學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法教學(xué)探析

方蘇云　趙易莛

【摘 要】學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)和探究某一知識(shí)時(shí)，對該知識(shí)的認(rèn)識(shí)和思考不斷深入、精致和完善，逐步實(shí)現(xiàn)知識(shí)層級的跨越，最終獲得思維與素養(yǎng)的進(jìn)階發(fā)展。本文依托“學(xué)習(xí)進(jìn)階”理論，精心設(shè)計(jì)除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的學(xué)習(xí)進(jìn)階層級建構(gòu)策略：把準(zhǔn)“低起點(diǎn)”，調(diào)用已有經(jīng)驗(yàn)初步感悟算理；激活“中間水平”，連續(xù)深入理解算理與算法；實(shí)現(xiàn)“高落點(diǎn)”，綜合運(yùn)用內(nèi)化算法。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)進(jìn)階 小數(shù)除法

“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”是人教版五上小數(shù)除法單元的關(guān)鍵起始課例，教材編排三個(gè)例題分兩課時(shí)完成，知識(shí)點(diǎn)逐步遞進(jìn)如圖1所示。

從教材編排來看，編者主要?jiǎng)?chuàng)設(shè)跑步情境利用千米和米的關(guān)系，同時(shí)結(jié)合小數(shù)的意義幫助學(xué)生理解除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法算理，探索商的小數(shù)點(diǎn)的定位方法。與整數(shù)除法相比，小數(shù)除法的計(jì)算過程步驟更為繁瑣，這主要是學(xué)生對小數(shù)由計(jì)數(shù)單位逐步均等細(xì)分產(chǎn)生的過程較難建立具體的表象，進(jìn)而直接影響其對小數(shù)除法算理的理解。

學(xué)習(xí)是一個(gè)進(jìn)階的過程，學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下的課堂教學(xué)，就是指學(xué)生在學(xué)習(xí)和探究某一知識(shí)時(shí)，對該知識(shí)的認(rèn)識(shí)和思考不斷深入、精致和完善，注重對新知識(shí)的“整體”與“深層”建構(gòu)，逐步實(shí)現(xiàn)知識(shí)層級的跨越，最終獲得思維與素養(yǎng)的進(jìn)階發(fā)展。本文依托“學(xué)習(xí)進(jìn)階”理論，精心構(gòu)建符合除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法運(yùn)算發(fā)展序列和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的層級，引領(lǐng)學(xué)生展開進(jìn)階學(xué)習(xí)，深度理解小數(shù)除法算理，掌握運(yùn)用算理的方法。

一、建立：除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法學(xué)習(xí)進(jìn)階

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出“數(shù)與運(yùn)算”主題，體現(xiàn)數(shù)概念與運(yùn)算的密切關(guān)聯(lián)。整數(shù)的運(yùn)算基于學(xué)生對整數(shù)意義的理解，那么小數(shù)的運(yùn)算也基于對小數(shù)意義的理解。依托小數(shù)十進(jìn)制的特征，著眼計(jì)數(shù)單位展開除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的學(xué)習(xí)，將教材編排的兩課時(shí)內(nèi)容整合為一課時(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體設(shè)計(jì)——將被除數(shù)計(jì)數(shù)單位變小，其數(shù)變大，成為整數(shù)，再融合小數(shù)意義圖像理解小數(shù)除法計(jì)數(shù)單位均等細(xì)分的算理圖式，進(jìn)而深刻理解其本質(zhì)內(nèi)涵。

基于上述思考，為更精準(zhǔn)地建立學(xué)習(xí)進(jìn)階層級，筆者對處于城郊結(jié)合部的某所學(xué)校五年級的兩個(gè)班共84個(gè)學(xué)生進(jìn)行前測，前測題如下：①王鵬堅(jiān)持晨練，計(jì)劃4周跑步22.4千米，他平均每周跑步多少千米？②媽媽去超市買了5袋牛奶，共花了11.5元，每袋牛奶多少元？前測結(jié)果顯示，題①正確率為66.7%，題②正確率為83.3%。

