對幾何直觀的認識和培養

李樹臣 欒尚鋒

【摘 要】《課標（2022年版）》提出了“三會”的數學核心素養目標，初中階段的核心素養包括九個行為表現，幾何直觀是其中之一.幾何直觀是學生整體素養不可或缺的部分，數學教學應加強對學生幾何直觀的培養.學生幾何直觀的形成與發展是在過程中實現的，在對幾何直觀初步認識的基礎上，提出了三個培養學生幾何直觀的策略.

【關鍵詞】核心素養;幾何直觀;培養策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在“課程目標”中提出了“核心素養”的概念，并將“幾何直觀”作為初中學段核心素養的主要表現之一^［1］.本文首先談談對幾何直觀的認識，然后探討其教學策略.

1 對幾何直觀的認識

徐利治^［2］教授認為：“直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知.”

《課標（2022年版）》認為“幾何直觀”是“運用圖表描述和分析問題的意識與習慣”.分為四個層次：（1）能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類；（2）根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質；（3）建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型；（4）利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路^［1］.可見，幾何直觀就是依托、利用圖形進行數學的思考和想象，它在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力.

幾何直觀不僅能為學生學習幾何知識、進行幾何探究與推理提供便利，而且能為學生理解與洞察其他更為抽象的數學內容與結構搭建橋梁，幾何直觀是啟發問題解決思路的基本策略^［3］.初中階段的幾何直觀主要表現為7個方面，“能通過尺規作圖、折紙、剪拼等操作活動，感知圖形的結構特征”是其中之一^［4］.

對于這一表現，文［5］認為尺規作圖是歐氏幾何的基礎，尺規作圖的操作過程有助于學生認識圖形的組成元素及其位置關系，對圖形的結構特征形成直觀感知，進而為邏輯推理奠定基礎.在初中數學教學中，不能把尺規作圖簡單的看作是“圖形與幾何”的任務，應將其當作一種感知幾何圖形、理解圖形性質、探究幾何規律的認知工具.這種表現行為包括三個方面^［5］：

（1）能用直尺和圓規作出基本圖形，感悟尺規作圖的合理性及圖形的幾何特征.例如，在用尺規作圖作一個角的平分線的同時，能探究得到角平分線的性質，這個性質有兩個方面的意義：一是“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”，這是角平分線上的點具有的共同屬性（這條平分線上的任何一點都滿足到角兩邊的距離相等的特性），讓學生認識到在角平分線上的點，不摻雜一個不具有這種性質的點；二是“到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”，這是角平分線的本質（到一個角兩邊距離相等的點都在這個角的平分線上），讓學生感悟到角平分線外的任何一點到這個角兩邊的距離都不相等.

（2）能利用尺規作圖探討幾何圖形的存在性與結構特征.例如，學生通過用尺規作三角形的外接圓，能發現這個外接圓的存在性和唯一性：三角形的三條邊都是線段，由于線段的垂直平分線有且僅有一條，所以三角形兩邊的垂直平分線一定有交點，而且這個交點只能有一個，從而對“任意三角形都有唯一一個外接圓”深信不疑.因此，任意一個三角形都有一個外接圓.對于每個三角形都有唯一一個內切圓也可以類似進行說明，正因為每個三角形都有唯一一個內切圓，所以根據直角三角形的三邊長就可以求出這個圓的直徑.劉徽曾用兩種方法證明了《九章算術》中的“勾股容圓”公式.

（3）能利用折紙、剪拼等操作活動對簡單圖形進行變換、分解與組合，解釋操作過程的幾何原理，明確操作前后圖形的關系.折紙的數學原理就是軸對稱，通過圖形的剪拼活動可以直觀感知圖形的形狀和大小，形成頭腦中的表象，為空間想象建立直觀基礎.

案例1 打印紙中的數學^［6］.

Ａ４打印紙的長與寬之比為2，可以用下面兩種折紙的方法進行驗證并證明：

方法１：如圖１，將Ａ４打印紙折疊，使點Ａ落在BC邊上，得折痕BE．再將四邊形BCDE折疊（如圖２），發現點Ｅ落在點Ｃ處．由折疊過程可知，BC=BE=√^—2AB.

方法２：如圖3，將Ａ４打印紙折疊兩次，設兩條折痕的交點為Ｏ．再將四邊形ABOE折疊（如圖４），發現點A落在點Ｏ處．由折疊過程可知，BC=√^—2OB=√^—2AB.

20世紀最偉大的數學家之一希爾伯特在《直觀幾何》一書中談到：圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結果.

總之，幾何直觀有助于學生更好的學好數學，也是一種數學學習與問題解決的工具，在其他領域的數學學習中有廣泛的應用^［5］，被《課標（2022年版）》作為學生數學核心素養的重要表現之一.

