建構(gòu)從“說理”到“推理”的數(shù)學(xué)課堂

張海生

【摘要】數(shù)學(xué)說理，是發(fā)展小學(xué)生推理能力的應(yīng)然之路，建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)說理課堂是當(dāng)代一線教師研究的新領(lǐng)域.文章以五年級上冊第六單元“組合圖形的面積”為例，提出了建構(gòu)從說理走向推理的數(shù)學(xué)課堂的途徑：問題引領(lǐng)、活動篤行、習(xí)題明辨，讓學(xué)生擁有自主的推理空間，建構(gòu)自己能接受的推理方法，尤其在思考、探索、推理的過程中促進推理能力的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；說理；推理；數(shù)學(xué)課堂

“雙減”背景下，建構(gòu)“提質(zhì)增效”的數(shù)學(xué)課堂是當(dāng)今一線數(shù)學(xué)教育工作者迫在眉睫且又不可回避的重任.筆者研析“雙減”政策發(fā)現(xiàn)，“雙減”減的是學(xué)生過重的負(fù)擔(dān)，增的是學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)；減的是教師的喋喋不休、題海卷山，增的是學(xué)生的幸福指數(shù)，而數(shù)學(xué)說理是一種運用數(shù)學(xué)語言進行邏輯表達的過程，該過程對小學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展有著深遠且直觀的影響，因而建構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)說理課堂，既能滿足落實“減負(fù)不減質(zhì)”的要求，又能夠促成小學(xué)生推理能力發(fā)展的落“堂”生根.

一、問題引領(lǐng)，留足推理空間

諸多研究表明，說理區(qū)別于傳統(tǒng)課堂上的簡單問答，教師要立足學(xué)生知識認(rèn)知與實際操作的發(fā)展水平，致力于學(xué)生獨立思考分析、合作討論判斷，讓學(xué)生在思考、分析、討論的過程中進行合理的判斷，進而得出結(jié)論.減負(fù)的初衷是減輕作業(yè)負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生朝著德、智、體、美、勞全面發(fā)展，課堂提問為引導(dǎo)學(xué)生自主探索、促成學(xué)生深度思考而提出，讓學(xué)生思維從“低階”發(fā)展為“高階”，這與數(shù)學(xué)說理課堂的目標(biāo)不謀而合.因而在小學(xué)數(shù)學(xué)說理課堂上，教師要以教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生學(xué)情需求、學(xué)生思維特征為依據(jù)設(shè)置進階式問題串，以問題驅(qū)動學(xué)生積極思考、深入探究，尤其為學(xué)生的“探”與“思”留足空間，使學(xué)生歷經(jīng)觀察、判斷、驗證等活動，展示自我的個性化思維，為每名學(xué)生推理能力的發(fā)展提供腳手架.

例如，在教學(xué)“求組合圖形面積”時，教師可以通過環(huán)環(huán)相扣的問題串，驅(qū)動學(xué)生觀察組合圖形，從組合圖形的特征入手通過輔助線將組合圖形分解為已學(xué)的基本圖形，如三角形、長方形、平行四邊形等.

估一估：如圖1，觀察“山”字圖，估算“山”圖的面積約為多少？

想一想：“山”圖內(nèi)是否含有學(xué)過的基本圖形，如三角形、長方形等.

畫一畫：用輔助線，將組合圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形.

算一算：結(jié)合自己的思考過程，計算“山”圖的面積.