從前測結(jié)果看，學(xué)生對十進(jìn)制單位情境下的除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法前認(rèn)知比非十進(jìn)制單位情境下的更厚實(shí)，這與具有十進(jìn)制特征的小數(shù)意義緊密關(guān)聯(lián)。小數(shù)除法的基石是由計(jì)數(shù)單位的均等細(xì)分構(gòu)建的，因此從學(xué)生已有豐厚的十進(jìn)制經(jīng)驗(yàn)出發(fā)建構(gòu)學(xué)習(xí)層級，更易于激發(fā)學(xué)生對知識(shí)的自主建構(gòu)與理解小數(shù)除法算理。據(jù)此，筆者建立了除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法學(xué)習(xí)進(jìn)階層級（如圖2所示）。用三個(gè)層級統(tǒng)整原教材中兩個(gè)課時(shí)的三個(gè)例題，在實(shí)現(xiàn)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的同時(shí)，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、幾何直觀和推理意識(shí)等核心素養(yǎng)。

二、實(shí)踐：除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法進(jìn)階教學(xué)

（一）把準(zhǔn)“低起點(diǎn)”：切入十進(jìn)制單位情境，調(diào)用已有經(jīng)驗(yàn)初步感悟算理

依據(jù)前測可知，學(xué)生在學(xué)習(xí)除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法之前，已經(jīng)初步具備了學(xué)習(xí)小數(shù)概念及進(jìn)行十進(jìn)制單位換算的經(jīng)驗(yàn)，因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容時(shí)，完全可以對接自身已有的經(jīng)驗(yàn)，初步感知除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法算理。

1.對接已有經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)認(rèn)知沖突。

【教學(xué)片段1】大屏幕呈現(xiàn)圖3。教師先提問：“同學(xué)們課前做的這道題，有這么多種方法，你們都能看懂嗎？你們認(rèn)為哪些是正確的，哪些是不正確的？”引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比、分析，進(jìn)而產(chǎn)生學(xué)習(xí)需求——余數(shù)是小數(shù)時(shí)怎么繼續(xù)除。

此環(huán)節(jié)基于80%以上的學(xué)生會(huì)正確計(jì)算的情況下展開觀察討論，引導(dǎo)學(xué)生在對比中自然對接已有的經(jīng)驗(yàn)來辨析對錯(cuò)，比如：①號運(yùn)用十進(jìn)制單位換算，②號利用商的變化規(guī)律，④號將“1.5元”也運(yùn)用十進(jìn)制單位換算并畫圖形象表示，以此得到正確結(jié)果。從中，學(xué)生產(chǎn)生了學(xué)習(xí)需求。在這個(gè)過程中，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)被喚醒，激起了思考的欲望，切準(zhǔn)學(xué)習(xí)進(jìn)階的支點(diǎn)。

2.修正偏差經(jīng)驗(yàn)，初步感知算理。

學(xué)生在整數(shù)除法中已積累有余數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)，如何修正這種對小數(shù)除法來說有所偏差的經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？筆者利用學(xué)生積累的十進(jìn)制單位換算的經(jīng)驗(yàn)，巧妙連接學(xué)生前測⑤號的正確豎式、③號的偏差豎式及④號的直觀圖進(jìn)行修正。

【教學(xué)片段2】教師提問：“仔細(xì)觀察④號的圖，你能說說余數(shù)是小數(shù)時(shí)怎么繼續(xù)除嗎？為什么⑤號這樣寫就對了呢？”引導(dǎo)學(xué)生上臺(tái)指著④號的圖說1.5元等于15角，就可以寫成⑤號豎式中的“15”，15角平均分成5份，每份是3角，就是0.3元。

在上述過程中，筆者直接利用④號的直觀圖聯(lián)系⑤號豎式，來修正學(xué)生認(rèn)知中的偏差（③號豎式），初步感知余數(shù)是小數(shù)能繼續(xù)除的道理——把單位“元”變成“角”，數(shù)大了就可以繼續(xù)除。將原教材中的跑步情境換成購物的情境，在十進(jìn)制單位情境中糾偏能更容易溝通整數(shù)除法和小數(shù)除法的意義，實(shí)現(xiàn)了意義層面的整體關(guān)聯(lián)，學(xué)習(xí)推進(jìn)可謂是拾級而上。

