出版的初中數學教材（2013年審定，簡稱“人教版教材”）.

1. 研究問題

通過對人教版教材“統計與概率”部分的例題、習題的分析，審視其在統計活動過程視角下的編排情況，以及可能對教學產生的影響. 具體而言，主要包括以下4個問題：（1）人教版教材“統計與概率”內容在統計活動過程各環節的編排情況；（2）人教版教材“統計與概率”內容在統計活動過程上的呈現度和學生參與度的情況；（3）人教版教材“概率”內容的編排情況；（4）人教版教材“統計與概率”內容編排的特點以及對教學的影響.

2. 分析框架

在已有文獻的基礎上，本研究將“統計活動過程”（參見圖1）作為人教版教材“統計與概率”內容的分析框架構建依據［4］. 從統計活動的5個環節（問題與目的、數據收集、數據整理和表示、數據分析和解釋、判斷和決策），以及蘊含其中的分類思想、隨機思想、背景知識和數據類型出發，細化分析各維度類目，構建了如表1所示的人教版教材“統計與概率”內容的分析框架. 由于初中“統計與概率”中的“概率”內容有相對獨立的教學單元，因此將“隨機思想”這一類目進一步擴充，又形成了如表2所示的人教版教材“概率”內容的分析框架.

基于統計活動過程的教材分析框架以統計活動環節為主線.

在“問題與目的”環節中，對“統計問題”的界定分為兩方面：一是它必須有“問題”，這個問題是需要實際去解決的“problem”，而不是僅僅需要一個答案的“question”；二是這個問題是“統計的”，即需要通過數據收集、整理和分析，才能得以解決. 從解決問題的角度來看，統計調查的啟動可以出于三類目的，“想知道”“想決定”“想要做”，分別對應著認知目的、決策目的和行動目的，根據其在整個問題情境中提出的位置，分為前置和后置兩種情況. 由于行動目的往往在問題提出時就伴隨其中，所以并未區分.

“數據收集”環節首先考慮數據來源，主要是教材提供和自己收集兩大類，隨后在考察對象和收集方法的統計上分開記錄，除了明確的對象和方法類目外，對于教材未明確說明或學生可以自主選擇方法的題目，也進行標記.

“數據整理和表示”環節關注表示類型（即圖表類型）、表示對象（即數量）、表示水平. 其中，表示水平分為逐漸升高的三個層次：（1）工具水平，指能看懂、制作各種數據表征；（2）概念水平，指理解各種數據表征的特點；（3）聯系水平，指能比較各種數據表征并選擇最合適的數據表征方式.

在“數據收集”與“數據整理”這兩個環節中，考慮（蘊含其中的）分類思想的分類層次和分類類型. 按照分類要求從低到高劃分為三個層次：（1）直接給出分類類目；（2）給出分類標準，需要自行確定分類類目；（3）自由分類，需要自行確定分類標準和類目. 分類類型按照分類標準是質化或量化的，分為屬性分類和數量分類.

“數據分析和解釋”環節包括統計特征分析和統計推斷分析，其中，統計推斷分析除了推斷整體和推測趨勢外，還有思考緣由，即為什么這樣推斷，以及得到該推斷結果的原因是什么.

“判斷和決策”環節與統計問題的目的相呼應，是對解決問題的回應.

最后，隨機思想、背景知識、數據是在整個統計活動過程中呈現的. 從意識到不確定性，到認識樣本空間，再到判斷可能性的大小，對隨機性的認識不斷深化. 背景知識分為學科背景和社會生活領域兩部分，它指的不僅是統計問題所處的某種情境，有時這種背景知識與問題解決有直接關系. 數據類型分為計數數據和測量數據兩大類，測量數據又包含稱名數據、順序數據、等距數據和比率數據四類.

在“概率”內容的分析框架中，主要考慮隨機事件及其概率計算，包括基本事件數目、是否等可能，以及概率模型和技術方法. 其中，“—”號表示“轉化”，即基本事件數目從無限個轉化為有限個，為了應用概率模型而將原本非等可能基本事件轉化為等可能基本事件空間，以及將幾何概型轉化為古典概型.