上述四個問題，既提供了推理能力培養(yǎng)的前提與條件———認(rèn)知疑惑，又指明了符合學(xué)生邏輯思維需求的探索方向，留出充足的自主推理的空間，很大程度上確保數(shù)學(xué)說理課堂的效果.具體為：“估一估”，學(xué)生直觀地看到“山”圖與之前學(xué)過基本圖形之間的“異”，讓學(xué)生直觀地認(rèn)識到“山”圖面積可以轉(zhuǎn)化為三角形面積，產(chǎn)生探索“山”圖與三角形之間關(guān)聯(lián)性的欲望；“想一想”，肯定了學(xué)生的直觀判斷———轉(zhuǎn)化，同時明確將組合圖形分解為常見基本圖形的轉(zhuǎn)化基礎(chǔ)方向；“畫一畫”，鼓勵學(xué)生動手操作，通過多元化途徑獲取信息、尋找證據(jù)，進行有理有據(jù)的推理，讓學(xué)生“有話說”且有理有據(jù)地“說”，同時加強學(xué)生之間的交流探討，引領(lǐng)學(xué)生再度審視自己獨立思考所得，進行適切的重構(gòu)、抉擇；“算一算”，引領(lǐng)學(xué)生自覺地以圖中的15米、13米、8.5米及4米為依據(jù)進行分析，且有意識地關(guān)聯(lián)之前學(xué)過的梯形面積S=（a+b）×h÷2、三角形面積S=a×h÷2、長方形面積S=a×b等，進而將組合圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形進行計算.這樣的過程中，既能夠讓學(xué)生“看”到求“組合圖形的面積”方法的多樣性、其他同學(xué)身上的“閃光點”和差異性，又能夠促使學(xué)生形成獲取、處理信息的能力，使學(xué)生進行有理有據(jù)的判斷、驗證、批判，為推理能力培養(yǎng)、發(fā)展提供基礎(chǔ).

二、活動篤行，建構(gòu)推理方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以結(jié)合小學(xué)生“愛玩”“愛動”“感性決定理性”等特征，并在明確“說理”“推理”“思維”三者之間關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，有意識地組織、開展、挖掘、利用“說理”活動，讓推理能力浸潤“說理”活動，使學(xué)生體會到推理的作用與價值.在說理課堂上，教師依據(jù)推理能力的本質(zhì)———有理有據(jù)的思考，有條不紊地表達組織開展課堂活動，讓思維從“不可視”轉(zhuǎn)為“可視”，語言從“粗略”轉(zhuǎn)向為“精準(zhǔn)”，最終使學(xué)生建構(gòu)自己能接受的推理方法.如，“組合圖形的面積”的說理課堂上，教師圍繞“思維，如何可視？”“語言，何以精準(zhǔn)？”這核心問題，組織開展了“算法爭霸賽”.該爭霸賽分為“用線分圖”與“以理服人”兩部分，具體如下：

（一）用線分圖———畫輔助線，將組合圖形分為基本圖形

這里提到的“用線分圖”是一種以學(xué)生為主體的實踐活動，從本質(zhì)上來講，它也是較為復(fù)雜的認(rèn)知活動.該活動就是“說理”課堂上常見的“直觀”說理，意在讓思維從“不可視”轉(zhuǎn)化為“可視”.活動中，教師提出“用輔助線將‘山圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，哪位同學(xué)知道如何畫？”這一問題，讓學(xué)生畫出自己能想到的所有分解方法，利用“所有”二字，引導(dǎo)學(xué)生多維度分析、設(shè)想、驗證，助力學(xué)生打破思維定式，使學(xué)生親身體會到求“組合圖形的面積”方法的多樣性，明確求“組合圖形的面積”的關(guān)鍵———將組合圖形拆分為基本圖形.接著，教師可利用多媒體技術(shù)展示“山”圖形的拆分類型，讓學(xué)生有意識地聯(lián)系動手操作的過程，通過適切的輔助線，將自己腦海深處的想法“顯現(xiàn)”出來，讓獨立思考的過程從“不可視”轉(zhuǎn)化為“可視”，一方面讓學(xué)生直觀地看到陌生的組合圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ幕緢D形，滿足小學(xué)階段學(xué)生思維發(fā)展特性的同時，也能夠減少學(xué)生抽象理解的困難，另一方面由于組合圖形“變身”過程是由學(xué)生主導(dǎo)的，他們歷經(jīng)分析、思考、批判、再次建構(gòu)等過程，加強了對知識的理解內(nèi)化.