（二）激活“中間水平”：拉長十進(jìn)制表征，連續(xù)深入理解算理與算法

對除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法算理的理解不是一蹴而就的，需要通過一個(gè)“中間水平”逐步過渡形成。十進(jìn)制“元、角、分”的表征固然形象易于理解，但對算理的理解還需要形成一般表征的抽象過程，才能最終成為印在學(xué)生腦海中更抽象的算理與算法。

1.第一次表征，進(jìn)一步理解“‘幾個(gè)一均分繼續(xù)除”。

【教學(xué)片段3】教師提問：“如果一個(gè)方形表示1元，這樣的11個(gè)加半個(gè)就是11.5元，那11.5÷5的計(jì)算過程怎樣表示呢？誰能來說一說？”教師邊說邊在屏幕上呈現(xiàn)圖4中的方形，指名學(xué)生上臺(tái)說，并在屏幕上表示出圈畫的過程。11.5平均分成5份，每份有這樣的2個(gè)，還剩下1.5（如圖4）。教師追問：“那1.5怎么繼續(xù)往下分呢？”

為了便于學(xué)生表達(dá)，將圖4中表示1.5個(gè)一的圖形放大呈現(xiàn)，請學(xué)生說出繼續(xù)把1.5平均分的思考過程。教師根據(jù)學(xué)生的回答適時(shí)點(diǎn)撥：1.5也就是1.5個(gè)一，像圖5這樣平均分后就轉(zhuǎn)換成了15個(gè)十分之一，把它平均分成5份，每份就是3個(gè)十分之一，也就是0.3。自然在屏幕上形成圖6，這樣每一份就是2個(gè)一加3個(gè)十分之一。再呈現(xiàn)豎式（如圖7），教師追問：“你能在圖6中找到豎式中的每一個(gè)數(shù)嗎？”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步聯(lián)系“式”與“圖”，理解豎式每一步的意義。

此環(huán)節(jié)是本課的重點(diǎn)，筆者有意將學(xué)生思維從“元角分”十進(jìn)制單位中脫離出來，借助面積模型表征對算理理解進(jìn)行了適度的抽象，幫助學(xué)生理解。在師生、生生的互動(dòng)對話中激活學(xué)生的思維，在具體“形”的均分過程中對接“豎式”中的每一個(gè)數(shù)，實(shí)現(xiàn)“余數(shù)是小數(shù)時(shí)可以繼續(xù)除”的思維跨越，學(xué)生的思維水平得到晉級。

2.第二次表征，類推理解連續(xù)均分繼續(xù)除。

在學(xué)生理解了“幾個(gè)一”轉(zhuǎn)化成“幾個(gè)十分之一”再繼續(xù)除后，可以趁熱打鐵，推進(jìn)“幾個(gè)十分之一”不夠除時(shí)就轉(zhuǎn)化成“幾個(gè)百分之一”，“幾個(gè)百分之一”也可轉(zhuǎn)化成“幾個(gè)千分之一”繼續(xù)除，等等。激活學(xué)生類比遷移的隱性思維，提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

【教學(xué)片段4】繼續(xù)沿用購物情境：超市促銷活動(dòng)，同樣的20袋牛奶需要41.6元，那么現(xiàn)在每袋牛奶多少元？請你試著解決。引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成，再與同桌交流方法。展示學(xué)生方法，主要集中在兩種（如圖8），先讓學(xué)生說說自己的想法，再引導(dǎo)結(jié)合方形圖來說一說。屏幕呈現(xiàn)圖9，分完40時(shí)，對剩下的表示1.6的圖形放大動(dòng)態(tài)演示成為16個(gè)十分之一（如圖10）。此時(shí)教師追問學(xué)生：“16個(gè)十分之一平均分成20份還是不夠除，又該怎么辦？”學(xué)生頓悟——繼續(xù)平均分。

根據(jù)學(xué)生的回答再動(dòng)態(tài)演示圖11，教師追問：“現(xiàn)在變成多少了呢？”在追問中激活學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，十分之一均分10份后就是百分之一。教師繼續(xù)追問：“那160個(gè)百分之一平均分成20份，每份是多少呢？”在大屏幕上清晰表示出每一份是8個(gè)百分之一，那么現(xiàn)在每袋牛奶就是2.08元（呈現(xiàn)圖12），最后與圖13的豎式對接。

