重視數學探究活動 發展學生核心素養

【摘 要】數學探究課是指學生在教師主導下圍繞某個數學問題，通過自主學習、合作探究、小組展示等方式，主動獲取知識、應用知識、解決問題的課堂模式。探究內容可以是課本上的，也可以是根據課本知識引申的，關鍵是要體現數學探究的價值，滲透探究的一般路徑與方法，讓學生學會的不僅僅是知識，更重要的是構建探究問題的思路，進而實現遷移與運用。

【關鍵詞】高中數學；探究活動；函數的圖象與性質；核心素養

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2023）29-0047-05

【作者簡介】姜尚鵬，山東省平度市第九中學（山東青島，266700）教師，一級教師，青島市優秀教師，青島名師，青島市學科帶頭人，青島市教學能手。

數學探究是指圍繞某個具體的數學問題的活動，學生開展自主探究、合作研究并最終解決問題，具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論。數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容。

“探究函數y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質”安排在高一上學期，學生學完初等函數的學習之后，是一節探究課。在一方面通過對教材的挖掘，增進學生對“對號函數”和“飄帶函數”的理解。另一方面，引導學生通過類比與對比得到研究一般函數圖象與性質的路徑，讓學生經歷從特殊到一般的提煉過程，培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學生積累數學探究活動經驗，發展學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學建模等核心素養。

一、教學過程

1.創設情境，抽象函數

我?？萍拣^要制作一個占地32m2的圍欄保護孔子像。如下頁圖1所示，設圍欄的邊長AD為xm，因場地限制要求AD不超過3m，圍欄總長為ym。你能幫忙設計圍欄的長和寬，使圍欄用料最省嗎？

學生自主構建函數模型，尋找求解最值的方法，教師引導學生進一步研究函數的單調性，并引導學生將函數y=2x+[32x]一般化，擴充研究范圍，拋出研究函數y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質。

【設計意圖】借助實際生活情境，讓學生構建相應函數模型，發展學生的數學抽象和數學建模核心素養。由于基本不等式解決不了問題，產生思維沖突，激發學生思考需要進一步研究一個新函數的圖象與性質。

2.復習舊知，回憶經驗

教師引導學生回憶之前研究過的類似函數，即函數y=x+[1x]的圖象與性質。之后教師播放探究函數y=x+[1x]的圖象與性質的微課視頻。

微課內容：通過描點作圖的方式引導學生畫出函數y=x+[1x]的圖象，之后從圖象觀察函數的性質。但對于部分性質，如值域和漸近線等，無法從圖象直接觀察得出，所以通過從“數”的角度，即解析式入手先研究函數y=x+[1x]的性質，如值域和漸近線，再完善函數的圖象?；蛘?，從“形”的角度，即將函數分解成兩個熟悉函數y=x和y=[1x]，當橫坐標相同時，縱坐標相加構成函數y=x+[1x]的圖象的角度進行分析，這樣得到的函數圖象更加精確，值域和漸近線也更容易從圖象觀察得出。

【設計意圖】通過回憶特例——函數y=x+[1x]的圖象與性質的研究路徑，為后續研究一般函數y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質的研究路徑做鋪墊，并在之前研究路徑的基礎上，通過探究對研究路徑進行再擴充和再梳理，發展學生的邏輯推理等核心素養。

3.研制策略，優化方案

問題1：類比以往研究函數的經驗，你認為應該按照怎樣的思路研究函數y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質？

生：先對a，b進行討論，可以分成y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）、y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）、y=ax+[bx]（a＜0，b＜0）、y=ax+[bx]（a＜0，b＞0）四類函數。

師：需要對這四類函數一一進行討論嗎？

生：第三類和第四類函數的圖象可以通過將第一類和第二類函數的圖象關于x軸對稱得到，所以只需要研究第一類和第二類函數的圖象與性質即可。

【設計意圖】教師讓學生自主分析函數y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質的研究思路，體現了先整體架構研究框架，再逐個擊破的研究方法，能夠培養學生邏輯推理等核心素養。

4.小組合作，感悟路徑

問題2：每個小組選擇一類函數，你們能給出幾種研究函數的圖象與性質的路徑？

教師把所有小組分成兩隊，分別研究函數y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）和函數y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的圖象與性質，學生先獨立思考，之后小組討論，最后小組代表展示研究成果。