（二）以理服人———自由擇法，說一說想法的思維過程

這里提到的“以理服人”，可以視為日常數(shù)學(xué)課堂的互動交流環(huán)節(jié)，它作為“說理”活動的重要組成部分，旨在讓學(xué)生在“交流”說理的過程中學(xué)會用有理、有據(jù)、有邏輯的語言表達自己的推理過程，一定程度上強化推理的邏輯性.活動中，教師提出“計算‘山圖形的面積，你會選用何種方法？說一說想法.”這一問題，驅(qū)動學(xué)生的思考方向從“如何做”轉(zhuǎn)向為“為何做”“何以做”，同時點撥學(xué)生盡可能利用語文學(xué)科中掌握的關(guān)聯(lián)性詞語：如果……那么……、只要……就……、因為……所以……等，使學(xué)生在交流、探索中找到語言表達的努力方向———有理有據(jù)、有條不紊.接著，教師可讓學(xué)生就自我選定的算法，說一說心中的想法，具體為：

學(xué)生A：我選擇用（8.5+15）×13÷2-8.5×4÷2計算.想法就是只要先把梯形添補完整（如圖①），再去掉空白的三角形就是“山”圖形的面積；

學(xué)生B：我選用8.5×13÷2-8.5×4÷2+15×13÷2計算.如果將“山”圖形分成三個三角形（如圖②），那么“山”圖形的面積可以用8.5×13÷2-8.5×4÷2+15×13÷2來計算.

學(xué)生C：我選用8.5×13-8.5×4÷2+（15-8.5）×13÷2計算.如果將“山”圖形分成左為平行四邊形、右為三角形（如圖③），那么“山”圖形的面積可以用“平行四邊形-空白三角形+右邊三角形”計算.

學(xué)生D：我選用8.5×13-8.5×4÷2+（15-8.5）×13÷2計算.因為該方法是長方形的面積計算公式，所以把“山”圖形添補為梯形后，從梯形短邊的兩頂點做垂線，建構(gòu)一個長方形，再將左、右兩邊的三角形割補形成一個底邊為（15-8.5）、高為13的三角形（如圖④）.

學(xué)生E：我選用15×13-8.5×4÷2-（15-8.5）×13÷2計算.想法就是只要將“山”圖形添補成長為15，高為13的平行四邊形（如圖⑤），在依次剪去空白的兩個三角形的面積，就是“山”圖形的面積.

通過上述解讀，學(xué)生掌握了求“組合圖形的面積”的重要方法———分割、添補，不知不覺地提高了用文字語言精準(zhǔn)表達推理過程的能力.“交流”說理中，教師立足小學(xué)生的邏輯思維習(xí)慣，引領(lǐng)學(xué)生從“這是怎么想的”走向“為何可以這樣想”，彰顯出猜想與驗證的求證環(huán)節(jié)，使學(xué)生逐步建構(gòu)自己能接受的數(shù)學(xué)推理方式.

三、習(xí)題明辨，發(fā)展推理能力

習(xí)題的主要功能體現(xiàn)在檢查學(xué)情、鞏固知識、拓展應(yīng)用、診斷學(xué)情四個方面，而諸多研究表明，其也是讓學(xué)生學(xué)會獨立思考、獨立判斷的載體，尤其在“雙減”政策下，教師理當(dāng)杜絕“題海卷山”，為學(xué)生提供自由成長的“內(nèi)驅(qū)力”———推理能力.在說理課堂上，教師要貫徹“減負(fù)增質(zhì)”“因材設(shè)題”“培優(yōu)補差”的理念，針對生生之間的差異性進行新知學(xué)習(xí)之后的深度思考與批判重構(gòu)，讓推理能力切實發(fā)展.如在“組合圖形的面積”的說理課堂上，教師圍繞“如何累積推理經(jīng)驗？”“何以融通推理方法”，設(shè)置了“鞏固基礎(chǔ)”與“拓展訓(xùn)練”兩大類型的習(xí)題，具體如下：