2 初中生幾何直觀素養的培養策略

幾何直觀素養的形成離不開“圖形”，幾何圖形是培養直觀素養的最佳“載體”，這里的“直觀”既包括能看得到的“實物”，也包括依托看到的“實物”進行思考、想象，而且這一點更為重要.幾何直觀素養的培養既離不開“圖形”，也離不開“過程”.這里的過程主要指下面的三個：

2.1 數學概念的形成過程

許多幾何概念都有“實物”模型，在對這些概念的教學中，教師要精心設計問題系列，引導學生經歷概念的形成過程，在建立概念的同時加深對基本圖形的認知，感悟幾何直觀的思想.

案例2 三角形內切圓概念的建立過程.

為了在三角形內切圓概念的建立過程中培養學生的幾何直觀素養，我們設計了下面的問題系列：

（1）你能在∠AOB的內部（圖5）

作一個圓使其與兩邊OA，OB都相切嗎？

（2）任意作一個△ABC，你能在△ABC內部作一個與各邊都相切的圓嗎？怎樣確定出這個圓的圓心的位置？

（3）怎樣用尺規作一個圓，使它與△ABC的各邊都相切呢？

（4）你能說出上面作圖的道理嗎？與三角形各邊都相切的圓有幾個？

設計意圖 《課標（2022年版）》在“課程內容”中對三角形內切圓的概念沒有提出明確要求，只有兩條與之相關的要求：（1）了解三角形的內心；（2）能用尺規作三角形的內切圓.三角形的內心是三角形內切圓的“附屬”概念，因此在教學中必須先給出三角形內切圓的概念.

我們采用的是先用尺規作一個與三角形各邊都相切的圓，說明這個圓是確確實實存在的，而學生又不認識，于是需要給這個“圓”起個名字.教學的重點放在引導學生探究作圖的過程上，于是，我們設計了上面的四個問題系列.

對于問題（1），學生很快就能作出圖6所示的無數個圓，而且歸納出這無數個圓的圓心都在∠AOB的平分線上.在思考這個問題的基礎上，學生對于問題（2）能給出肯定的回答：只要作出△ABC兩角的角平分線，兩條角平分線的交點就是與三角形各邊都相切的圓的圓心.

有了問題（2），學生很容易給出問題（3）的解答過程：

已知：△ABC（如圖7①）.

求作：⊙I，使它與△ABC各邊都相切.

作法 （1）分別作∠ABC和∠ACB的角平分線BD和CE，BD與CE相交于點I（如圖7②）；

（2）過點I作IF⊥BC于F.

（3）以I為圓心，IF為半徑作圓.

⊙I即為所求作的圓.

對于問題（4），學生根據作法可給出解釋，并作出⊙I是唯一的回答.

這時教師給出三角形的內切圓、三角形的內心、圓的外切三角形等概念.

這種設計首先從作圖得到一個特殊的圓，然后給出三角形內切圓的概念.在建立三角形內切圓概念的同時，學生進一步熟悉尺規作圖的原理，并且培養了學生的幾何直觀素養.

對于一些抽象但圖形本身比較直觀的數學概念，教學中可以利用圖形對其概念進行直觀表征，這樣能使抽象的數學概念直觀化，這種教學有助于學生加深對數學概念的理解和記憶，認識概念的內涵及本質特征.還有助于學生把新學習的概念納入到已有的知識結構體系中，進一步優化和擴大學生的知識結構.

2.2 數學規律的探究過程

美籍匈牙利數學家波利亞在《數學的發現》中指出：“學習任何東西的最好的途徑是自己去發現”.數學定理、公式、性質等都是反映數學對象和概念間關系的具體知識，我們不妨稱之為“數學規律”.數學規律是數學的“核心”知識，《課標（2022年版）》界定的“課程內容”中有很多數學規律，如乘法公式（a+b）（a-b）=a²-b²，（a±b）²=a²±2ab+b²；一元二次方程根與系數的關系；三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；勾股定理及其逆定理；多邊形的內角和與外角和公式；圓周角與圓心角及其所對弧的關系等等.

對于“數學規律”的教學，我們都可以通過設計的問題系列，引導學生結合相應的幾何圖形經歷探究、發現這些“數學規律”的過程，同時達到培養學生幾何直觀，提升數學核心素養的目標.

案例3 一元二次方程求根公式的推導過程.

【問題呈現】

一個正方形與一個長方形的面積之和等于c，如果長方形的一邊長為b，另一邊長恰好等于正方形的邊長，求這個正方形的邊長.

【割補圖形】

如圖8，設正方形的邊長為x，則長方形的另一邊長也為x.