研究結果與分析

1. 人教版教材內容的基本情況

人教版教材“統計與概率”內容分散在初中的三個不同年級，共有兩個“統計”單元（用表1所示的框架對其進行分析）和一個“概率”單元（用表2所示的框架對其進行分析）. 具體的單元內容和題量分布參見表3.

2. 統計活動過程各環節編排的分析

根據基于統計活動過程的分析框架就教材內容對統計活動過程各環節的編排情況進行分析，具體結果如下詳述.

（1）問題與目的（見表4）.

用統計活動過程框架分析的99道題目中，“有/無統計問題”的情況幾乎是平分的. “無統計問題”一般涉及數據，卻無解決問題的目的，表現為作圖、計算、分析數據等單一練習. 屬于統計問題的52道題目中，認知目的占六成多，決策目的都是在給定的情境中替他人決策. 令人欣慰的是，目的前置的情況居多，因為問題的提出應是由某個目的驅使的，那些在收集甚至分析完數據后再給出認知或決策任務的題目恰恰倒置了問題意識. 兩個帶有行動目的的問題中，一個以“家庭人均月生活用水量”為主題的課題學習開放性較強，學生甚至可以圍繞主題自己細化統計問題，且具有實際意義；另一個關于學校購買運動鞋的調查問題則需要一定的外部支持.

（2）數據收集及其分類思想（見表5）.

在83道涉及數據的題目中，83.13%的數據是教材直接提供的，表明人教版教材不太關注學生親歷數據收集過程，而且超過半數的數據都無法辨別其考察對象或收集方法. 從標記到明確類目數量來看，普查和抽樣這兩種方法比較平均，收集方法以調查為主. 值得注意的是，教材出現了一些關于調查問卷的答案設置、抽樣的代表性等方面的題目，說明教材安排數據收集方面的內容時并非只是觸及調查方式的表面，對實際調查中可能需要注意的問題也有所分析.

數據收集時的分類思想體現在數據的篩選上，所以只要涉及數據收集，就定會有分類過程，這里對分類思想的統計，考慮的是那些僅含有分類思想，但并不需要進一步分類整理的題目. 分析結果表明此階段均為屬性分類，比如各省市的綠地面積、兩名運動員的成績，這些數據在收集時本身便帶有類別. 同時，由于學生在數據收集上的參與度較低，所以此階段的分類工作幾乎都是教材直接完成的.

（3）數據整理和表示及其分類思想（見表6）.

人教版教材中的統計表出現的次數相較于統計圖略多，這種差異在八年級“數據的分析”單元中更加明顯. 圖表之間的聯系不強，且同時呈現多個統計圖的情況極少. 圖表的用途除了表征數據外，與后續的數據分析也相關，教材還要求學生應用頻數分布表或頻數分布直方圖來求加權平均數. 較為特殊的統計圖是在七年級課后習題中出現的堆積條形圖，根據兩省份農村和城鎮在校中學生人數，畫出普通的復式條形圖與堆積條形圖進行對比，體現兩者分別在各類目比較和總數比較上的優勢. 至于表示對象，教材并未專門講解，11個包含多個對象的題目基本上都是以統計表呈現出來的，幾乎沒有什么復式統計圖. 表示水平以工具水平，即圖表的填讀為主，沒有單純關注圖表特點的概念水平的題目，都是直接要求比較不同圖表后選擇最合適的表示類型，除了不同種類圖表之間的比較外，還有同一表征類型內不同形式之間的比較，比如頻數分布表和直方圖在分組方式上的選擇.

此環節的分類工作有40%左右要求學生自己完成，絕大部分與頻數分布直方圖有關，根據是否給定組距，分別歸入“給出標準”“自由分類”兩個層次. 此外，學生自由分類時的分類類型沒有可選擇的空間，這說明題目中的分析對象的指向明確，開放度較低.

（4）數據分析和解釋（見表7）.