（一）鞏固基礎(chǔ)———舉一反三，累積推理經(jīng)驗

教材內(nèi)“練一練”第1道題的第（1）小題“估一估，這面中隊旗的面積大約有多大？與同伴交流你的想法.”有助于強化學(xué)生對新知識的認(rèn)知與掌握，但卻因推理空間不足、推理方法的單一，導(dǎo)致學(xué)生的思維趨向于定式，更不利于學(xué)生推理能力的發(fā)展.為此，課堂上教師呈現(xiàn)出的習(xí)題則是由“一面中隊隊旗的面積是多少？”改編而來，具體為：

2022年是中國少年先鋒隊建隊73周年，學(xué)校舉辦實踐活動———“做中隊隊旗”.五（1）班準(zhǔn)備做的中隊隊旗（圖3），負(fù)責(zé)采購紅布的小美、亮亮、北極、萱萱和博藝分別用自己數(shù)學(xué)推理方式，計算了中隊隊旗所需的紅布面積.如果你是隊旗制作的總負(fù)責(zé)人，你認(rèn)為他們五人的方法正確嗎？請說明理由.

小美的方法：80×60-60×20÷2

亮亮的方法：（80+60）×30÷2+（80+60）×30÷2

北極的方法：60×60+30×20÷2+30×20÷2

萱萱的方法：60×60+30×20

博藝的方法：60×30+30×20÷2+60×30+30×20÷2

通過上述“鞏固基礎(chǔ)”習(xí)題，讓學(xué)生在不知不覺中內(nèi)化了“組合圖形的面積”計算的重要策略———分割求和、添補求差，同時看到“組合圖形”與“基本圖形”之間的關(guān)聯(lián)，感悟同類事物的各種特殊情形之中蘊含的“同一性”與“相似性”，明白從特殊到一般的推理過程，實現(xiàn)歸納推理能力的提高與發(fā)展.

（二）變式練習(xí)———按需選擇，融通推理方法

完成“鞏固基礎(chǔ)”習(xí)題后，教師并未停止“探”“思”之步，而是通過“選做題”，巧妙地將“生活”與“數(shù)學(xué)”結(jié)合起來，為學(xué)生提供推理訓(xùn)練的平臺.這里提到的“選做題”通常是以“鞏固基礎(chǔ)”習(xí)題改編、創(chuàng)編而來，旨在“變”中養(yǎng)成“觀察———猜測———驗證”的推理習(xí)慣.為此，課堂上教師利用多媒體技術(shù)展示了“變式練習(xí)”的兩道題目，即：

變式一：畫一畫小美、亮亮、北極、萱萱和博藝五名同學(xué)的想法，并說一說推理的過程.

變式二：兩個相同的直角三角形（兩條直角邊分別8，6）重疊在一起（圖4），求圖中陰影部分的面積？并說一說你的想法.

“變式一”與“變式二”并不做硬性要求，而是讓學(xué)生結(jié)合自身需求進行自主選擇.通過“變式一”與“變式二”，即能夠拓展學(xué)生思維的深度與廣度，促使學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，又能夠強化學(xué)生對“轉(zhuǎn)化”本質(zhì)的認(rèn)識，將復(fù)雜轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵巍⑽粗D(zhuǎn)化為已知，實現(xiàn)演繹推理能力的提高與發(fā)展.

學(xué)習(xí)，從本質(zhì)上來說，就是解決問題的過程，但在“雙減”政策下，該過程不能再是傳統(tǒng)“兜售式”課堂上的“師來問，生來答”“問的淺，張口答”，這就需要教師據(jù)“疑”設(shè)“問”，從傳統(tǒng)的“被動提問”“照搬教材”“閉門造車”，走向新形勢下的“自主提問”“謹(jǐn)慎思考”“探討交流”.因而以發(fā)展推理能力為目標(biāo)的小學(xué)數(shù)學(xué)說理課堂上，教師理應(yīng)站在學(xué)生的視角與立場，引領(lǐng)學(xué)生歷經(jīng)審視、關(guān)聯(lián)、猜想、驗證，促使學(xué)生“思”“探”“交流”的過程中自主推理、掌握推理方法、發(fā)展推理能力，真切地培養(yǎng)小學(xué)生的說理能力、發(fā)展小學(xué)生的推理能力.

【參考文獻】

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