（1）把長方形沿虛線剪開，得到兩個全等的小長方形（如圖9）；

（2）把其中一個小長方形放到圖8所示的正方形右邊，另一個放到它的下面；然后在右下角補上一個邊長為b/2的小正方形，由此得到圖10所示的大正方形.

【觀察發現】

（1）圖10中大正方形的邊長為__________，其面積為__________.

（2）用含b，c的代數式表示這個大正方形的面積，則為__________.

（3）由（1）（2）你能得到怎樣的方程？這個方程的解是什么？

【抽象思考】

（4）對于一般的方程x²+bx=c來說，它的解為__________.

（5）為了推導方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式，我們可以在等式兩邊同除以a，這時方程變為x²+b/ax=－ca，只要把方程x²+bx=c中的b換成b/a，c換成－c/a，則根據（4）的結果可得到方程ax²+bx+c=0的解為x=__________.

設計意圖 一元二次方程求根公式是《課標（2022年版）》界定的“數與代數”領域的課程內容，目前的大部分教材，基本上都是利用配方法推導出來的.為了更好的培養學生的幾何直觀素養，我們設計了“問題呈現—割補圖形—觀察發現—抽象思考”四個部分.

這就是大家熟悉的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式.

本案例立足于從圖形的面積出發，推導出一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式，對學生來說是一個“全新”的過程，這種推導方法凸顯了“數學史”的意義，這對于激發學生的學習數學的興趣，欣賞數學美，感悟數形結合思想，加深對“出入相補原理”的理解和認識，增強幾何直觀等素養都具有積極的價值.

2.3 解決問題的過程

學習數學知識的目的在于利用所學知識解決有關問題，解決問題的方法很多，數形結合是常用的一種解決問題的方法，由于這種方法能把“數”與“形”相互轉換，因此，在學習中經常遇到通過構造圖形解決代數問題，也可以將幾何問題轉換成代數問題進行求解.從而把復雜的數學問題簡單化，同時有助于學生進一步加深對數形結合的理解和認識，培養學生的幾何直觀素養.

案例4 有一塊如圖11所示的土地，要用一條直線把它分割成面積相等的兩部分，應如何確定出直線的位置？

設計意圖 我們知道要確定一條直線的位置，只需要確定出兩個點就可以.由于本題沒有指明這條線要經過哪一個點，所以學生感到無從下手.教學時可引導學生首先固定一點，然后根據“分割成面積相等兩部分”的要求得到另一點的位置，然后連線就可以得到這條直線.這是一道開放性的問題，這條直線可以用多種確定方法，例如，下面幾種方法學生都能接受：

為解答方便，不妨設圖中小正方形的邊長為a.

方法一：可以先確定點A，再確定點G，如圖12，設AG符合要求，只要求出CG的長度就能確定出點G.

方法三：在CD上取DH=12a，連接BH即為所求（如圖13）.

本題中能把圖11所示的土地分為二等分的直線有多種位置，從而本題有多種解決方法，教師在教學中可根據學生的接受能力適當選取幾種解法引導學生去思考、探索.這樣的問題對于學生幾何直觀、計算能力等素養的培養都是非常有益的.

學生的幾何直觀素養是在日積月累的學習與體驗中逐步形成的，形成過程是一個漫長的過程.我們結合案例說明了三個常用的培養策略，在實際教學中，教師要認真學習《課標（2022年版）》，研讀教學內容，不斷探究培養學生幾何直觀的教學方法，通過培養幾何直觀達到提高學生數學核心素養的目的.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.5.

［2］徐利治.談談我的一些數學治學經驗［J］.數學通報，2000（05）：1-4.

［3］李樹臣.論幾何直觀的教育教學價值［J］.中國數學教育，2015（7-8）：9-13.

［4］史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.8.

［5］鮑建生，章建躍.數學核心素養在初中階段的主要表現之三：幾何直觀［J］.中國數學教育，2022（7-8）：3-9.

［6］王曉峰.數學實驗與邏輯推理［J］.數學通報，2021（03）：13-17.

［7］張莉.探析初中數學教學中學生幾何直觀素養的培養［J］.數學之友（南京），2022（11）：2-5，9.

作者簡介 李樹臣（1962—），男，山東沂南人，中學正高級教師;臨沂大學學生學業導師，山東省教育科研先進個人，山東省創新教育先進個人，三次獲山東省省級教學成果獎;全國義務教育初中數學教材（青島版）核心作者，中國人民大學《復印報刊資料·初中數學教與學》編委，湖北大學《中學數學》特約編委.

欒尚鋒（1968—），男，山東萊蕪人，市優秀班主任，市教育教學先進個人;主要研究數學課堂教學.