在統計特征分析中，分析“整體”是該環節的特點，即使在數據的集中趨勢和波動程度的正式教學前的七年級也有體現：一是從折線圖、散點圖等反映整體數據狀況或發展趨勢的統計圖中獲取信息；二是有簡單滲透樣本統計量估計總體的思想. 進入八年級的統計量學習時，統計特征與統計推斷分析的教學是并行的，用樣本的平均數、中位數、眾數等估計總體的問題在例題中有詳細講解. 就統計推斷分析的類別而言，“樣本思想”非常突出，體現為大量推斷整體的題目，至于統計數據在“預測”方面的作用，在教材中沒有很好地體現出來. 此外，對于統計量意義的理解，多要求學生直接計算后給出解釋，而不是在問題情境中納入其他因素讓學生判斷，比如為什么不同的人對同一組數據的看法會有差異. 這種處理將關注點聚焦在知識點本身上，可能忽視了數據分析中除數字本身外的因素的影響，弱化了統計問題中“背景”的重要性.

（5）判斷和決策（見表8）.

判斷和決策意味著問題的解決和目標的達成，一般來說，所有的統計問題都需要在最后做出判斷，而帶有決策目的和行動目的的還需要有進一步的決策. 正常來說，對該環節分析得到的數據應與“問題與目的”相對應，但發現有6個統計問題沒有相應的判斷和決策，實際上，這6個問題僅涉及統計活動過程的第一個環節，關注的是調查的設計層面，譬如樣本和調查方式的選擇，沒有進一步展開.

（6）貫穿全局（見表9）.

美國統計協會（ASA）將統計學定義為“是從數據中學習、度量、控制和交流不確定性的科學”［5］，而統計學真正要解決的問題不僅是純粹的統計問題，（真正）做出決策的學科恰恰是植物學、地理學等（其他學科）［6］. 因此，隨機思想、背景知識和數據，（應）貫穿整個統計活動. 57道題目（57.58%）含有隨機思想，這意味著它們至少包含了因收集到的數據的參差不齊而產生的不確定；在此基礎上，隨著抽樣方法的學習，其中有半數題目明確了總體、樣本和個體，反映出樣本空間的思想；僅有一個通過抽樣并標記的方法來估算瓶子中豆子數量的題目暗含“可能性大小”，即借助概率做估計. “可能性大小”的出現頻次低可能說明統計與概率的聯系不強，這或許與教材在“統計與概率”內容上的整體布局有關，因為“概率”單元位于兩個“統計”單元之后，所以在“統計”部分，“可能性”出現得不多.

八成題目有其背景知識，且與社會生活的聯系更大. 學科背景主要與統計本身有關，比如圓心角大小與數據占比的關系等，幾乎不涉及其他專業學科領域. 社會生活方面的問題覆蓋面很廣，除了與學校生活有關的考試成績、運動會等場景外，還包括交通、氣候、環境等與學生日常生活息息相關的方面，甚至銷售、生產等簡單的商業問題亦在其中. 豐富的背景可以讓學生體會到統計的廣泛用途，還能引發學生思考，譬如通過分析水資源分布數據來判斷是否會發生用水危機.

從數據類型來看，計數數據、等距數據和比率數據居多，是題目中需要直接處理的對象，這或許體現了該環節對統計量計算的學習要求.稱名數據一般用于分類，進而產生不同類目之間的比較，而順序數據相對較少.

3. 統計活動過程的教材呈現度和學生參與度的情況

本節在上一節的分析基礎上，從教材呈現情況和學生參與情況兩方面進一步考慮99個題目中每一個統計活動的完整程度（如圖2所示）.

從教材中統計活動過程的呈現度來看，不到三分之一的題目有完整環節，結合雷達圖，可以看見缺席的環節通常是“問題與目的”及其對應的“判斷和決策”，以及“數據收集”（數據收集階段依據問題中是否明確考察對象或收集方法進行判別）. 一方面，初中階段的統計學習主要是數據的收集、整理與描述，以及分析，這可以從課程標準和教材單元的標題中看出來. 另外，“數據收集”的內容所占篇幅較小. 另一方面，首尾兩環節的弱化可能是各版本教材都有的特點，因為從學習目標及其評價來說，統計技術或許是重點.

