楊冠

［摘 要］線性代數主要授課對象是非數學專業學生，部分學生對數學課程知識的接受和運用存在一定的問題，而有效的教學設計無疑會給教師和學生帶來強大的動力。文章基于微信公眾號平臺，依據BOPPPS教學模式對線性代數課程進行有針對性的教學設計探討，強調以學生為中心，注重教學過程的反思和互動，使教師及時獲得教學反饋，讓學生進行全方位的參與式學習，提高學生的學習主觀能動性，以期獲得良好的教學效果。

［關鍵詞］線性代數；教學設計；BOPPPS

［中圖分類號］ G642 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 2095-3437（2023）07-0076-03

在各類高等院校中，線性代數是數學教育的一門重要公共基礎課，是研究有限維向量空間和線性變換的重要數學分支，其思想方法在大學生素質教育中的重要性也日益顯現[1]。不同院校的線性代數課程的教學學時有所不同，以西南林業大學（以下簡稱我校）為例，線性代數課程的教學學時有32學時和48學時，不同專業方向的內容側重點也有所差別，32學時涵蓋了矩陣、行列式、向量空間、線性方程組等內容，48學時增加了特征值與特征向量、二次型等內容，符合線性代數課程的基本要求。當代線性代數課程的教學模式不僅有傳統的黑板教學模式，還有多媒體教學模式，慕課、微課等教學形式也在不斷發展，但課程教學過程中仍存在一些問題，如對學生的創造性思維培養不足，實踐能力和創新能力培養不夠，部分教師的教學模式仍是講解概念、給出例題、完成習題三部曲等。而線性代數課程是林業院校課程知識體系中重要的基礎課，學好該門課程可以為學生今后的專業課程學習打下堅實基礎。這就要求教師要不斷探索和研究不同的教學方法和教學模式，改變傳統教學方式，充分運用信息化技術輔助課堂教學，不斷積累教學經驗，努力提升教學質量。

我校線性代數歷年的教學數據顯示，該課程教學對象有大一年級的新生，也有大二年級的學生，授課專業涵蓋了生物管理類專業和工科類。由于學生知識結構的差異，在對待不同專業、不同年級學生時應使用不同的教學方式方法，精彩的教學設計是教學過程中必不可少的環節，也是激發學生學習興趣的有效保障，還能提高學生的數學素養，讓學生重視數學基礎課程。

一、BOPPPS教學模式簡介

BOPPPS教學模式是加拿大廣泛推行的教師技能培訓體系ISW的理論基礎[2]，該模式將課堂教學環節依次分為六個階段，并分別用六個英文縮寫字母來表示：（1）B（Bridge-in），即正式進入課堂教學之前的引言環節。作為一節課開頭，設置引言環節的目的在于更好地吸引學生注意力，引導學生產生強烈的學習興趣和學習動力，促使學生關注即將開展的核心教學內容。（2）O（Objective），即建立該課堂的學習目標和預期達到的結果。教師要言簡意賅地闡明學習目的、傳達教學目標，特別是課程的重點知識和學習價值，要明確告知學生通過這節課能夠懂得什么或者即將學會做什么，從而讓學生明確掌握學習的方向。（3）P（Pre-assessment），即在建立學習目標之后對學生開展的先測或摸底。（4）P（Participatory Learning），即師生參與式學習，該環節注重通過師生互動來實現課程核心內容的交互式學習。（5）P（Post-assessment），即在此次課堂快要結束之際及時對學生開展核驗或評估，了解學生本次課的學習效果是否達成既定的教學目標。（6）S（Summary），即對本次課堂進行總結。教師帶領學生總結課堂內容、整合學習要點、布置課后作業、預告下次課的教學內容等，鞏固學習目標。以上六大基本要素的英文首字母連在一起即組成了BOPPPS教學模式的英文縮寫，上述六個模塊連貫構成了一個有效的完整課堂過程。

二、研究設想

BOPPPS模式的教學理念是有效的教學設計，主要方式是將教學過程分解成模塊。該模式的核心環節是以學生為中心的參與式學習，教學設計強調師生參與式互動學習，加深教師對課堂教學的把控度。目前已有部分學者對BOPPPS模式下的線性代數教學進行探討，如線性代數的微課設計、通過超星學習平臺輔助BOPPPS模式進行教學設計，也有除線性代數課程外的其余課程基于該模式開展教學[3-7]，講授過程中結合問題式、探究式教學方法，解決重點和難點問題，充分調動學生學習的主動性和積極性，提高課堂教學活躍度，從而完成教學目標。

文中擬探討通過微信輔助BOPPPS模式進行教學設計。即先建立一個微信公眾號，然后根據本校學生的專業特點來設計教學中的各個環節，定時推送和更新公眾號中的內容，并且在模塊的設計中盡可能多地加入實踐內容，讓學生更多地參與到教學中。