小組代表1：我們小組探究的是函數y=ax+[bx]（a＞0，b＞0），研究路徑是從圖象到性質。不妨令a=1，研究b對函數y=x+[bx]（b＞0）圖象的影響。借助GeoGebra軟件，可以發現b影響了函數在x∈（0，+∞）上圖象的最低點和x∈（-∞，0）上圖象的最高點。（見圖2）同理可以得到a影響了函數圖象的開口，也就是漸近線，最后我們可以觀察函數y=ax+[bx]（a＞0，b＞0）的圖象得到它的性質。（見圖3）

師：你能用總結的性質解決“圍欄”問題嗎？

小組代表1：可以。函數在y=2x+[32x]在x∈（0，3］上單調遞減，所以當x=3時取到最小值。

師：還有其他的研究路徑嗎？

小組代表2：我們小組探究的是函數y=ax+[bx]（a＞0，b＞0），研究路徑是從性質到圖象。首先研究函數的定義域，易得[x∣x≠0]。接下來研究奇偶性，由奇偶性的定義易證這是一個奇函數。再研究它的單調性，我們借助基本不等式可以得到這個函數的單調增區間為（-∞，-[ba]），（[ba]，+∞），單調減區間為（-[ba]，0），（0，[ba]）并可得函數的值域為（-∞，-2[ab]）∪（2[ab]，+∞）。接下來研究漸近線，當x→0時ax→0，函數趨向于y=[bx]，所以一條漸近線是y軸，當x→+∞時[bx]→0，函數趨向于y=ax，所以另一條漸近線為y=ax。最后通過性質畫出函數的圖象，并借助GeoGebra軟件作圖驗證。

小組代表3：我們小組探究的是函數y=ax+[bx]（a＞0，b＜0），研究路徑是從圖象到性質。我們發現它是由我們熟悉的函數y=ax和y=[bx]相加得到的，所以我們先借助GeoGebra軟件作出y=x和y=-[1x]的圖象，在x軸上取一點，過這點作垂直于x軸的直線，與y=x和y=-[1x]的圖象分別交于一點，再通過軟件的平移功能，得到剛才兩個交點縱坐標和對應的點，移動垂線，得到該點的軌跡就是所求函數圖象。通過觀察容易發現，它的定義域[x∣x≠0]，在（-∞，0），（0，+∞）上分別單調遞增，關于原點對稱是奇函數，值域為R。下面我們固定a=1，改變b的值，發現圖象對應的性質未發生改變。我們又固定b=-1，改變a的值，發現漸近線一直隨著變化，也就是說a影響了函數圖象的漸近線。

小組代表4：我們小組探究的是函數y=ax+[bx]（a＞0，b＜0），研究路徑是從性質到圖象：先研究兩個熟悉函數y=ax和y=[bx]的性質，合成y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的性質。比如，y=ax是奇函數，y=[bx]是奇函數，所以y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）是奇函數，其他性質也可以同理推出，最后再畫出函數的圖象，并通過GeoGebra軟件作圖驗證。

師：這樣我們就得到了兩類函數的圖象與性質，他們分別叫“對號函數”和“飄帶函數”。（見圖4，圖5）同時我們還得到多種研究路徑：一是把函數看成一個整體，然后既可以從“形”出發，由圖象研究性質，也可以從“數”出發，由性質研究圖象。二是分解函數，把函數看成兩個函數經過運算得到的，同樣既可以從“形”出發，由兩個函數的圖象合成研究一個函數的圖象，進而通過圖象研究性質，也可以從“數”出發，由兩個函數的性質合成研究一個函數的性質，進而通過性質研究圖象。

【設計意圖】通過讓學生分組研究，避免了同時研究兩類相似的函數而浪費時間。此外，小組合作還培養了學生的交流合作能力。教師收集每個小組的研究路徑，進行匯總和結構化梳理，引導學生梳理研究函數的圖象與性質的方法，有利于學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養的發展。

5.獨立思考，內化路徑

問題3：通過今天的學習，你認為還能研究哪些函數的圖象與性質？給出函數并嘗試研究它的圖象與性質。（開放題）

學生先獨立思考，之后通過小組合作，討論交流選擇函數，并借助GeoGebra軟件研究它的圖象與性質。筆者收集學生研究的函數類型有y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0），y=a｜x｜+ax2（a＞0），y=2x2sinx等。

大部分學生選擇的是y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0）這個函數。展示小組是從分解成兩個函數y=ax2和y=[bx2]的圖象，借助GeoGebra軟件合成一個函數y=ax2+[bx2]（a≠0，b≠0）的圖象的路徑進行的研究。除了前面分析的研究路徑外，教師還通過追問讓學生學習從復合函數的角度研究該函數。