學生參與的環節集中在一至兩個，“問題與目的”和“數據收集”這兩個環節的參與度非常低，這與其在課堂上比較耗費時間有關. 需要學生自己提出統計問題并展開一系列活動的題目僅有四個，而且都是給定主題的題目，降低了提問難度；“數據收集”只重視方法的掌握和辨別，不強調親身實踐. “數據整理和表示”的參與度只有教材呈現度的一半不到，這是因為圖表的“讀取”重于“制作”，這其實屬于數據分析的范疇.

4. “概率”內容的編排分析

基于隨機思想分析框架的人教版教材“概率”內容（共61道題目）的編排情況如表10所示.

人教版教材僅設置一個“概率”單元，從隨機事件引入，先介紹理論概率和概率模型，再以頻率估計概率收尾. “基本事件”概念在該學段不要求學生掌握，但這是概率學習中的基礎概念，教材將其處理為“試驗中可能出現的結果”，對其“不可再分解性”是規避的. 譬如，同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，因硬幣的不可區分，實際上只有三個非等可能的基本事件“正正”“一正一反”“反反”，但是實際教學中要求學生探討區分兩枚硬幣，將“正反”“反正”兩種試驗結果分別列出，從而體會用古典定義求概率時每種結果等可能的重要性［7］. 從基本事件的數目和對應的概率模型來看，有限事件和古典概型是重點內容，兩個純幾何概型的問題是以實驗和活動形式出現的. 人教版教材的概率內容看似精簡，但是有兩個細節值得關注，一是除了給定模型求概率外，還有逆向的即給定概率構造模型的題目；二是隱含了條件概率的問題，先轉化為頻數，再由頻率估計概率來直觀求解.

研究結論與問題探討

基于上述分析結果，可以得出如下一些研究結論，并結合2022年版課標，對“統計與概率”部分的教材編寫與實施展開探討.

1. 研究結論

（1）統計活動過程各環節的內容編排較好地貼合了2011年版課標的要求，知識目標明確但有些局限. 就統計活動過程的每一個環節而言，對于2011年版課標提出的課程內容都能完整且明確地編排，凸顯出了“抽樣”“統計圖”“集中趨勢和離散程度”“樣本與總體的關系”這些第三學段（在2022年版課標中為第四學段）的學習重點. 但是，這種處理從實際的例題、習題上反映出的內容深度可能還不夠，且存在局限性.

譬如，對直方圖分組及其與數據分析的聯系的講授較多，但是不怎么提及學過的折線圖和條形圖等，在同版本的小學教材中對條形圖坐標刻度的作圖規范沒有在初中進一步延伸到對數據的質疑意識，即探討數據表征可能帶來視覺誤導. 此外，過于聚焦樣本到總體的推斷，忽視了統計數據的預測作用.

（2）統計活動過程的教材呈現度和學生參與度一般，輕視數據收集和表示. 就教材呈現而言，涵蓋三個環節及以上的題目過半，還算可觀，畢竟初中階段的統計內容是從數據收集、表示進入分析的，所以無法要求前期問題體現出完整的統計過程. 但學生的參與度一般，可以看出教材有明顯的環節偏向.

正如上文所述，人教版教材對課程標準要求的內容都有明確的編排，這導致初中階段的統計內容的特點尤其突出，即偏重數據分析——即使數據表征常常為數據分析服務，也沒有關注表征本身.

（3）統計與概率分開編排，以“用頻率估計概率”簡單融合收尾. 在概率教學中，人教版教材先對概率進行理論分析，然后介紹兩種概率模型，所以從這一點來說，概率與統計相脫離，只是在“隨機性”這一點上相通.

將“頻率估計概率”的內容放在整個概率學習的最后，既希望學生學完古典概型定義后能從隨機試驗的角度來看待頻數以及其隨機性和規律性，又希望學生能跳脫等可能的限制，讓學生知道此種方法使得可求概率的隨機事件的范圍有所擴大. 此外，在依概率構造模型的這類問題上，體現出了教材對內容設置的靈活性.