三、教學設計

文中基于BOPPPS模式下線性代數的教學設計研究擬用32學時開展。依據BOPPPS教學模式，將每次課的教學環節分為六個階段：（1）B（Bridge-in）：精心設計課堂引入；（2）O（Objective）：設置學習目標和教學目標；（3）P（Pre-assessment）：課前知識檢測；（4）P（Participatory Learning）：變課堂教學為以學生為中心的參與式學習；（5）P（Post-assessment）：課后測驗學習效果和教學效果；（6）S（Summary）：對課堂內容及時進行梳理與總結。每個環節均為獨立模塊，但前后又互相銜接，構成完整的教學過程[8]。32學時的教學共有16次課，固定采用一種BOPPPS有效教學設計教案格式，分別完成16個教學方案的撰寫。

（一）案例引入

線性代數的概念一般都會有來源背景，如果能結合實際案例來引入，學生對概念的理解會更深入。例如，在講解線性方程組的求解過程中，不應完全局限于書本上的例子引入，不同的專業可以給出不同的示例。如在工科專業中，可以舉關于平衡結構的梁受力問題，在橋梁、房頂、鐵塔等建筑結構中，涉及各種各樣的梁，對這些梁進行受力分析是設計師、工程師經常做的事情；在生物管理類專業中，可以舉關于多個經濟部門之間的投入產出關系問題，為了協調多個相互依存的行業的平衡發展，有關部門需要根據每個行業的產出及其在各個行業中的分配情況確定每個行業產品的指導價格，使得每個行業的投入與產出都大致相等。學生可以根據實際情況進行理論分析，簡化題目的分析過程，重點闡述要求解的問題，從而引入線性方程組的求解討論。該階段的教學設計需要花費教師大量的時間，多方位、多角度地考慮學生的差異性，查閱資料文獻，通過多媒體課件來進行展示。

（二）設置學習目標和教學目標

教師在授課過程中，一定要明確教學目標和學習目標。主要根據布魯姆教育目標來制訂便于測評和客觀評價的目標，而非理想的愿望。教學目標應具體且能顯見，應有層次結構，由簡單到復雜遞增，如課程的重點知識、學習價值，以及可習得的能力，讓學生明確掌握學習的方向。通常目標的句子設計包含四要素：誰（Who）、將學到什么（Will do what）、在什么情況下（Under what condition）以及學得如何（How well）。

如，矩陣是線性代數的核心內容，矩陣的運算與秩這一章節內容多，計算量大，教學時需要放慢腳步，講授清楚逐個知識點。矩陣的運算與秩安排在第四章節[1]，第一節內容包括矩陣的線性運算、矩陣的乘法運算、矩陣的轉置和幾種特殊矩陣的乘法運算，教學設計時應闡明教學目的與要求，重難點為矩陣的乘法運算，讓學生認識到每次課需要達成的學習目標，如何完成，并且怎樣才能算達到標準。可將常見的教學目標“理解矩陣的加法、數乘矩陣及矩陣乘法的運算規律、理解矩陣的轉置、方陣的行列式、方陣的冪、伴隨陣等概念。掌握矩陣的線性運算以及矩陣的乘法運算”修改為“在線上提前預習時，學生能正確完成一個矩陣加法和一個數乘矩陣計算題，能通過向量乘法看懂矩陣乘法的定義；在課堂隨機提問環節，學生能正確說出至少兩個矩陣乘法運算律；在課后作業中，學生獨立完成教師布置的三個作業題（兩個基礎題、一個補充題）并在規定時間內提交作業”等目標。

（三）課前知識檢測

根據部分專業的培養方案設計，線性代數課程的授課對象若是大一年級的新生，為了解學生中學課程的基礎和預備知識的掌握程度，確保學生能適應新知識的教學進度和難度，教師可在建立的微信公眾號中以發放開放性試題、推送調查問卷等方式調研學生的知識儲備情況，要求學生在限定時間內完成。即將講授的新課內容也通過微信公眾號發放，讓學生提前預習并反饋更想掌握的知識。先測會使學生對學習產生一定的緊迫感，集中注意力，避免聽課時一頭霧水，掃除新課中的障礙，把精力主要放在理解和思考問題上，發現自己的薄弱環節，提高學習效率。

（四）以學生為中心的參與式學習

參與式學習是BOPPPS模式的關鍵部分，目的是讓學生最大限度地參與到教學過程中。在16次教學設計中，分別交叉使用不同的方法來設計本環節。（1）課堂互動方法。如講到矩陣乘積所滿足的運算律時，消去律一般不成立。學生容易將其和常數的乘積運算混淆，因此為讓學生更清楚地記住“兩個非零矩陣的乘積仍可能是零矩陣（即當矩陣[A≠0]，矩陣[B≠0]時，仍有可能[AB=0]）”，可以讓學生在課堂上自由發言、自由舉例。（2）翻轉課堂。若某些章節實際示例較多，或者通過前測部分已了解到感興趣的學生較多，可采用翻轉課堂，給學生更多的機會，讓學生來講，時長由教師控制。（3）結合實際操作。結合MATLAB、Python等熱門軟件操作來講解，既讓學生掌握不容易記住的知識點，還讓學生了解到這些軟件在數學課程中的應用，講解結束后學生課后可采取實驗的方式繼續學習。例如，“設A是一個[m×n]矩陣，對A左乘一個m階初等矩陣，相當于對A進行相應的行初等變換；對A右乘一個[n]階初等矩陣，相當于對A進行相應的初等列變換”[1]，該定理即是說，對矩陣作一系列的初等變換，可以通過左乘及右乘若干初等矩陣來實現。教材中有適當的證明過程，但我們只能告知學生，它就是這樣來的，在課件展示、口頭講解后，學生遇到實際題目時不一定能做到心領神會。通過MATLAB或者Python軟件的計算，課上邊操作邊講解，使學生在理解定理的同時可猜測計算結果，這無疑能更好地調動學生的學習主動性。當然，也許這些軟件對于剛入大學校門的學生來說是陌生而新鮮的，我們會將相關軟件介紹推送到前文所提到的微信公眾號中，當學生不會計算時直接打開該微信公眾號即可查閱。