對于函數y=a∣x∣+ax2（a＞0）的圖象與性質，展示小組是先從整體研究性質再畫圖象的路徑進行的研究，因為學生發現從代數角度很容易研究這個解析式的性質，并且由于兩個部分有同一個參數a，不適合分解研究。

對于函數y=2x2sinx的圖象與性質，教師引導學生不僅可以研究由基本初等函數加減得到的函數，也可以是乘除得到的函數。當然，學生還給出了很多其他的函數類型，由于時間關系，課堂上沒有一一展示。

【設計意圖】對于本節課研究的函數y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質知識層面的鞏固放到課后，研究路徑的鞏固放到課上。通過開放式問題激發學生思考，讓學生自己構造研究的函數。借助小組代表展示，教師了解學生構造的函數以及研究思路，并及時進行挑選和梳理，與學生一起分析如何根據函數解析式的特征挑選合適的研究路徑，并將研究的函數的類型的范圍進行推廣，可以是含有兩個參數的函數，也可以是含有同一個參數兩次的函數，還可以是沒有參數但變成兩個基本初等函數乘除的函數。這樣，學生既鞏固了新知，又在新知學習的基礎上拓寬了思維與視野，數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養得到培養。

二、教學思考

1.數學探究活動內容選擇要恰當

本節課主要內容是探究函數y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質以及明確研究一般函數圖象與性質的路徑。本節課是在研究函數y=x+[1x]的圖象與性質的基礎上，進一步研究一個更一般化的函數y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質。這一探究過程意在告訴學生研究一個一般函數圖象與性質的多種路徑，體現了數形結合、分類討論、類比、特殊到一般等思想，對于學生數學思維的訓練、核心素養的提升有著很大的幫助。因此，在學生學習完基本初等函數之后，作為單元學習的提升，安排一節課讓學生探究函數y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質是恰當且必要的。

2.數學探究活動應合理使用信息技術

教材中信息技術與數學內容的融合情況既影響教師的教也影響學生的學。［1］描點作圖法適合學生剛學習某個函數時應用。當學生有了一定的知識儲備后，要對函數進行深度探究時，GeoGebra軟件是非常方便的。一是GeoGebra軟件具有呈現作圖的功能?？梢匝杆僮鞒龊瘮档膱D象，方便學生根據圖象猜測性質，進而通過代數方法說明。二是GeoGebra軟件具有呈現動態軌跡的功能。學生描點作出的函數圖象畢竟是有限的且靜止的，但是通過GeoGebra軟件調動參數的變化，跟蹤函數圖象軌跡可以讓學生看到若干函數圖象的變化趨勢，從而總結性質，加深對知識的理解。三是GeoGebra軟件操作與數學知識的融合功能。學生在研究y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象與性質時，分解成y=ax（a＞0）和y=[bx]（b＜0）的圖象，之后借助GeoGebra軟件作圖的平移功能，通過跟蹤軌跡得到y=ax+[bx]（a＞0，b＜0）的圖象，這樣的作圖需要學生深刻理解數學知識才能畫出函數的圖象。這樣得到的函數圖象比直接輸入函數解析式得到圖象更加形象，也更能鍛煉學生的數學實踐能力。

3.數學探究活動要“收放有度”

教師通過微課讓學生回憶之前是如何學習函數y=x+[1x]的圖象與性質，為本節課類比學習函數y=ax+[bx]（a≠0，b≠0）的圖象和性質做鋪墊。有了鋪墊，整個探究過程教師完全放手，讓學生自主構建研究思路，梳理研究路徑，最后教師再收集學生的各種研究路徑，與學生共同總結與提煉。同時，將研究路徑進行應用時，教師也是充分放手給學生，讓學生自主選擇研究的函數，并自主選擇合適的路徑研究它的圖象與性質，最后教師收集學生研究的各種函數類型，與學生共同總結與提煉。整個探究活動教師放手讓學生自主研究的同時又及時收回研究內容，梳理相關內容并進行總結與提煉，真正實現了“收放有度”。

【參考文獻】

［1］胡鳳娟，呂世虎.高中數學教材中信息技術與函數內容融合的研究——以2019年6個版本高中數學新教材為例［J］.當代教育與文化，2021，13（3）：46-54.

［2］丁書明.重啟探究與發現 發展數學素養——“探究函數y=x+1/x的圖象與性質”的教學設計［J］.中學數學教學參考，2020（34）：31-34.