（4）對教學實踐可能產生的影響. 就教師教學而言，一是影響教師對統計與概率內容的理解. 首先是對內容本身的理解. 教材（包括教師用書）可能對某些概念的處理沒有達到專業的統計學水平，導致教師的理解不足. 譬如簡單隨機抽樣，當不放回抽樣的樣本量和總體之比小于0.1時才能近似于放回抽樣. 其次是對統計與概率的關系的理解. 人教版教材呈現理論概率后回到頻率和概率的關系上，只是淺在地感受兩者的關系，可能造成教師對該部分內容的忽視.

二是影響教師對教學重點、難點的把握. 人教版教材內容精簡，在單個知識點的編排上突出重點，這容易讓教師抓住教學要點，但是可能讓教師失去整體視角，即統計活動過程以及統計與概率的關系的視角.

三是影響教師的教學設計思路. 基于上述兩個方面，教師對某些統計概念的理解可能不夠深刻，因此在教學中無法講透，雖然對短期的教與學的評價無礙，但可能對學生的后續學習產生負面影響. 同時，教師設計思路的焦點化或許會讓統計學習分塊呈現，缺乏整體性和連貫性.

2. 問題探討

“統計與概率”內容的編寫與實施，首先要兼顧完整的統計活動過程各環節. 在5個環節中，看似與問題解決直接相關的數據分析環節確實受到了重視，但是數據收集和可視化表征的重要性不可弱化. 根據新一輪課改對初中“數據觀念”內涵的界定，學生要感知大數據時代數據分析的重要性，并養成重證據、講道理的科學態度［8］. 前者要求教師應置于時代背景中，認識大數據所具有的大量（Volume）、高速（Velocity）、多樣（Variety）、低價值密度（Value）和真實（Veracity）“5V”特點. 后者則不僅要體現統計論證時的有理有據，還包括統計調查過程各階段對數據可靠性、表征客觀性等的正確態度. 人教版教材關注樣本在整個統計調查中的基礎地位，但是過于向學生提供給定的數據，會讓他們缺乏篩選數據的能力，而能否對大量數據進行辨別和選用也是學生后續良好分析的重要前提. 至于數據表征，某些形式會擾亂思維，而另一些則能培養洞察力［9］，教材可以在可能擾亂思維的表征形式上進一步探討，讓學生加強對混亂的或有失公正的統計圖的辨別力.

其次，要加強統計與概率之間的聯系. 概率的古典定義和頻率定義是初中階段的學習重點，而頻率定義又與統計試驗直接相關. 然而研究發現，對于可計算的概率題目，學生還是傾向于計算而非試驗后估計，甚至認為重復試驗無益［10］. 人教版教材并未從頻率定義引入概率，而是在最后將其作為理論概率的檢驗方式以及概率計算方法的延伸，此種安排能否避免學生偏好計算的先入為主，還值得商榷.

最后，要把握統計學習的核心，即統計推斷，而這也是實現統計活動過程各環節環環相扣的關鍵. 統計推斷提供了一種學習統計的全面方法，可以為統計概念學習的排序和構建提供依據，從而提高教與學的連貫性，更早提供獲取統計能力的途徑［11］. 在這一點上，人教版教材能重點講解樣本與總體的關系，意識到了推斷思想的重要性，但是在推斷的類型上可以進一步拓展，而且可以融合更多學科知識，體現統計在專業領域中的作用. 除了順向分析和推斷外，還應加強審視推斷的結果，培養學生對給定分析做出評判的能力，這可能是在日常生活中更應具備的一種能力.

總之，人教版教材在整體篇幅不多且題目精簡的情況下能較好地滿足2011年版課標的要求，避免了重復的機械式練習，不過在統計活動過程各環節的結合、統計與概率的銜接，以及統計素養的培養上仍有較大的改進空間，教師也需要結合2022年版課標的變化，更好地把握教材的實際教學呈現方式.

參考文獻：

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