（五）課后測驗學習效果和教學效果

這一部分的檢測通常采用課后作業、章節測驗和調查問卷等方式來進行。課后作業為每次課都要布置一次作業，通過微信公眾號或者釘釘群布置和提交；章節測驗中總的測驗次數須達到5次（共5章內容）；問卷調查在課程結束后進行，問卷題型有單選、多選和開放性題型。教師通過課后學生的反饋情況，了解教學存在的問題，可及時與學生進行探討和完善。

（六）課堂內容的梳理與總結

教師應針對上一環節的討論進行，每次收回的作業要在下次課前批改完成，將作業中存在的問題在線上或線下及時反饋給學生，并預告下次課內容。由于課時問題，章節測驗選擇學生空余的時間在線上開展，一次測驗結束后先將參考答案通過微信公眾號發布，讓學生主動核對并將測驗成績上報給教師，出現錯誤最多的地方要在下一章上課時重復講解。調查問卷向全班學生發放，問卷回收后進行描述性統計，分析結果并在班級釘釘群或微信公眾號公示。每章結束后，課上利用幾分鐘時間讓學生輪流發言，分享學習心得。通過總結歸納，評估教學效果，幫助學生反思，總結學習經驗。

四、結語

文中所涉及的微信公眾號已在建設之中，后期的更新和維護也是一項必不可少的工作。基于微信公眾號平臺，通過BOPPPS教學模式，在每一次閉環教學中全面細化線性代數的課程教學設計，自然引入定理和計算、提前進行摸底預測，多種方式讓學生參與教學和學習、檢測學習效果并進行總結，承前啟后、有效銜接各章節內容，與學生科學互動，教學相長。如今網絡平臺較多，學生疲于對各種教學視頻的選擇，我們應充分利用新的信息化技術，整合最優資源，將學生的碎片化空余時間“撿”起來。

教學實施過程中，還應關注以下幾點：（1）為體現BOPPPS模式下的教學設計的成效，教師在各環節還應加強痕跡管理，加強課程的過程性評價和考核，記錄下學生各環節的表現，根據學生表現合理進行打分獎勵，計入期末綜合成績。（2）本課程的課時少，增加課時又會導致專業培養方案的大范圍修改，很多環節的工作需要教師和學生在線上配合完成，這不僅要求教師要無私奉獻，還要求學生自覺主動地加入，探究學習，發現問題，解決問題。（3）利用電子產品和課堂的結合來激發學生的學習興趣，應掌握好二者結合之度，若使用手機或電腦時間過長，部分學生可能玩的時間超過學習的時間，導致最終學習效果大打折扣。（4）團隊精神是一種文化氛圍，是一種積極向上、朝氣蓬勃的精神面貌，應加強學生團隊意識的建設。（5）如何將課程思政融入各環節也是值得深思的問題。

我們要不斷推陳出新，緊跟時代步伐，創造新的信息化課堂教學模式。同時希望通過有效的教學設計，能獲得良好的教學效果。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 王章雄，李任波.線性代數[M].南京：南京大學出版社，2015.

[2] 曹丹平，印興耀.加拿大BOPPPS教學模式及其對高等教育改革的啟示[J].實驗室研究與探索，2016，35（2）：196-200.

[3] 王華麗，馮倩倩.BOPPPS教學模式在線性代數教學中的應用及效果評價[J].黑龍江科學，2021，12（1）：52-53.

[4] 李菊雁，邊雪芬.基于BOPPPS教學模式下的線性代數微課教學設計：以“逆矩陣”為例[J].數學學習與研究，2020（7）：14-15.

[5] 顧麗娟，龍海波，周鳴宇.基于BOPPPS模型逆矩陣的課堂設計[J].教育教學論壇，2019（48）：194-195.

[6] 農建誠，韋銀幕，韋竹穩.基于BOPPPS教學模型的高等數學信息化課堂教學設計：以微積分基本定理為例[J].創新創業理論研究與實踐，2019，2（2）：40-42.

[7] 李霞，文志勇，李宇，等.微信輔助BOPPPS教學模型在有機化學課程教學中的應用研究[J].科技經濟導刊，2019，27（24）：112-113.

[8] 王海玲.基于BOPPPS教學模式的離散數學教學改革的探索與實踐[J].大學數學，2021，37（2）：18-23.

［責任編輯：劉鳳華］