此環(huán)節(jié)不僅是學(xué)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)階，更是學(xué)生思維的進(jìn)階。學(xué)習(xí)內(nèi)容在指向教材例2“除到被除數(shù)末尾有余數(shù)，須補(bǔ)0再除”的同時(shí)，還指向商中間有0的小數(shù)除法?？紤]到“商中間有0”是整數(shù)除法中學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，筆者將這個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)加以遷移、整合，在連續(xù)轉(zhuǎn)化計(jì)數(shù)單位的過程中借助直觀表征來有效突破這一難點(diǎn)的理與法。再次以購物情境對接“元角分”十進(jìn)制經(jīng)驗(yàn)，利用圖形不斷均分，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的可視化。在實(shí)際教學(xué)推進(jìn)過程中，筆者還增加了一個(gè)追問“如果除到160，還有余數(shù)怎么辦呢？”通過這樣的追問幫助學(xué)生建立起拓展式的思維圖式和整體思考策略，促進(jìn)學(xué)生推理意識(shí)的形成。

（三）實(shí)現(xiàn)“高落點(diǎn)”：聯(lián)結(jié)非十進(jìn)制單位情境，綜合運(yùn)用內(nèi)化算法

學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，既要重視學(xué)生整體知識(shí)的建構(gòu)，又要在認(rèn)知深度上做好推進(jìn)。在本課的教學(xué)中，教師的視角不能僅限于“十進(jìn)制”單位支撐下的理解，還可以聯(lián)結(jié)“非十進(jìn)制”單位等其他情境不斷挖掘運(yùn)算的寬度和廣度，實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知水平、思維發(fā)展和運(yùn)用能力的三重提升。

1.聯(lián)結(jié)生活實(shí)際，豐富解決問題策略。

【教學(xué)片段5】在學(xué)生理解了小數(shù)除法的算理與算法后，教師聯(lián)結(jié)生活實(shí)際，再一次對比圖8的兩種方法并提問：“根據(jù)信息中的‘促銷活動(dòng)，你又想到了什么呢？”引發(fā)學(xué)生聯(lián)系“商品促銷”的現(xiàn)實(shí)意義，明白了圖8中“2.8”比原價(jià)“2.3”貴了，可以肯定計(jì)算出了錯(cuò)誤。

運(yùn)算方法的形成和掌握，除了理解知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵外，也離不開外延的豐富與擴(kuò)展。運(yùn)算與解決問題總是緊密相連的，在上述過程中，通過一個(gè)提問來激發(fā)學(xué)生思考，聯(lián)結(jié)生活實(shí)際反思用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，賦予抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)以現(xiàn)實(shí)意義。在聯(lián)結(jié)中反思，在反思中運(yùn)用，豐富了學(xué)生解決問題的策略。

2.聯(lián)結(jié)非十進(jìn)制單位，提升綜合應(yīng)用能力。

【教學(xué)片段6】屏幕呈現(xiàn)：“超市營業(yè)員李阿姨要用一根長7.8米的彩帶，包裝37.8千克糖果，正好能包裝12個(gè)禮盒。請你提出一個(gè)用小數(shù)除法解決的問題并解答?！弊寣W(xué)生在計(jì)算“7.8÷12”中完善例3“被除數(shù)整數(shù)部分不夠商1，0占位”的計(jì)算方法，在計(jì)算“37.8÷12”中鞏固前面習(xí)得的計(jì)算方法。

為避免連續(xù)“十進(jìn)制”單位情境帶來的負(fù)遷移，筆者進(jìn)階設(shè)計(jì)了“非十進(jìn)制”單位情境的解決問題環(huán)節(jié)。此環(huán)節(jié)讓學(xué)生在“非十進(jìn)制”單位情境中完善、鞏固除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的方法，幫助打通思維阻礙，助力“四能”與核心素養(yǎng)的形成。

（作者單位：浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心 浙江省杭州市富春大青小學(xué)）